数学建模论文格式
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日期:2016年 9 月12 日
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电池剩余放电时间预测
摘要
铅酸电池(VRLA )作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中。在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中,电压随放电时间单调下降,直到额定的最低保护电压(Um )9V 。电池在当前负荷下还能供电多长时间是实际使用中必须回答的问题。电池通过较长时间使用或放置,充满电后的荷电状态会发生衰减。
针对问题一,首先,本文使用Matlab 软件进行一元多项式回归拟合作出电池放电时间分别与各电流的一元多项式回归曲线,并根据Matlab 程序结果得出各放电曲线一元多项式回归模型[2]。其次,采用系统抽样方法在附件1中从Um 开始按不超过0.005V 的最大间隔提取231个电压样本点,在Excel 软件中,算出各电流中相邻电压之差,在这些差中用统计中的countif 函数找出≤ 0.005的所有样本点在各电流中的分布将其清晰的标出,此时各电流中的样本点以≤0.005的所有样本点分布为对象:(各电流中的样本点/总样本点)*231得出231个样本点在各电流中的分布,接着各电流中的样本点以231个样本点分布为对象:用231个样本点在各电流中分布的样本点找出其样本点所放电时间,并利用(各电流中的总放电时间-各电流中样本的放电时间)/各电流中的总放电时间/各电流中的样本点得出平均相对误差。最后,将电压9.8V 作为因变量带入已得出的多项式回归模型,分别测出其电池的剩余放电时间[1]。
针对问题二,首先,选取附件1中以20A 为恒定电流强度中从放电时间0-20min 的样本点,采用Matlab 软件进行多项式回归拟合的方法得出多项式回归曲线以及多项式回归模型[3],接着需要用问题中所解决的平均相对误差(即MRE )乘以恒定电流有用功下所释放的电压计算出该多项式回归模型的精度。然后,在Excel 软件中,在放电时间0-20min ,取电流强度50A 和60A 在同一放电时间下两者的电压样本的中位数作为电流强度为55A 时从放电时间0-20min 的样本点,将其样本点在Matlab 软件中进行多项式回归拟合得出多项式回归曲线图,并用Excel 软件用表格作出电流强度为55A 时的放电曲线。
针对问题三,首先,利用Excel 软件,将衰减状态2与衰减状态3的差值做出,并利用折线图作出趋势线找到趋势方程,通过趋势方程预测出衰减状态2与衰减状态3的差值,在用衰减状态2的放电时间减去衰减状态2与衰减状态3的差值从而预测出衰减状态3的总放电时间,然后用衰减状态3的总放电时间减去已放电时间得出衰减状态3的剩余放电时间。
关键词:Matlab 软件;一元多项式回归;Excel 软件;系统抽样;MRE
一 问题的重述
铅酸电池作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中。在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中,电压随放电时间单调下降,直到额定的最低保护电压(Um ,本题中为9V )。从充满电开始放电,电压随时间变化的关系称为放电曲线。电池在当前负荷下还能供电多长时间(即以当前电流强度放电到Um 的剩余放电时间)是使用中必须回答的问题。电池通过较长时间使用或放置,充满电后的荷电状态会发生衰减。
问题1 附件1是同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电测试的完整放电曲线的采样数据。请根据附件1用初等函数表示各放电曲线,并分别给出各放电曲线的平均相对误差(MRE ,定义见附件1)。如果在新电池使用中,分别以30A 、40A 、50A 、60A 和70A 电流强度放电,测得电压都为9.8伏时,根据你获得的模型,电池的剩余放电时间分别是多少?
问题2试建立以20A 到100A 之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型,并用MRE 评估模型的精度。用表格和图形给出电流强度为55A 时的放电曲线。
问题3 附件2是同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录数据。试预测附件2中电池衰减状态3的剩余放电时间。
二 符号说明
u j :各电流的总放电时间
u i :各电流抽取样本的放电时间
x 1:电流为20A 时放电时间
Y 1:电流为20A 时的电压
x 2:电流为30A 时的放电时间
Y 2:电流为30A 时的电压
x 3:电流为40A 时的放电时间
Y 3:电流为40A 时的电压
x 4:电流为50A 时的放电时间
Y 4:电流为50A 时的电压
x 5:电流为60A 时的放电时间
Y 5:电流为60A 时的电压
x 6:电流为70A 时的放电时间
Y 6:电流为70A 时的电压
x 7:电流为80A 时的放电时间
Y 7:电流为80A 时的电压
x 8:电流为90A 时的放电时间
Y 8:电流为90A 时的电压
x 9:电流为100A 时的放电时间
Y 9:电流为100A 时的电压
x 10:问题二中电流为20A 时的放电时间
Y 10:问题二中电流为20A 时的电压
三 问题的分析
本题要求我们建立关于电压随着放电时间的变化作出放电曲线图,并得出相对应的各个多项式回归模型,并用回归模型进行预测,进行平均相对误差和剩余放电时间的计算,其中平均相对误差(即MRE )是本题中的一个重点,利用放电曲线预测电池剩余容量/放电时间的精度取决于放电曲线在低电压段的质量。然而放电曲线等时间间隔采样在低电压段的采样点相对稀疏。基于这个事实,定义MRE 如下:在左侧表中从Um 开始按不超过0.005V 的最大间隔提取231个电压样本点。
对于问题一,根据附件1同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电测试的完整放电曲线的采样数据用初等函数表示各放电曲线,并分别给出各放电曲线的平均相对误差(MRE );如果在新电池使用中,分别以30A 、40A 、50A 、60A 和70A 电流强度放电,测得电压都为9.8伏时,根据获得的数学模型,测出电池的剩余放电时间分别是多少。首先,就是采用Matlab 软件对附件一中放电时间及其电压样本进行一元多项式回归拟合表示出电压随着时间变化的放电曲线,得到了一元多项式回归模型。其次,需要利用系统抽样法将其附件1中从Um 开始按不超过0.005V 的最大间隔提取231个电压样本点,对这231个样本点进行在各电流强度中的分配样本,并对其进行平均相对误差的计算。其中相对误差的公式为:u j -u i
u j ⨯100%。最后,将问题中的电压9.8V 作为因变量带入
已得出的多项式回归模型,分别测出其电池的剩余放电时间。
对于问题二,建立以20A 到100A 之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型,并用MRE 评估模型的精度;用表格和图形给出电流强度为55A 时的放电曲线。在此问题上,以20A 到100A 之间任一恒定电流强度中选取20A 为恒定电流强度,在其电流强度下,选取放电时间0-20min 的样本点,用Matlab 进行多项式回归拟合得出其放电曲线及多项式回归模型的建立。接着,采用Excel 软件,在放电时间0-20min ,取电流强度50A 和60A 在同一放电时间下两者的电压样本的中位数作为电流强度为55A 时从放电时间0-20min 的样本点,将其样本点在Matlab 软件中进行多项式回归拟合得出多项式回归曲线图,并用Excel 软件用表格作出电流强度为55A 时的放电曲线。
对于问题三,附件2是同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录数据;试预测附件2中电池衰减状态3的剩余放电时间。利用Excel 软件,将衰减状态2与衰减状态3的差值做出,作出趋势线找到趋势方程,通过趋势方程预测出衰减状态2与衰减状态3的差值,在(衰减状态2的放电时间-(衰减状态2-衰减状态
3))中从而预测出衰减状态3的总放电时间,最后用衰减状态3的总放电时间减去已放电时间得出衰减状态3的剩余放电时间。
四 模型假设
1. 假设电池在放电过程中不会受到外界因素的影响;
2. 在一定时间范围内,电荷不会出现大幅度的下降;
3. 不考虑内阻随电荷状态变化;
4. 假设本模型使用的数据均真实有效,具有统计的分析价值;
5. 假设电池在放电之前电功一定,电量相同;
五 模型的建立与求解
5.1 问题一模型的建立及求解
5.1.1 问题一模型的分析
首先,本文使用Matlab 软件进行一元多项式回归拟合作出电池放电时间分别与各电流的一元多项式回归曲线,并根据Matlab 程序结果得出各放电曲线一元多项式回归模型。其次,采用系统抽样方法在附件1中从Um 开始按不超过0.005V 的最大间隔提取231个电压样本点,在Excel 软件中,算出各电流中相邻电压之差,在这些差中用统计中的countif 函数找出≤0.005的所有样本点在各电流中的分布将其清晰的标出,此时各电流中的样本点以≤0.005的所有样本点分布为对象:(各电流中的样本点/总样本点)*231得出231个样本点在各电流中的分布,接着各电流中的样本点以231个样本点分布为对象:用231个样本点在各电流中分布的样本点找出其样本点所放电时间,并利用(各电流中的总放电时间-各电流中样本的放电时间)/各电流中的总放电时间/各电流中的样本点得出平均相对误差。最后,将电压9.8V 作为因变量带入已得出的多项式回归模型,分别测出其电池的剩余放电时间。
5.1.2 问题一模型的建立
最小二乘法是建立趋势方程、分析长期趋势较为常用的方法。一般来说回归模型中都包含了最小二乘法的运算。
一元多项式回归模型
设变量X 、Y 的回归模型:
Y =a 0+a 1x +a 2x 2+... +a p x p +ε
2其中p 是已知的,a i (i =1,2,..., p ) 是未知参数,ε服从正态分布N (0, σ) 。
Y =a 0+a 1x +a 2x 2+... +a p x p
上面的回归模型称为多项式回归。
5.1.3 问题一模型的求解
5.1.3.1 初等函数模型求解
使用Matlab 软件进行一元多项式回归拟合作出电池放电时间分别与各恒定电流的一元多项式回归曲线,并根据Matlab 程序结果得出各个电流的放电曲线与对应一元多项式回归模型。
当恒定的电流强度为20A 时,用Matlab 软件编程得到如图5-1关系曲线和图5-2所示模型求解过程。
图5-1 20A 电压与放电时间的放电曲线
图5-2 20A 多项式回归编程图
通过编程图可得出相对应的多项式回归模型:
Y 1=-7.1328⨯10-8⨯x 12-8.1376⨯10-5⨯x 1+10.567 (1)
当恒定的电流强度为30A 时,用Matlab 软件编程得到如图5-3关系曲线和图5-4所示模型求解过程。
图5-3 30A 电压与放电时间的放电曲线
图5-4 30A 多项式回归编程图
通过编程图可得出相对应的多项式回归曲线模型:
Y 2=-1.449⨯10-7⨯x 22-0.00017595x 2+10.583 (2)
当恒定的电流强度为40A 时,用Matlab 软件编程得到如图5-5关系曲线和图5-6所示模型求解过程。
图5-5 40A 电压与放电时间的放电曲线
图5-6 40A 多项式回归编程图
通过编程图可得出相对应的多项式回归模型:
Y 3=-3.2688⨯10-7⨯x 32-0.00018034x 3+10.537 (3)
当恒定的电流强度为50A 时,用Matlab 软件编程得到如图5-7关系曲线和图5-8所示模型求解过程。
图5-7 50A 电压与放电时间的放电曲线
图5-8 50A 多项式回归编程图
通过编程图可得出相对应的多项式回归模型:
Y 4=-5.544⨯104-7⨯x 2-0.0002048x 4+10.492 (4)
当恒定的电流强度为60A 时,用Matlab 软件编程得到如图5-9关系曲线和图5-10所示模型求解过程。
图5-9 60A 电压与放电时间的放电曲线
图5-10 60A 多项式回归编程图
通过编程图可得出相对应的多项式回归模型:
Y 5=-8.6298⨯10-7⨯x 52-0.00024295x 5+10.457 (5)
当恒定的电流强度为70A 时,用Matlab 软件编程得到如图5-11关系曲线和图5-12所示模型求解过程。
图5-11 70A 电压与放电时间的放电曲线
图5-12 70A 多项式回归编程图
通过编程图可得出相对应的多项式回归模型:
Y 6=-1.328⨯10-6⨯x 62-0.00022779x 6+10.397 (6)
当恒定的电流强度为80A 时,用Matlab 软件编程得到如图5-13关系曲线和图5-14所示模型求解过程。
图5-13 80A 电压与放电时间的放电曲线
图5-14 80A 多项式回归编程图
通过编程图可得出相对应的多项式回归模型:
Y 7=-1.7977⨯10-6⨯x 72-0.00028628x 7+10.364 (7)
当恒定的电流强度为90A 时,用Matlab 软件编程得到如图5-15关系曲线和图5-16所示模型求解过程。
图5-15 90A 电压与放电时间的放电曲线
图5-16 90A 多项式回归编程图
通过编程图可得出相对应的多项式回归模型:
Y 8=-2.468⨯10-6⨯x 82-0.00032746x 8+10.334 (8)
当恒定的电流强度为100A 时,用Matlab 软件编程得到如图5-17关系曲线和图5-18所示模型求解过程。
图5-17 100A 电压与放电时间的放电曲线
图5-18 100A 多项式回归编程图
通过编程图可得出相对应的多项式回归模型:
Y 9=-3.0117⨯10-6⨯x 92-0.00048779x 9+10.311 (9)
以上建立的(1)、(2)、(3)……(9)个模型则是9个不同的电流强度下所得到。
5.1.3.2 平均相对误差的计算
分别计算出个放电曲线的平均相对误差MRE (在左侧表中从Um 开始按不超过0.005V 的最大间隔提取231个电压样本点,这些电压值对应的模型已放电时间与采样已放电时间的平均相对误差)。
在Excle 软件中将附件1中所给出的数据进行一定的技术处理,在采用系统抽样的方法抽取样本点并且利用了比例分配的得到了各个电路强度下的样本点个数。选取样本点的步骤如下:
a .计算出同一点流强度相邻电压之间的间隔。
b .利用countif 函数找出了附件1中所有间隔不超过0.005V 的电压样本点如图5-19所示过程。
、
图5-19
即通过函数可得到总的电压样本点个数为5965。
c .同上利用countif 函数分别在同一电流强度下找出间隔不超过0.005V 的电压样本点如图5-20所示过程。
图5-20
通过计算过程可分别到电压样本点个数如表5-1所示。
d .利用公式:
231个样本点*(各电流强度的电压样本点/总的样本点)
该公式所指样本点为电压不超过
0.005V 时的电压样本点,通过公式得到抽取样本点的个数为如表5-2所示。
100 7
以上步骤中我们抽取了各电流中的电压样本点,根据题中定义出的MRE ,结合相对误差公式u j -u i
u j ⨯100%可分别得到个放电曲线下的平均型对误差如表5-3所示。
5.1.3.3 剩余放电时间的计算
将电压9.8V 作为因变量带入已得出的多项式回归模型,分别测出其电池的剩余放电时间。
将电压9V 和9.8V 分别代入电流强度为30A 的放电模型中:
Y 2=-1.449⨯10-7⨯x 22-0.00017595x 2+10.583
然后将饱和时所放电的时间与电压为9.8V 时所放电的时间进行做差得到电流强度为30A 时的剩余的放电时间为985分钟。
将电压9V 和9.8V 分别代入电流强度为40A 的放电模型中:
Y 3=-3.2688⨯10-7⨯x 32-0.00018034x 3+10.537
然后将饱和时所放电的时间与电压为9.8V 时所放电的时间进行做差得到电流强度为40A 时的剩余的放电时间为660分钟。
同理把电压9V 和9.8V 分别代入电流强度为50A 的放电模型中:
Y 4=-5.544⨯104-7⨯x 2-0.0002048x 4+10.492
然后将饱和时所放电的时间与电压为9.8V 时所放电的时间进行做差得到电流强度为50A 时的剩余的放电时间为520分钟。
把电压9V 和9.8V 代入电流强度为60A 的放电模型中:
Y 5=-8.6298⨯10-7⨯x 52-0.00024295x 5+10.457
然后将饱和时所放电的时间与电压为9.8V 时所放电的时间进行做差得到电流强度为60A 时的剩余的放电时间为426分钟。
把电压9V 和9.8V 代入电流强度为70A 的放电模型中:
Y 6=-1.328⨯10-6⨯x 62-0.00022779x 6+10.397
然后将饱和时所放电的时间与电压为9.8V 时所放电的时间进行做差得到电流强度为70A 时的剩余的放电时间为352分钟。
注:上述意为(电池达到饱和状态时的放电时间)—(电池在电压为9.8V 时的放电时间)=(电池出输出电压为9.8V 时所剩余的放电时间)
5.2 问题二的模型建立及求解
5.2.1 问题二模型分析
首先,选取附件1中以20A 为恒定电流强度中从放电时间0-20min 的样本点,采用Matlab 软件进行多项式回归拟合的方法得出多项式回归曲线以及多项式回归模型,接着需要用问题一中所解决的平均相对误差(即MRE )乘以恒定电流有用功下所释放的电压计算出该多项式回归模型的精度。其次,在Excel 软件中,在放电时间0-20min ,取电流强度50A 和60A 在同一放电时间下两者的电压样本的中位数作为电流强度为55A 时从放电时间0-20min 的样本点,将其样本点在Matlab 软件中进行多项式回归拟合得出多项式回归曲线图,并用Excel 软件用表格作出电流强度为55A 时的放电曲线。
5.2.2 问题二的模型建立
一元多项式回归模型
设变量X 、Y 的回归模型:
Y =b 0+b 1x +b 2x 2+... +b p x p +ε
2N (0, σ) 。 其中p 是已知的,b i (i =1,2,..., p ) 是未知参数,ε服从正态分布
Y =b 0+b 1x +b 2x 2+... +b p x p
上面的回归模型称为多项式回归。
5.2.3 问题二的模型求解
5.2.3.1 放电曲线模型的求解
附件1中以20A 为恒定电流强度中从放电时间0-20min 的样本点,如表5-4所示。
采用Matlab 归曲线和模型。
图5-19 电压与放电时间的放电曲线
图5-20 多项式回归编程图
可得出其相对应的多项式回归模型:
Y 10=1.5398⨯10-7⨯x 106-1.017⨯10-5⨯x 105+0.00026576x 104-0.003622x 103+0.030635x 102-0.18973x 10+11.177 (10)
5.2.3.2 用MRE 评估模型的精度
采用物理知识在电功率相同的原理下,有W=UIT。 W 1变形得到电压与时间的关系U = I t
利用在电流为20A 时所得到的电压*对应的平均相对误差,即可能得到精度。 由附件1可整理出如表所示的数据:
图 5-21
W 1,I t
即得出电压U=W/20*3764(W为已知数) ,所以精确度=U*MRE,将第一个问题中计算出的电流强度为20A 时的平均相对误差0.0134带入式中,可以得到数据精确1.7800213*10-7*W。就算电功率取到该电池的原始没放电状态下的最大电功率,也可知道是远小于0的。及可得到该模型的精确度是较高的。
5.2.3.3 55A的放电曲线模型的求解
在Excel 软件中,在放电时间0-20min ,取电流强度50A 和60A 在同一放电时间下两者的电压样本的中位数作为电流强度为55A 时从放电时间0-20min 的样本点,如表5-5所示。
当电功率一定时(为已知数),将电流为20A 所对应的时间带入公式U
将其样本点在5-22,图5-23所示。
图5-22 电压与放电时间的放电曲线
图5-23 多项式回归编程图
5.3 问题三的模型建立及求解
利用Excel 软件,将衰减状态2与衰减状态3的差值做出,作出趋势线找到趋势方程,通过趋势方程预测出衰减状态2与衰减状态3的差值,在(衰减状态2的放电时间-(衰减状态2-衰减状态3))中从而预测出衰减状态3的总放电时间,最后用衰减状态3的总放电时间减去已放电时间得出衰减状态3的剩余放电时间。 5.3.1 问题三模型的建立
一元多项式回归模型
设变量X 、Y 的回归模型:
Y =c 0+c 1x +c 2x 2+... +c p x p +ε
2
N (0, σ) 。 其中p 是已知的,c i (i =1,2,..., p ) 是未知参数,ε服从正态分布
Y =c 0+c 1x +c 2x 2+... +c p x p
上面的回归模型称为多项式回归。
5.3.2 问题三模型的求解
利用Excel 软件,将衰减状态2与衰减状态3的差值做出,作出趋势线找到趋势方程,如图5-23所示。
图5-24 趋势方程
得出的多项式回归模型:
y =-0.003x 2+1.4211x -16.124
通过趋势方程预测出衰减状态2与衰减状态3的差值,在(衰减状态2的放电时间-(衰减状态2-衰减状态3))中从而预测出衰减状态3的总放电时间,最后用衰减状态3的总放电时间减去已放电时间得出衰减状态3的剩余放电时间,得出剩余时间为241.1。其预测的差值以及衰减状态3的剩余放电时间见其附录。
六 模型自我评价与推广
本文紧密围绕电池剩余放电时间预测问题,对其进行了多项式回归模型的建立,并对其进行电压预测和剩余放电时间预测,并用初等函数做出了各个电流强度的电压随着时间变化的放电曲线,利用231个样本点对其进行平均相对误差计算。
对于问题一中的模型,我们采用一元二次回归拟合并做出了多项式回归模型,在图像上,一元二次回归拟合与样本数据做出来的趋势走向比较符合,在计算上,一元二次回归拟合的误差还是比较大。
对于问题二中的模型,我们采取了当恒定电流强度为20A 时,在其取出0-20min 的电压样本点进行多项式回归拟合得出多项式回归曲线和模型,但是由于这里只取了
W 1
0-20min 的电压样本点,不能非常完整的体现出总体样本曲线的相似度,利用U =公
I t
式将U 算出后,U*MRE得出模型的精度,在这里由于W 是一个恒定值,W 的选值不同,U 将会跟随变化,精度也会随之变化。在取电流强度为55A 的时候,在放电时间0-20min ,取电流强度50A 和60A 在同一放电时间下两者的电压样本的中位数作为电流强度为55A 时从放电时间0-20min 的样本点,将其样本点在Matlab 软件中进行多项式回归拟合得出多项式回归曲线图,并用Excel 软件用表格作出电流强度为55A 时的放电曲线。这里采用的中位数作为电流强度为55A 时的电压样本点,然而电压样本点的电压是随时变化的,中位数只能客观的反应,并不能主观上的反应。
对于问题三中的模型,在其问题上,只用到了衰减状态2和衰减状态3
的数据,数
据并不是用的非常的合理,但是经过数据的分析后,得出来的结果是比较合理的。
2015年,废铅酸蓄电池的回收和综合利用率达到90%以上,铅循环再生比重超过50%,推动形成全国铅资源循环利用体系。如今市场,铅酸电池用途广泛,可用在电动工具,应急灯,UPS ,电动轮椅,计算机和通讯设备等方面。
七 参考文献
[1] 赵静、但琦,数学建模与实验,北京:高等教育出版社,2007.
[2] 谭永基、蔡志杰、俞文魮,数学模型,上海:高等教育出版社,2004. [3] 袁震东,数学建模方法,上海:高等教育出版社,2002. 附录: