立体几何最值问题例析

由二次函数的图象与ｚ轴有交点，得

｛答（０’ｍ－－３）：－－４ｍ≥Ｏ，即仨＝ｌ’Ｏｒｅ坳０，

Ｉ△一

２

，一Ｉｍ２一

＋９≥，

解得，ｍＥ（一∞，ｏ）Ｕ（ｏ，１］Ｕ［９，＋ｃｏ），即为全集Ｉ．

又由Ｆ（Ｏ）一１＞０，可知二次函数的图象不经过坐标原点，因此，当图象与ｚ轴的正半轴没有交点时，交点必在原点的左侧，此时ｍ满足

值问题例析

◇江苏王力

ｆｍ＞ｏ，．｛写Ｉ＜ｏ，

ｆｍ＞ｏ，

酬ｍ＜Ｏ或ｍ＞３，

｝△一（ｍ一３）２—４优≥ｏ，ｌｍ２一ｌＯｍ＋９≥Ｏ，

解之得ｍＥＥ９，十ｃｏ）．故ｍ的取值范围为（一。。，ｏ）Ｕ（ｏ，１］，即当优≤１且ｍ≠０时二次函数的图象与ｚ轴的交点至少有一个在原点的右侧．６借助导数

利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，较之传统方法具有简捷明快、容易掌握等特别明显的优越性，既加深了对导数的理解，又为解决函数问题提供了有利的方法，使得函数问题得到简化．

■ｒ≈，

立体几何中的最值问题是高考的热点，解题中在熟练运用、强化巩固一般函数最值求法的同时，可有效地提高解答立体几何问题的许多重要能力，开阔视野，下面就解题中的常用策略归类例析．１平面化策略

■，—＇，

。幺例１如图１所示，在侧棱长为２，底面边长为１

上的动点，则ＡＰ＋ＰＣ的最小值为——．

ｐ

，解析平面，得图２，则ＡＣ之长即为所求．

Ｃ．

的正四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ。Ｂ，ＣｔＤ，中，Ｐ是对角线ＢＤｌ

将Ｚ：ｘＡＢＤ－－与ＡＢＣＤｌ所在平面展开为一个

“以例６

（２００８年北京卷）已知函数，‘≯）一

石２可ｘ－－ｂ，确定厂（ｚ）的单调区间・

（ｚ一１）３

Ｄ

舄析／（ｚ）＝堑尘专等产必一

二！墨±！垒二呈一一垄［兰二（垒二１２］

（ｚ一１）３

’

令厂（ｚ）一ｏ，得ｚ一６—１．当６—１＜１，即６＜２时，／（ｚ）的变化情况如下表：

仉画

圈１

Ｃ

Ｃ

圈２

ｌｌＩＩ

ｚ

（一。。，６一１）６一ｌ

Ｏ

（６—１，１）

＋

（１，十。。）

因为ＡＢ一１，ＡＡ。一２，ＡＢ上ＡＤｌ，ＢＣＪ－ＣＤｌ，

厂（ｚ）

所以ＡＤｌ＝ＣＤｌ＝幅，在Ｒｔｚ２ｘＡＤｌＢ中，ＢＤｌ＝厢，则

（６—１，十ｏｏ）

当６—１＞ｌ，即６＞２时，ｆ７（ｚ）的变化情况如下表：

ｚ

（一。（），１）（１，６—１）

＋

６一ｌＯ

ＡＰ一镒堕一遁，／ｇ一宰，

／（ｚ）

所以，当６＜２时，函数厂（ｚ）在（一。。，６—１）上单调递减，在（６—１，１）上单调递增，在（１，＋ｃｏ）上单调递减．当６＞２时，函数厂（ｚ）在（一ｏ。，１）上单调递减，在（１，６—１）上单调递增，在（６—１，＋ｏ。）上单调递减．

ｏ

鸯彝萎柔曩嚣，崔三二姜甓谶薷霞

适当选取Ｐ点的位置，使Ａ，Ｐ，Ｃ在一条直线上，即使ＡＰ＋ＰＣ取得最小值．为此，将有关图形展开到一个平面内，这是将三维空间图形转化为二维平面图形的一种重要策略．２利用导数

故所求最小值为≤罂．

当６—１—１，即６—２时，，（ｚ）一＝刍，所以函数

厂（ｚ）在（一。。，１）上单调递减，在（１，＋。ｏ）上单调递减．

（作者单位：河北省唐山市丰润区七树庄中学）

糍例２求半径为Ｒ的球内接正三棱锥体积Ｖ的

■Ｐｏｔ，

１９９２年４月６日。我国与亚美尼亚建立外交关系．

孙ｌｒ故１９舭

万方数据　

最大值．

瑶析凳是搿紧釜

球心０与正三角形ＡＢＣ的中心Ｈ，连ＡＨ、Ａｏ、ＡＮ、ＡＳ，则得ＲｔＡＮＡＳ，且

ＡＨ

ＳＮ．

彰毒

虽然依靠直觉思维可知当日２詈时，Ｖ取得

最大值，但对于解答题，这是十分不严谨的，所以必须按照规范的逻辑推理步骤求出用０表示Ｖ的目标函数，再求其最大值．４构建辅助函数

ＪＤ

砺二例４如图５，在侧

Ⅳ

设ＡＨ—ｒ，ＳＨ—ｈ，则户一ｈ（２Ｒ—ｈ），又ＡＢ一

棱长为定值１２的正四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ中，当相邻侧面所成二面角为多大时，棱锥的体积有最大值，这个最大值是多少？

．

届，所以三棱锥的体积为

图３

、厂：百１・譬・３产・＾一譬（２Ｒ＾２一Ｊｉｌ３）（ｏ＜＾＜２Ｒ）．

设Ｕ－－＿２Ｒｈ２一ｈ３，求导得Ｕ７＝ｈ（４Ｒ一３ｈ）．令

Ｕ，：０，得Ｊｌｌ：ｏ（舍去）或＾一华．

Ｑ

连ＡＣ、ＢＤ交

图５

（、解析于０，连ＰＯ，则０是正方形的中心，作ＯＥＬ

ＰＢ与Ｅ，连ＡＥ、ＣＥ，易证ＰＢ上面ＡＥＣ，ＰＢ上ＡＥ，ＰＢ上ＣＥ，则么ＡＥＩＣ是二面角Ａ－ＰＢ—Ｃ的平面角．

当ｏ＜＾＜譬时，Ｕ，＞ｏ；当垒磐＜｜｝ｌ＜２Ｒ时，Ｕ，＜ｏ，

所以当＾一警时，有ｕ。一舅Ｒ３，则得‰，一筹Ｒ３．

３利用三角函数的有界性

ｈ＝ＰＯ＝“阿，ｖ一去・２ｘ２，ｌ一姜Ｊ—ａ２ｘ４—＿ｘｏ．

令Ｕ＝ａ２ｔ２ｍｔ３（￡一≯∈（Ｏ＜￡＜ｎ２））．求导得

Ｕ７＝２ａ２ｔ－－３ｔ２＝一３￡（￡一睾口２）．

设ＡＯ＝ＢＯ—ｚ，则三棱锥的底边长为√２ｚ，高

。；磊例３正四棱锥的底面边长为口，侧面与底面所

■ｒ“ｂ，

成二面角的大小为２０，若２０Ｅ（０，詈］，求此正四棱锥

的内切球体积Ｖ的最大信．

令Ｕ７＝ｏ得￡一ｏ（舍去），或￡一鲁口２．则当ｏ＜￡＜

ｐ

取正四棱锥底面的

尸

／解析一组对边的中点Ｍ、

Ｎ，连同正四棱锥的顶点Ｐ，得截面图图４，则圆０为等腰三角形ＰＭＮ的内切圆，切点为Ｈ、Ｅ．

设球的半径，即圆。的半径为Ｒ，则在Ｒｔ△ＰＨＮ中，由面积关系得Ｒ・ＰＮ＋Ｒ・ＨＮ—ＰＨ・ＨＮ，即

告口２时，Ｕ７＞ｏ；当鲁ｎ２＜￡＜口２时，Ｕ７＜ｏ，所以当￡一

Ｍ

么塞

Ｈ

号∥时，有ｕ。一刍ａ６则得ｕ。一喾口３．

当ｙ取得最大值时，

ｚ一害ｎ，矗一害口，ＯＥ一譬口，ｔａ眨ＯＥＡ＝，／－３，么ＯＥＡ－－－－６０。，么ＡＥＣ＝１２０。，

所以当相邻侧面所成二面角为１２０。时，Ｖ有最大值

Ｎ

图４

Ｒ‘夏羔历＋号）。ｉｔ２

解得Ｒ一号ｔａｎ

２口・器一号ｔａｎ良

ｔａｎ

２０。号，

彰彝蓄纛善萋粼拦姜’当髫雾

得目标函数ｙ—百１・２ｘ２＾一号／孑ｊ呵；虽然此函数

也比较复杂，但令Ｕ＝ａ２￡２－－ｔ３，就可得到一个十分简单的辅助函数；用导数法求最值则属于基本技能，关键是在此问题情境中要能迅速“想”到．

（作者单位：江苏省睢宁高级中学）

筝。．

因为２０Ｅ（ｏ，号］，所以０６（ｏ，詈］，又在（ｏ，－一６３＿ｈ，ｔａｎ口是增函数，则当口一詈，ｔａｎ８一譬时，有

粥化

万方数据　

‰一警ｃ争归缸

１９７４年４月６日，邓小平出席联合国大会第六届特别会议．

立体几何最值问题例析

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

王力

江苏省睢宁高级中学高中数理化

GAOZHONG SHU-LI-HUA2009(4)

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