二次函数图像性质
【基础演练】
1.(2012·开远) 在同一坐标系中,二次函数y =x 2+2与一次函数y =2x 的图象大致是
(
)
解析 ∵一次函数的图象过(0,0) ,(1,2) 两点, 又∵y =x 2+2的顶点坐标为(0,2) ,∴选C. 答案 C
2.(2012·广东广州) 将二次函数y =x 2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的
解析式为
( )
A .y =x 2-1 C .y =(x -1) 2
B .y =x 2+1
D .y =(x +1) 2
解析 直接根据上加下减的原则进行解答即可,将二次函数y =x 2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为:y =x 2-1. 故选A. 答案 A
3.(2011·甘肃兰州) 如右图所示的二次函数y =ax 2+bx +c 的图
象中,刘星同学观察得出了下面四条信息: (1)b 2-4ac >0;(2)c >1;(3)2a -b
( )
D .1个
A .2个 B .3个 C .4个
解析 抛物线与x 轴有两个交点,所以b 2-4ac >0,(1)正确.抛物线与y 轴的交点在0,b
1之间,故0
,
2a
b >2a ,∴2a -b
115
4.(2012·衢州) 已知二次函数y 2-7x +,若自变量x 分别取x 1,x 2,x 3,且0
22
则对应的函数值y 1,y 2,y 3的大小关系正确的是 A .y 1>y 2>y 3 C .y 2>y 3>y 1
B .y 1
( )
115b
解析 ∵二次函数y x 2-7x +,∴此函数的对称轴为:x =-=
222a
-7
-7. ∵0
1⎛2×⎝2减小,∴y 1>y 2>y 3. 答案 A
5.(2012·烟台) 已知二次函数y =2(x -3) 2+1. 下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的
对称轴为直线x =-3;③其图象顶点坐标为(3,-1) ;④当x
( ) D .4个
B .2个 C .3个
解析 ①∵2>0,∴图象的开口向上,故本项错误;②图象的对称轴为x =3,故本项错误;③其图象顶点坐标为(3,1) ,故本项错误;④当x
6.(2012·滨州) 抛物线y =-3x 2-x +4与坐标轴的交点个数是 A .3
B .2
C .1
( )
D .0
解析 抛物线解析式y =-3x 2-x +4,令x =0,解得:y =4,∴抛物线与y 轴的交点为(0,4) ,令y =0,得到-3x 2-x +4=0,即3x 2+x -4=0,分解因式得:(3x +4)(x -1) 44
-,0⎫,(1,0) ,∴抛物线=0,解得:x 1=-x 2=1. ∴抛物线与x 轴的交点分别为⎛⎝3⎭3与坐标轴的交点个数为3. 答案 A
7.(2012·陕西) 在平面直角坐标系中,将抛物线y =x 2-x -6向上(下) 或向左(右) 平移m 个单
位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m |的最小值为 A .1
B .2
C .3
( ) D .6
解析 当x =0时,y =-6,故函数与y 轴交于C (0,-6) ,当y =0时,x 2-x -6=0.
解得x =-2或x =3. 即A (-2,0) ,B (3,0) ;
由图可知,函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点,故|m |的最小值为2. 答案 B
8.(2012·广东深圳) 二次函数y =x 2-2x +6的最小值是________.
解析 因二次函数y =x 2-2x +6=(x -1) 2+5,其图象的开口向上,故它的最小值是5. 答案 5
9.点A (2,y 1) 、B (3,y 2) 是二次函数y =x 2-2x +1的图象上两点,则y 1与y 2的大小关系为
y 1________y 2(填“>”、“<”、“=”).
解析 由已知得,当x >1时,y 随x 的增大而增大,由1
10.(2012·上海) 将抛物线y =x 2+x 向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是________. 解析 ∵抛物线y =x 2+x 向下平移2个单位, ∴抛物线的解析式为y =x 2+x -2. 答案 y =x 2+x -2
11.(2012·杭州) 当k 分别取-1,1,2时,函数y =(k -1) x 2-4x +5-k 都有最大值吗?请写
出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值.
解 (1)当k =1时,函数为y =-4x +4,是一次函数(直线) ,无最值;
(2)当k =2时,函数y =x 2-4x +3,为二次函数,此函数开口向上,只有最小值而无最大值;
(3)当k =-1时,函数为y =-2x 2-4x +6,为二次函数,此函数开口向下,有最大值. 因为y =-2x 2-4x +6=-2(x +1) 2+8,则当x =-1时,函数有最大值为8. 【能力提升】
12.(2012·宁波) 把二次函数y =(x -1) 2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为
________.
解析 二次函数y =(x -1) 2+2顶点坐标为(1,2) 绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(-1,-2) ,所以旋转后的新函数的解析式为y =-(x +1) 2-2. 答案 y =-(x +1) 2-
2
13.(2012·德阳) 设二次函数y =x 2+bx +c ,当x ≤1时,总有y ≥0,当1≤x ≤3时,总有y ≤0,
那么c 的取值范围是________. A . c =3 B .c ≥3 C .1≤c ≤3 D .c ≤3
解析 ∵当x ≤1时,总有y ≥0,当1≤x ≤3时,总有y ≤0. ∴函数图象过(1,0) 点,即1+b +c =0①, ∵当1≤x ≤3时,总有y ≤0, ∴当x =3时,y =9+3b +c ≤0②, ①②联立解得:c ≥3. 答案 B
14.(2012·孝感) 二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)的图象的对称轴是直线x =1,
其图象的一部分如图所示,对于下列说法:
①abc 0. 其中正确的是________.(把正确的序号都填上) . 解析 ∵抛物线的开口向下,∴a
,∴
2a 2a ∴b >0,令x =0,则y =c >0, ∴abc
∵对称轴为x =1,图象与x 轴的一个交点位于2、3之间,∴图象与x 轴的另一交点位于0、-1之间,∴当x =-1时,a -b +c
1,∴b =-2a .
2a
∴y =ax 2+bx +c =ax 2-2ax +c , 当x =-1时,y =a +2a +c =3a +c , 根据图象得3a +c
∵根据图象可得当-10错误,所以④错误. 答案 ①②③
15.(2012·杭州) 在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y =k (x 2+x -1) 的图象交于点
A (1,k ) 和点B (-1,-k ) .
(1)当k =-2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大,求k 应满足的条件以及x
的
取值范围.
(3)设二次函数的图象的顶点为Q ,当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时,求k 的值. 解 (1)因为k =-2,所以A (1,-2) ,
k k 设反比例函数为y =A 在函数的图象上,所以-2=,
x 1解得k 1=-2,
2
反比例函数解析式为y =-x
151x +-k ,得抛物线对称轴为直线x (2)由y =k (x +x -1) =k ⎛⎝242
2
2
当k >0时,反比例函数不存在y 随着x 的增大而增大的取值范围,所以k 0时,反比例函数值y 随着x 的增大而增大;
11
当x ≤-时,二次函数值y 随着x 的增大而增大,所以自变量x 的取值范围是x ≤2215
-⎫, (3)由题(2)得点Q 的坐标为⎛4⎭⎝2因为AQ ⊥BQ ,点O 是AB 的中点, 1
所以OQ =AB =OA ,
2
1252 3得2=12+k 2,解得k =4163