洛必达法则失效的情况及处理方法
洛必达法则失效的种种情况及处理方法
1x sin x d x x →+∞x ⎰0今天我在看XX 书时，看到这样一道题，说是不可以使用洛必达法则，我对照这本书上关于lim
使用洛必达法则的条件，觉得还不太清楚，好像应该是符合条件的，谢谢你抽空给我指点一下。
洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，lim
也就是说洛必达法则
（1）x →a f (x ) f '(x ) =lim g (x ) x →a g '(x ) 的三个条件： lim g (x ) =0（或∞）； lim f (x ) =0x →a （或∞），x →a
（2）f (x ) 和g (x ) 在x =a 点的某个去心邻域内可导；
lim
（3）x →a f '(x ) =A g '(x ) （或∞）。
其中第三个条件尤其重要。
其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。 f '(x ) 1x lim =lim sin x lim ⎰sin x d x x →+∞0x →+∞x g '(x ) x →+∞而对于极限问题来说，因为不存在（既不是某个常数，也不是无穷
大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。
实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。 1x lim sin x d x x →+∞x ⎰0【问题】求极限。
【解】对于任何足够大的正数x ，总存在正整数n ，使n π≤x
这样x →+∞就等价于n →∞，所以
n π+r 1x 1sin x d x =lim sin x d x x →+∞x ⎰0n →∞n π+r ⎰0
n πn π+r 1⎡=lim sin x d x +⎰sin x d x ⎤⎰⎥n πn →∞n π+r ⎢⎣0⎦ lim =lim r 1⎡π2n +R 2n ⎰sin x d x +⎰sin t d t ⎤=lim =⎥0n →∞n π+r ⎢⎣0⎦n →∞n π+r π， 这里前面一项注意到了函数sin x 的周期为π，而后面一项作了令x =n π+t 的换元处理。最后注意到积分值R 的有界性（0≤R
如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永远也无法验证。
e x -e -x x 3+1lim x lim -x x x →∞x 【问题2】求极限（1）；（2）→+∞e +e 。 ∞
【分析与解】（1）这是∞型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到
x 3+1x 2x 3+1lim =lim =lim 32x →∞x →∞x →∞x x (x +1) ，
可知洛必达法则失效，处理的方法是
3x 3+1x +113+lim =lim =lim =1x →∞x →∞x →∞x x 3x 3。 （2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到
e x -e -x e x +e -x e x -e -x
lim =lim x =lim x x →+∞e x +e -x x →+∞e -e -x x →+∞e +e -x ，
可知洛必达法则失效，处理的方法是分子分母同乘e -x ，得到
e x -e -x 1+e -2x
lim =lim =1x →+∞e x +e -x x →+∞1-e -2x 。
e x lim 100【问题3】求极限x →0x 。 0
【分析与解】这是0型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可知洛必达法则的第三个条件
1
-1e x ? e x lim 100=lim x →0x x →0200x 102
完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。正确有效的--1t =
方法是作换元，令
-1
21x 2，这样就有 e x t 50
lim 100=lim t =0x →0x t →+∞e 。
还有一种极限问题，原则上虽然也适合使用洛必达法则，但不具有实际可操作性，例在本博客“2008考研数学辅导系列之24（4月14日博文《泰勒公式的应用》）”一文中的
6e -x sin x -x (6-7x 2) lim x →01+x 3ln -2x (3+x 2) 1-x 【例1】求极限问题，当时曾经分析说：本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达
法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂，而用了泰勒公式就会方便得多了。 2