高中常见分段函数题型归纳

分段函数常见题型及解法

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数， 它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.

与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法．

1．求分段函数的定义域和值域

例1. 求函数

⎧2x +2x ∈[-1,0];⎪f (x ) =⎨-1x ∈(0,2); x

⎪3x ∈[2,+∞); ⎩

的定义域、值域.

解析：作图, 利用“数形结合”易知f (x ) 的定义域为[-1, +∞) , 值域为（-1，2]U｛3｝.

例2. 求函数的值域.

解析：因为当x≥0时，x 2+1≥1；当x

2．求分段函数的函数值

⎧|x -1|-2, (|x |≤1) ⎪f (x ) =⎨1

, (|x |>1) ⎪2f [f (1+x ⎩2)]. 例1. 已知函数求

311

f () =|-1|-2=-解析：因为, 所以

f [f (2)]=f (-2) =

14

=2

1+(-13. 2)

例2. 已知函数 ，求f{f[f(a)]} (a

,

分析: 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由 a

，所以，.

注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．

⎧e x , x ≤0. 1g (x ) =⎨g (g ()) =lnx , x >0. ⎩2练1. 设则__________

⎧2x -1(x

⎪e f (x ) =⎨2

(-1) log ⎪3x ⎩练2. 设

(x ≥2).

则f [f

(2)]=__________

3．求分段函数的最值

例1. 求函数

⎧4x +3(x ≤0) ⎪

f (x ) =⎨x +3(0

⎪-x +5(x >1) ⎩

的最大值.

f (x ) =f (0)=3, 当01时,

解析：当x ≤0时, max

-x +5

) =4.

例2. 设a 为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R, 求f(x)的最小值. 分析：因为原函数可化为

所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.

解：当x

,

所以若

，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.

若，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为，且；

当x≥a时，函数；

若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且.

若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.

综上，当时，函数f(x)的最小值是；

当

时，函数f(x)的最小值是a 2+1；

当时，函数f(x)的最小值是.

注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的. 4．求分段函数的解析式

例1. 在同一平面直角坐标系中, 函数y =f (x ) 和y =g (x ) 的图象关于直线y =x 对称, 现将

y =g (x ) 的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成

的折线（如图所示）, 则函数f (x ) 的表达式为（ ）

⎧2x +2(-1≤x ≤0)

A . f (x ) =⎨x

⎩+2(0

B . f (x ) =⎨x

⎩-2(0

C . f (x ) =⎨x

⎩2+1(2

D . f (x ) =⎨⎩2-3(2

y =x ∈[-2,0]2x +1, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个解析：当时, y =(x -2) +1-1=22x -1, 所以f (x ) =2x +2(x ∈[-1,0]), 当x ∈[0,1]时, 单位, 得解析式为

y =2x +1, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式y =2(x -2) +1-1=2x -4, 所以f (x ) =1x +2(x ∈[0,2]), 综上可得

⎧2x +2(-1≤x ≤0)

f (x ) =⎨⎩2+2(0

2) , 故选A.

例2. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示：

(I)写出图l 表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)； (II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

解析：

(I)由图l 可得市场售价与时间的关系为

由图2可得种植成本与时间的函数关系为

（0≤t≤300）。

(II)设t 时间的纯收益为h(t)，由题意得

h(t)=f(t)-g(t)

再求h(t)的最大值即可。

注：观察图1，知f(t)应是一个关于t 的一次分段函数，观察图2可知g(t)是关于t 的二次函数，可设为顶点式，即设g(t)=a(t-150)2+100。

5．作分段函数的图像

例1. 函数y =e

|lnx |

-

|x -1|的图像大致是（ ）

C

D

2

例2. 已知函数f(x)=|x-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a 的值. 解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,

所以

由图象易知a=4.

注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.

例3. 已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a 的值. 解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,

∴

由图象易知a=4.

注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.

6．求分段函数得反函数

例1. 求函数

解：∵ f(x)在R 上是单调减函数， ∴ f(x)在R 上有反函数. ∵ y=x2+1(x≤0)的反函数是

的反函数.

(x≥1),

y=1-x(x>0)的反函数是y=1-x(x

∴ 函数f(x)的反函数是

注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可.

x

y =f (x ) f (x ) =3-1, 设f (x ) 得反函数为x >0R 例2. 已知是定义在上的奇函数, 且当时,

y =g (x ) , 求g (x ) 的表达式.

-x

f (-x ) =3-1, 又因为f (x ) 是定义在R 上的奇函数, 所以x 0解析：设, 则, 所以

f (-x ) =-f (x ) , 且f (0)=0, 所以f (x ) =1-3-x , 因此

⎧3x -1(x >0)

⎪f (x ) =⎨0(x =0)

⎪1-3-x (x

, 从而可得

⎧log 3(x +1) (x >0) ⎪g (x ) =⎨0(x =0)

⎪-log (1-x ) (x

3⎩

-1

.

⎧ －log3(x + 1)(x>6)

例3. 已知f (x ) = ⎨ ，若记f

⎩ 3x－6(x≤6)

(x ) 为f (x ) 的反函数，且

a =f

-1

1(), 9则

f (a +4) =__________.

7．判断分段函数的奇偶性

⎧x 2(x -1) (x ≥0) ⎪f (x ) =⎨2

⎪⎩-x (x +1) (x

22

f (-x ) =-(-x ) (-x +1) =x (x -1) =f (x ) , 当x

=0时, x >0-x

f (-0) =f (0)=0, 当x 0, f (-x ) =(-x ) 2(-x -1) =-x 2(x +1) =f (x ) 因此, 对于任

意x ∈R 都有f (-x ) =f (x ) , 所以f (x ) 为偶函数.

注：分段函数奇偶性必须对x 值分类，从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数结论. 8．判断分段函数的单调性

3⎧⎪x +x (x ≥0) f (x ) =⎨2

(x

解一：

分析：由于x ∈R ，所以对于设x1>x2必须分成三类： 1. 当x 1>x2>0时，则f(x1)-f(x2)= 2. 当0>x1>x2时，则 3. 当x 1>0>x2时，则

综上所述：x ∈R ，且x 1>x2时，有f(x1)-f(x2)>0。 所以函数f(x)是增函数.

注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论.

解二：显然f (x ) 连续. 当x ≥0时, f (x ) =3x +1≥1恒成立, 所以f (x ) 是单调递增函数, 当

'

x 0恒成立, f (x ) 也是单调递增函数, 所以f (x ) 在R 上是单调递增函数;

'

2

=(x1-x 2)(x1+x2)>0；

；

或画图易知f (x ) 在R 上是单调递增函数.

例2. 写出函数f (x ) =|1+2x |+|2-x |的单调减区间.

解析：

9．解分段函数的方程

⎧-3x +1(x ≤-2) ⎪

f (x ) =⎨3+x (-2

⎪3x -1(x ≥2) ⎩

, 画图知单调减区间为

(-∞, -2].

⎧2-x x ∈(-∞,1]1f (x ) =⎨f (x ) =

4的x 的值为__________ ⎩log 81x x ∈(1,+∞) , 则满足方程例1. 设函数

-x -x -2log x =2=x =2∉(-∞,1]x =2814, 则42=2解析：若, 则, 得, 所以（舍去）, 若

x =81, 解得x =3∈(1,+∞) , 所以x =3即为所求.

1

4

⎧2-x x ∈(-∞,1]1f (x ) =⎨f (x ) =

4的x 的值为__________ ⎩log 81x x ∈(1,+∞) , 则满足方程例2. 设函数

-x 11-x -2log x

=2=x =2∉(-∞,1]x =281, 则42=2解析：若, 则, 得, 所以（舍去）, 若

x =81, 解得x =3∈(1,+∞) , 所以x =3即为所求.

⎧⎪-x 2(|x |≤1) ⎨

⎪|x |(|x |>1)

练1：函数f(x)=⎩，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a 满足

A.a

B.0≤a

C.a=1

D.a>1

1

4

⎧⎪lg x -1, x ≠1, f (x ) =⎨

2x =0. ⎪⎩0, 练2：设定义为R 的函数则关于x 的方程f (x ) +bf (x ) +c =0

有7个不同的实数解的充要条件是（ ）

A. b 0 B. b >0且c

练3：设函数

f (x ) 在(-∞, +∞) 上满足f (2-x ) =f (2+x ) ，f (7-x ) =f (7+x ) ，且在闭区间

[0,7]上，只有f (1)=f (3)=0.

（Ⅰ）试判断函数 （Ⅱ）试求方程

y =f (x ) 的奇偶性；

f (x ) =0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论.

10．解分段函数的不等式

⎧2-x -1(x ≤0)

⎪f (x ) =⎨1

⎪x 2(x >0) f (x 0) >1, 则x 0得取值范围是（ ） ⎩例1：设函数, 若A . (-1,1) B . (-1, +∞)

C . (-∞, -2) ⋃(0,+∞) D . (-∞, -1) ⋃(1,+∞)

解一：首先画出y =f (x ) 和y =1的大致图像, 易

知

f (x 0) >1时, 所对应的x 0的取值范围是(-∞, -1) ⋃(1,+∞) .

解二：因为

f (x 0) >1, 当x 0≤0时, 2-x 0-1>1, 解得x 00时, x 0>1, 解得

1

2

x 0>1, 综上x 0的取值范围是(-∞, -1) ⋃

(1,+∞) . 故选D.

2

⎧(x

⎪⎩4-(x ≥1) , 则使得f (x ) ≥1的自变量x 的取值范围为（ ） 例2：设函数

A ．(-∞, -2]⋃[0,10] B. (-∞, -2]⋃[0,1] C. (-∞, -2]⋃[1,10] D. [-

2,0]⋃[1,10]

解析：当x

2

f (x ) ≥1⇔4≥1≤3⇔x ≤10, 所以1≤x ≤10, 综上所述, x ≤-2或0≤x ≤10, 故选A 项.

2

⎧(x

⎪⎩4-(x ≥1) , 则使得f (x ) ≥1的自变量x 的取值范围为（ ） 例3：设函数

A ．(-∞, -2]⋃[0,10] B. (-∞, -2]⋃[0,1] C. (-∞, -2]⋃[1,10] D. [-2,0]⋃[1,10]

解析：当x

2

f (x ) ≥1⇔4≥1≤3⇔x ≤10, 所以1≤x ≤10, 综上所述, x ≤-2或0≤x ≤10, 故选A 项.

(x ≥0) ⎧1　　

f (x ) =⎨

(x

x -1

⎧⎪2e , x

log 3(x 2-1), x ≥2, ⎪⎩练2：设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为________

(A)（1，2）⋃（3，+∞）(B)

（，+∞）(C)（1，2）⋃ （ ，+∞）(D)（1，2）

⎧1(x 为有理数) ⎨

0(x 为无理数)f 练3：设(x)=⎩，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（ ）

A ．g (x)=sinx B ．g (x)=x C ．g (x)=x2 D ．g (x)=|x|

点评：以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径， 若能画出其大致图像, 定义域、

值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化，效果明显.