噪声中正弦信号的经典法频谱分析
实验报告
一、实验名称
噪声中正弦信号的经典法频谱分析
二、实验目的
通过对噪声中正弦信号的经典法频谱分析，来理解和掌握经典谱估计的知识，以及学会应用经典谱估计的方法。
三、基本原理
1．周期图法：又称直接法。把随机信号x (n ) 的N 点观察数据x N (n ) 视为一能量有限信号，直接取x N (n ) 的傅里叶变换，得X N (e jw ) ，然后再取其幅值的平方，并除以N ，作为对x (n ) 真
ˆ(e jw ) 表示用周期图法估计出的功率谱，则实的功率谱P (e jw ) 的估计，以P PER
ˆ(w ) =1X (w ) 2。 P PER n
N
ˆ(m ) ，然后对r ˆ(m ) 2．自相关法：又称为间接法功BT 法。先由x N (n ) 估计出自相关函数r
ˆ(w ) ，并以此作为对P (w ) 的估计，即求傅里叶变换得到x N (n ) 的功率谱，记之为P BT
ˆ(w ) =P BT
m =-M
∑r ˆ(m ) e
M
-jwm
, M ≤N -1。
3．Bartlett 法：对L 个具有相同的均值μ和方差σ2的独立随机变量X 1，X 2，…，X L ，新随机变量X =(X 1+X 2+ +X L ) /L 的均值也是μ，但方差是σ2/L ，减小了L 倍。由此得
ˆ(w ) 方差特性的一个有效方法。到改善P 它将采样数据x N (n ) 分成L 段，每段的长度都是M ，PER
1I
ˆPER (w ) =即N=LM，第i 段数据加矩形窗后，变为x
M
M -1n =0
2
i N
∑x
ˆ(w ) 对(n ) e -jwn , 1≤i ≤L 。把P PER
2
1L ˆi 1L M -1i
x N (n ) e -jwn 。 应相加，再取平均，得到平均周期图PER (w ) =∑P PER (w ) =∑∑L i =1ML i =1n =0
4．Welch 法：它是对Bartlett 法的改进。改进之一是，在对x N (n ) 分段时，可允许每一段的数据有部分的交叠。改进之二是，每一段的数据窗口可以不是矩形窗口，例如使用汉宁窗或汉明窗，记之为d 2(n ) 。这样可以改善由于矩形窗边瓣较大所产生的谱失真。然后按Bartlett
ˆi (w ) =1ˆ(w ) ，即P 法求每一段的功率谱，记之为P PER P E R
MU
M -1n =0
∑x
i N
(n ) d 2(n ) e
2-j w ，式中
1U =
M
M -1n =0
∑d
22
(n ) 是归一化因子。
四、主要编程步骤
（一）构造一个频率为100Hz 的正弦信号，再构造一个方差为0.01的高斯白噪声，将正弦信号与噪声相加，得到信号xn=sin(2*pi*100*n)+0.1*randn(size(n))； （二）进行功率谱估计 1．周期图法
① 对xn 加汉明窗, 调用函数[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs)，其中采样频率Fs=1000Hz，分别取不同的信号长度128，256，512，1024时，分别进行功率谱估计，画功率谱图。
② 对xn 分别加矩形窗，汉宁窗，海明窗，blackman 窗。固定信号长度为256，采样频率为1000Hz, 调用函数[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs), 分别进行功率谱估计，画功率谱图。
2．间接法
用cxn=xcorr(xn,'unbiased')来计算xn 的自相关函数，然后对其进行傅里叶变换，便得到它的功率谱，画图。
3．Bartlett 法 对xn 加矩形窗，调用函数[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,Fs,window,noverlap,p)，进行功率谱估计，画功率谱图。
4．Welch 法
对xn 加海明窗，调用函数[Pxx,f]=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs,range)，进行功率谱估计，画功率谱图。
五、实验结果及分析
1．周期图法，
采样频率Fs=1000Hz，信号频率f=100Hz，高斯白噪声方差为0.01。 ① 取不同的信号长度128，256，512，1024时 程序运行结果如下图显示：
分析：当N 逐渐增大时，曲线的起伏也逐渐加剧，这是因为N 增大，使互不相关的点增多，才导致了曲线起伏的加剧。
② 对xn 分别加矩形窗，汉宁窗，海明窗，blackman 窗。固定信号长度N=256，调用函数[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs), 分别进行功率谱估计，画功率谱图。
程序运行结果如下图显示：
③ 改变信噪比
固定信号长度N=512,信噪比为-20dB,0dB,20dB 时
分析：信噪比越大，效果越好。
④ 改变窗函数的长度
2．间接法
采样频率Fs=1000Hz,采样点数N=1024，信号频率=100Hz，高斯白噪声方差为0.01。
3.Bartlett 法
采样频率Fs=1000Hz,采样点数N=1024，信号频率=100Hz，高斯白噪声方差为0.01。
4．Welch 法
采样频率Fs=1000Hz,采样点数N=1024，信号频率=100Hz，高斯白噪声方差为0.01。
六、结论
根据分析结果，给出明确的，与分析相一致的结论。