第56课平面向量的平行与垂直
第56课 平面向量的平行于垂直
一、教学目标
1. 理解平面向量的平行和垂直概念，并掌握平行于垂直的判定方法； 2. 能利用平行和垂直解决相关问题. 二、基础知识回顾与梳理
1． 已知向量a=(4,3)，b=(6,y)且a b，求实数y的值.
【教学建议】本题是选自课本第75页练习.主要目的是帮助学生复习、回顾两个向量平行的充要条件.教学时可采用提问方法由学生回顾学过的两种形式的平行的判定条件：（1）符号语言：若a//b，a≠0，则b=λa，但在此过程需要另设未知数λ；（2）坐标语言：x1y2-x2y1=0,这种方法来的简单直接学生更易接受.同时可提问这两种方法的联系与区别，坐标法是符号语言形式推导出来的. 2．将上题中的a//b，改成a⊥b，求实数y的值.
【教学建议】主要目的是帮助学生复习、回顾两个向量垂直的充要条件，教学时可采用提问方法. 3. 已知A(6,1), B（0，－7），Ｃ(－2,－3),试确定∆ABC的形状.
【教学建议】本题选自书上87页，旨在让学生进一步理解向量垂直的条件，并进行运用.教学时要引导学生作图进行观察，确定形状后，通过向量的运算进行确认.
三、诊断练习
1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏.课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误.将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力.点评时要简洁，要点击要害. 2、诊断练习点评
题1、已知平面内A,B,C三点在同一条直线上，OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1)，且OA⊥OB，
则实数mn的值为
【分析与点评】“A,B,C三点在同一条直线上”这一条件可转化为//，进而得到一个有关m,n的方程，再由⊥得另一方程，联立两个方程即可求解.
【变式】：已知向量a,b,且=a+2b, BC=－5a+kb, CD=7a－2b，若A,B,D共线则k的值为________.
【点评】：本题所要求的与已知条件与题1的相同，培养学生从基底角度理解向量共线.
题2、已知e1,e2是夹角为π的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a⋅b=0，则实数k的值为
【分析与点评】本题系2011江苏高考第10题，主要考查学生利用基底进行简单数量积运算的能力.
“外心”、“内心”、“重心”、“垂心”中选一个填空)
2
3
题3：P是∆ABC所在平面上一点，若PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，则P是∆ABC 的_____________.(在
【分析与点评】怎样理解PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA是解决本题的关键，观察等式的三边，式子类似且
形式对称，通过PA⋅PB=PB⋅PC我们能得出怎样的结论？
A+OC=OBO+D【变式】：平面内有四边形ABCD和点O，若O，则四边形ABCD的形状是__________.
2
题4：设A,B,C,D为平面上互异的四个点，且(DB+DC-2DA)⋅(AB-AC)=0，AB⋅AC=0,BC=4
则||=________________.
【分析与点评】AB⋅AC=0怎么理解？说明AB,AC具有怎样的位置关系？引导学生画出图形.∆ABC是直
角三角形，一边BC=2. (DB+DC-2DA)⋅(AB-AC)=0需要化简，怎么化？
2 2
得到AB-AC=0，说明||=||，再去解直角三角形.
3.要点归纳
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（1）已知两向量的坐标解决平行或垂直的问题时关键在于能根据相应的坐标运算列出等式，进行运算. （2）向量既具有数的特征又具有图形的特征，在解题时，既要对向量进行运算分析，同时配以图形辅助分析，比如诊断练习第3题,第4题. 四、范例导析
例1、设向量=(4cosα,sinα),=(sinβ,4cosβ),=(cosβ,-4sinβ) （1）若a与b-2c垂直，求tan(α+β)的值；（2
+的最大值； （3）若tanαtanβ=16，求证：//.
【教学处理】本题可由学生板演，教师点评或板书时，要概括总结相关要点. 【引导分析与精讲建议】 1. 第（1）、(3)两小题是两向量平行或垂直的充要条件的直接应用：
题（1）两个非零向量a ⊥ b⇔a⊥b⇔x1x2+y1y2=0；
题（3），a//b⇔ x1y2-x2y1=0，将相应的坐标代入等式，进而获证.
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2. 题（2）首先要知道向量求模公式：|a|=x+y，以下通过两种方案求解：
方案一：求出b+
c+的最大值；
+进行平方，建立出目标函数，进而求出其最大值.
例2 已知向量a=（1,2），b=（－2，1），k，t为正实数，向量x=a+(t+1)b， y=-ka+b (1) 若x⊥y，求k的最小值；
(2) 是否存在正实数k，t使x y？若存在，求出k的取值范围；
若不存在，说明理由.
【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评.也可在学生函数化思想时遇到困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书. 【引导分析与精讲建议】
1、 本题直接使用两向量垂直和平行的充要条件，一般做法：根据条件列出相应的等式→将等式化简变形→
对已知和结论对比分析； 2、 第（1）题中由已知得到(-2t-1)(-k-)+(t+3)(-2k+)=0时，应引导学生观察本题要求什么？
2
2
1t
2t
2
1t
t2+1
(t>0)要运思考如何去做？让学生去体会函数化的思想在求最值中的作用，其次得到的函数k=t
用基本不等式进行运算. 3、 第（2）题是一条探索题，一般做法：先假设问题成立→列式进行分析处理.本题是不存在这样的实数k,t，
则需要推出矛盾.
例3 以原点O和A（4,2）为两个顶点作等腰三角形OAB，∠B= 90︒，求点B的坐标和
【教学处理】指导学生画出图形先独立思考 【引导分析与精讲建议】 可提出以下问题与学生交流：
问题1：如果设点B(x,y)，怎样从条件中找出两个关于x,y的式子，列出方程组？
问题2：尝试从不同的角度，去列出方程组？
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问题3：对照图形来理解，为什么会有两解？这两解有怎样的特征？ 五、解题反思
1、处理向量平行和垂直问题时，通常使用向量平行、垂直的坐标形式的充要条件，从而得到方程.三道例题都有体现.
2、在例2中，通过向量垂直的充要条件得到的k,t式子中，将谁作为自变量？从中要体会函数思想方法在解题中的导引作用.
3、例3要结合图形分析其中的几何条件特征，将几何条件转化为坐标表示，这是数形结合的具体形式.
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