化简二次曲面方程的矩阵方法
第１５卷第２期２０１２年３月高等数学研究
ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏｌ．１５，Ｎｏ．２
，Ｍａｒ．２０１２
方法与技巧
化简二次曲面方程的矩阵方法
刘轼波
（厦门大学数学科学学院，福建厦门３）６１００５
摘
要 利用矩阵运算，结合向量的数量积和外积，介绍一种化二次曲面一般方程为标准形的简便方法．
文献标识码 Ａ
（）文章编号 １００８１３９９２０１２０２００２２０３－－－
关键词 标准方程；直角坐标变换；特征值；特征向量中图分类号 Ｏ１８２．２
在解析几何中，将给定的二次曲面一般方程
２２２
ａｘｚ＋ａ＋ｙ＋ａ１１２２３３
设Ａ的特征值为λ如果它们全相等，则Ａ必λλ１，２，３．然已经是对角阵．以下设λ有１是Ａ的单重特征值，
特征向量ｅ先采用以下的步骤求出上述正交矩阵１．）中的交叉项．以消去方程（３Ｑ，
情形１ 若λ则选取ｅ以使２＝λ３，２，
ｚ＋２ａｘａｘｚ＋２ａｙｙ＋２１２１３２３
（）ｂｘ＋ｂｚ＋ｃ＝０１ｙ＋ｂ１２３
通过直角坐标变换化为标准形是一个重要的课题．许多教科书先求得所需坐标变换
ｘ＝ｑｘ′＋ｑ′＋ｑｚ′＋ｘｙ１１１２１３１，ｘ′＋ｑ′＋ｑｚ′＋ｙｙ＝ｑｙ２１２２２３１，（）２′＋ｑ＝ｑｘ′＋ｑｚ′＋ｚｙ３１３２３３１，
）代入式（）来得到标准方程１－３］．这种方再将式（２１法计算量大、书写繁复、比较容易出错．
本文运用矩阵运算的方法，结合向量的数量积介绍一种较简便的方法．在以下的叙述中，和外积，
］一样，为了方便我们没有使用黑体来表如同文［４示向量，这并不会引起混淆．
为了应用矩阵方法，以下设
，Ａ＝（ａａｉ３３ （ｉｉ）×ｊ）ｊ＝ａｊ
，Ｘ＝（ｘ，ｚ）ｙ，
，Ｘ′＝（ｘ′，′，ｚ′）ｙ
，ｂ＝（ｂｂｂ１，２，３）
）写成矩阵形式并以ＸＴ表示Ｘ的转置，将式（１
ｂ′．２＝０
如果ｅ即ｅ则取ｂ≠０，１×１与ｂ不平行，ｅｂ．２＝ｅ１×如果ｅ则取ｂ＝０，１×
ｅε，２＝ｅ１×其中
ＴＴＴ
（），（），（）｝，１，０，００，１，００，０，１ε∈｛
是使ｅε≠０的标准基向量．１×
再取
ｅｅ３＝ｅ１×２，
），ｉ＝１，２，３ｉ （
ｅ｜ｉ｜
则ｅ且ｅ２，３都是对应于特征值λ２＝λ３的特征向量，
ｑｉ＝
ｂ′ ｑ２＝ｂ２＝
于是有正交矩阵
ｂｅ２
＝０．ｅ｜２｜
，Ｑ＝（ｑｑｑ１，２，３）
（）３
满足
Ｔ
｛ｉａ．λλλｇＱＡＱ＝Λ＝ｄ１，２，３｝
，ｂ′＝ｂｂ′ｂ′ｂ′ｂ′０，ｂ′＝（Ｑ＝（１，２，３）１，３）
）成为因此式（５
ＸＡＸＴ＋ｂＸＴ＋ｃ＝０．
由线性代数知存在正交阵Ｑ使ＱＡＱ＝Λ
是对角阵．作正交变换
Ｔ
Ｘ＝Ｘ′Ｑ，Ｔ
（）４（）５
′＋λｘ′＋λｚ′＋λｙ１２３
（）ｂ′ｘ′＋ｂ′ｚ′＋ｃ＝０．６１３
情形２ 若λ取λ取２≠λ３，２的特征向量ｅ２．
ｅｅ３＝ｅ１×２，），ｉ＝１，２，３ｉ （ｅ｜ｉ｜
则ｅ且有正交矩阵３是对应特征值λ３的特征向量，
，Ｑ＝（ｑｑｑ１，２，３）
２２２
）化为则式（３
Ｘ′Ｘ′Ｔ＋ｂ′Ｘ′Ｔ＋ｃ＝０，Λ
其中
ｂ′＝ｂｂ′ｂ′ｂ′．Ｑ＝（１，２，３）
；收稿日期：修改日期：２０１００２０２２０１１１２２８－－－－
，作者简介：刘轼波（男，广东潮州人，博士，教授，主要从事非１９７５－）
：线性泛函分析研究．Ｅｍａｉｌｌｉｕｓｂｍｕ．ｅｄｕ．ｃｎ＠ｘ
ｑｉ＝
使得
第１５卷第２期
刘轼波：化简二次曲面方程的矩阵方法
２３
Ｔ
｛ｉａ．λλλｇＱＡＱ＝Λ＝ｄ１，２，３｝
）成为从而方程（５
２２２
ｘ′ｚ′′λ＋λ＋λ＋ｙ１２３
作正交变换
３
ｘ′－′，＝－ｙ
３３３
′－３３３
）知方程化为依照注３，无须计算，由式（６
－
－
２
９ｘ′ｘ′－６ｚ′－５＝０．＋６
３３
（）ｂ′ｘ′＋ｂ′′＋ｂ′ｚ′＋ｃ＝０．７ｙ１２３
））至此，新方程（或（中不再含有交叉项．不６７）或（）化为难用配方法得到适当的平移将方程（６７标准形．
注１ 在情形１中，利用外积得到ｅ′．２使ｂ２＝０）具有较简单的系数，这不但使得到的新方程（而６且对λ对这种情形，如果λ２＝３＝０的情形尤为重要．
）后，）将则作正交变换（方程（不作这样的选择，４５成为
２
ｘ′′ｘ′＋ｂ′′ｚ′＋ｃ＝０．′＋ｂ＋ｂλｙ１１２３
该方程还得再经过一次坐标轴的旋转，才能化为标
（）８
配方得
９ｘ′＋
再作移轴变换
ｘ′ｘ″－３
，′＝″＋０
′″－１曲面方程化为标准方程
（３）＝０．ｚ′＋１）－６（
２
（）９
准形．显然，我们这里给出的方法显著地减小了计算量．
注２ 在情形２中，特征向量ｅ３通过外积得到，计算量也显著减少．
注３ 求得正交矩阵Ｑ之后，计算ｂ即′＝ｂＱ，
二次项系数就是Ａ的特征值，而常数一次项的系数．
项没有改变，因此都无须计算．
例１ 化简二次曲面方程
２２２
ｘｚｘｘｚ－＋４－４ｙ＋４ｙ＋４
２
９ｘ″ｚ″＝０．－６
）代入式（），这是抛物柱面．将式（可得相应的坐９８
标变换公式
３９
ｘｘ″－″＋ｙ＝－ｙ
３３３９
″２２１１
－３３３９例２ 化简二次曲面方程
－
－
２２２
ｚ－ｘｚｘｘｚ＋２＋ｙ＋５－６ｙｙ－２
３３
８ｚ＋６ｘ＋６ｚ－５＝０．ｙ
解 可以记
２１－２
Ａ＝－２ ４－４，
４２－４
），ｂ＝（６，０，６ｃ＝－５．
容易求得矩阵Ａ的特征值
，．λ λ１＝９２＝λ３＝０
特征值λ１对应特征向量
Ｔ）ｅ１，２．－２，１＝（故可取
），ｅｂ＝（２，６，１２－１２＝ｅ１×
Ｔ），ｅｅ６，６，１８－３－３３＝ｅ１×２＝（
Ｔ
６ｘ＋６ｚ＋１０＝０．ｙ－６
解 可以记
１－３－１Ａ＝－３ １ １，
－１ １ ５），ｂ＝（６，ｃ＝１０． －６，－６
容易求得矩阵Ａ的特征值
，，，λ λ λ１＝６２＝３３＝－２
它们相应的特征向量
Ｔ），ｅ１，２－１，１＝（
Ｔ），ｅ１，－１，－１２＝（
Ｔ
）ｅｅ０．－３，－３，３＝ｅ１×２＝（
根据前述情形２可得
Ｑ＝
１２３
＝ｅｅｅ｜１｜｜２｜｜３｜
）
３
－
３
－
３
－３３
那么
３３
－．３－３－－－Ｑ＝
－－
，）ｂ６，０，．－６Ｑ＝（
０
２４
）ｂ０，６０．Ｑ＝（作正交变换
－－－ｘ′－′，ｙ＝′０－
）知方程化为无须计算，由式（７
２２２
６ｘ′ｚ′０＝０．′′＋１＋３－２＋６ｙｙ高等数学研究
２０１２年３月
础课，它们之间有着密切的联系．将线性代数的方法应该得到鼓应用于解析几何的问题是很自然的事，
励．目前国内也出版了一些将这两门课合并成一门
５］
高等代数和空间解析几何课程的教材［但也应看．
（）１０
到大部分院校还是分别开设这两门课程．北京大学
６］数学系编写的高等代数教材［在国内被广泛地使
此书第一章讲述多项式的理论，于是线性代数的用．
内容被延迟了．根据我们讲授空间解析几何的经验，这导致学生在学习解析几何中的向量积、混合积等内容时就会碰到对行列式不熟悉的困难．在学习平直线的位置关系时，学生在高等代数课程中却还面、
未学到线性方程组的理论．二次曲面的一般理论部分中的许多具体计算和理论推导，本来利用矩阵的但是教学进行到此时学生对矩阵的运算会很方便，
（）１１
运算还不熟悉．总之因为先讲多项式，高等代数的内容是处处滞后于解析几何课程的需要，非常不利于严重地影响教学效果．教学，
］作为高等代数教因此，我们建议在使用文［６材的时候，应该从第二章行列式开始讲起，依次介绍线性方程组，矩阵及其运算，然后再讲第一行列式，
章的多项式理论．
参考文献
［］吕林根，许子道．解析几何［１Ｍ］．４版．北京：高等教育
出版社，２００６：２７７２８５．－
［］宋卫东．解析几何［２Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３：
２１３２２３．－
［］南开大学空间解析几何引论编写组．空间解析几何引论３
［Ｍ］．２版．北京：高等教育出版社，１９８９：２７６２８７．－［］多卡模．曲线和曲面的微分几何学［４Ｍ］．田畴，忻元龙，
姜国英，等译．上海：上海科学技术出版社，１９８８．［］孟道骥．高等代数与解析几何［５Ｍ］．２版．北京：科学出
版社，２００４．
［］北京大学数学系．高等代数［６Ｍ］．３版．北京：高等教育
出版社，２００３．
配方得
２２２
（６ｘ′′＋ｚ′＋３－２＋１＝０．ｙ
再作移轴变换
０′ｘ″′＝ｙ″－，
′″０方程化为
２２２
６ｘ″″ｚ″＋３－２＝－１．ｙ
）代入式（）即得相应这是双叶双曲面．将式（１１１０
坐标变换公式
－－－
″１－″＋－１．＝″１０－
需要指出的是：虽然我们这里用线性代数的矩阵方法可以比较方便地将二次曲面的一般方程化为标但是解析几何课程中二次曲面的一般理论部分准形，
讲述的渐近方向，径面，奇向等几何概念还是非常重要的．学好这些概念对培养我们的几何直观能力大有裨益，而且这些几何概念及其性质在一些解析几何习题中有着很灵活有趣的应用．须知：二次曲面一般理论绝不仅仅是为了化简二次曲面的一般方程．
空间解析几何与高等代数都是数学系学生的基
ＭａｔｒｉｘＭｅｔｈｏｄｆｏｒＳｉｍｌｉｆｉｎＥｕａｔｉｏｎ ｐｙｇｑ
ｕａｄｒａｔｉｃｏｆＳｕｒｆａｃｅ Ｑ
ＬＩＵＳｈｉｂｏ
（，，ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＳｃｉｅｎｃｅＸｉａｍｅｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔＸｉａｍｅｎ３６１００５，ＰＲＣ） ｙ
：，，，Ａｂｓｔｒａｃｔｓｉｎｍａｔｒｉｘｏｅｒａｔｉｏｎｓｃａｌａｒａｎｄｃｒｏｓｓｆｏｒｖｅｃｔｏｒｓｗｅｒｏｄｕｃｔｒｏｄｕｃｔｒｏｏｓｅ Ｕ ｇｐｐｐｐｐ
ｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｉｍｌｉｆｉｎｔｈｅｅｕａｔｉｏｎｏｆｓｕｒｆａｃｅ．ａｕａｄｒａｔｉｃ ｐｙｇｑｑ
：，，，Ｋｅｗｏｒｄｓａｎｏｎｉｃａｌｅｕａｔｉｏｎｏｒｔｈｏｎｏｒｍａｌｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｅｉｅｎｖａｌｕｅｅｉｅｎｖｅｃｔｏｒｙ ｃ ｑｇｇ