平衡辐射场的内能密度随频率和波长的变化
综合性设计性实验
实验8 平衡辐射场的内能密度随频率和波长的变化 实验目的：
1、弄清平衡辐射场内能密度随频率和波长变化规律 2、推导辐射场能量取极大时对应的波长、频率满足的方程 3、编程求解上述方程
4、编程画出平衡辐射场内能密度随频率和波长变化曲线，理解辐射场能量取极大时对应的波长和频率间的差异 实验背景：
黑体辐射是量子力学重要的实验基础之一，利用光子假说和玻色统计可以给出黑体辐射的内能密度与光子频率或波长之间的关系。
光子是玻色子，自旋为1；光子静止质量为0；光子的动量、能量、频率、波矢、速度之间的关系为
p =k , k =2π/λ
ε=ω
ε=pc
光子数不守恒，α=0，化学势为0。这样光子气体的统计分布为
a l =
ωl
e
εl /kT
-1
光子的自旋在传播方向的投影有±两个值，对应于左右两个偏振光。
在体积V 内，动量为p
p +dp 的量子态数为
8πV 2V
p dp =ω2d ω 323h πc
在ωω+d ω内的光子数为
V
ω2d ω23
πc e
1
ω/kT
-1
乘以每一个光子的能量，则辐射场的内能为
V ω3
U (ω, T ) d ω=23ω/kT d ω
πc e -1
(1)
若取V=1，则给出了辐射场的内能密度。
注意到光的频率与波长间的关系，容易给出内能密度与波长的关系
u (λ, T ) d λ=
8πhc
1e
hc /λkT
λ
5
-1
d λ (2)
若令x =ω/kT ，则使(1)式有极大值的x 满足 若令x =
hc
λkT
3-3e -x =x (3)
，则使(2)式有极大值的x 满足
5e -x +x =5
实验内容：
(4)
1、用牛顿法求方程（3）、（4）的根 （1）方程（3）的求根程序ch8_1为： module NUMERICAL implicit none
real, parameter :: zero=0.0001 contains
real function newton(a,f,df) implicit none
real :: a real, external :: f real, external :: df real :: b real :: fb b = a-f(a)/df(a) fb= f(b)
do while( abs(fb) > zero )
fb=f(b) end do newton=b return
end function newton real function func(x) implicit none real :: x
func=x+3*exp(-x)-3 return end function func real function dfunc(x)
a=b
b=a-f(a)/df(a)
implicit none real :: x
dfunc=1-3*exp(-x) return
end function dfunc end module NUMERICAL program main use numerical implicit none real :: a real :: ans write(*,*) read (*,*) a
ans=newton(a,func,dfunc) write(*,"('x=',F15.8)") ans stop end program 根为x=2.82144022；
（2）方程（4）的求根程序ch8_2为： module NUMERICAL implicit none
real, parameter :: zero=0.00001
contains
real function newton(a,f,df) implicit none real :: a real, external :: f real, external :: df real :: b real :: fb b = a-f(a)/df(a) fb= f(b)
do while( abs(fb) > zero )
fb=f(b) end do newton=b return
end function newton real function func(x) implicit none real :: x
func=x+5*exp(-x)-5
a=b
b=a-f(a)/df(a)
return end function func real function dfunc(x) implicit none real :: x
dfunc=1-5*exp(-x) return
end function dfunc end module NUMERICAL program main use numerical implicit none real :: a real :: ans write(*,*) read (*,*) a
ans=newton(a,func,dfunc) write(*,"('x=',F16.8)") ans stop end program x=4.96511412;
2、推导内能密度随波长，频率变化的关系式
由(1)、(2)式得：平衡辐射场的内能密度和波长、频率有如下关系：
333
u (ω, T)
=k Tx π2c 3 2e x
-1 (5);
其中x =
ωkT
8πk 5T5x 5
u (λ, T)
=h 4c 4e x
-1 (6)
其中x =
hc
λk T
; 3、编程计算内能密度随波长、频率的变化关系，并用作图软件严格画出这些关系。 源程序ch8_3及图如下： program ch8_3 implicit none integer i
real(8) x(1000),dx,p(1000),q(1000) open(1,file="formula1.dat") open(2,file="formula2.dat") p(1)=15 q(1)=1 dx=0.01 x(1)=0.0 do i=2,1000
x(i)=x(1)+i*dx
p(i)=p(1)*(x(i)**3)/(exp(x(i))-1) write(1,*) x(i),p(i) end do do i=2,1000 x(i)=x(1)+i*dx
q(i)=q(1)*(x(i)**5)/(exp(x(i))-1) write(2,*) x(i),q(i) end do close(1) close(2) end
根据上述程序计算出的数据画图如下：
252015
u
1050
4、实验结论
1、在一定温度下，对于不同的自变量，内能密度都有一个峰值。 2、以波长和频率为自变量的内能密度曲线峰值决定的波长和频率并不按λ=结论分析：
由能量守恒知：⎰u (w , T ) dw =⎰u (λ, T ) d λ （7）
由内能密度的定义，温度为T 的黑体，分别用频率ω和波长λ表示内能密度如下：
2πc
ω
的对应关系。
k 3T 3x 3
u 总=⎰u (w , T ) dw =⎰32x dw （8）
πc e -18πk 5T 5x 5
u 总=⎰u (λ, T ) d λ=⎰44x d λ （9）
h c e -1
由（8）、（9）知，以波长和频率为自变量时由于x 的阶不一样，内能密度曲线峰值决定的波长和频率并不按λ=
2πc
ω
的对应关系。
也就是单位波长间隔内的内能密度与单位频率间隔内的内能密度是不同的！但是在整个空间内是相等的。 由于波长和频率的关系为：λ=容易得：dw =-
2πc
2πc
w
λ
2
d λ （10）
把（10）代入（8）中可得，上述两式取最大值时自变量x 有相同的阶。此时上述式子可以改写为：
k T x
dx 233x
πc e -1
这时能量密度取最大值时，对应的x 有相同值。
443