量子力学填空简答证明复习资料
填空
第一章 绪论
6、玻尔的量子化条件为L =n
9德布罗意关系为E = ω, p = k
12
h ν=A +mv 。 1、 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为2
2、 验验证了德布罗意波的存在，德布罗意关系
为 E = ω, p = k 。
第二章 波函数和薛定谔方程
1、波函数的标准条件为 单值，连续，有限 。
4、(x , y , z , t ) 的物理意义： 5、
2
⎰(r , θ, ϕ)
2
r 2dr 表示
第三章 量子力学中的力学量
2如两力学量算符
有共同本征函数完全系，则
0 。
有确定的值
，则力学量算符
、3、设体系的状态波函数为
与态矢量
，如在该状态下测量力学量
ˆψ=λψ_______。 的关系为
__F
5、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符
表示。
10坐标和动量的测不准关系是_∆x ∆p x ≥
___________________________。 2
自由粒子体系，_动量_________守恒；中心力场中运动的粒子___角动量________守恒 3、 设
为归一化的动量表象下的波函数，则
的物理意义为___在p —p+dp范围内发现粒子的
几率____________________________________________。
3、厄密算符的本征函数具有 正交，完备性 。
ˆ, L ˆ]=i L ˆx ]=i ； [L 10、[x , p y z x
第四章 态和力学量的表象
量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__________；算符是希尔伯特空间的__算符__________。 力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的
第五章 微扰理论
第七章 自旋与全同粒子
7.
ˆ2为泡利算符，则σ=
8、费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_交换反对称性__ _______, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____交换对称性____ 。
4、 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合
时，能级的简并度为 2n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为
2j +2
2
ˆ5、 S
简答
第一章 绪论
什么是光电效应？爱因斯坦解释光电效应的公式。
答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。
这些逸出的电子被称为光电子 （3分）
用来解释光电效应的爱因斯坦公式：h ν=A +
第二章 波函数和薛定谔方程
1
mv 2 （3分） 2
1、如果ψ1和ψ2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：ψ也是这个体系的一个可能状态。
答，由态叠加原理知此判断正确
=c 1ψ1+c 2ψ2（c 1，c 2是复数）
4、（1）如果ψ1和ψ2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：ψ=c 1ψ1+c 2ψ2
（c 1，c 2是复数）是这个体系的一个可能状态吗？（2）如果ψ1和ψ2是能量的本征态，它们的线性迭加：
ψ=c 1ψ1+c 2ψ2还是能量本征态吗？为什么？
答：(1)是（2）不一定，如果ψ1，ψ2对应的能量本征值相等，则ψ=c 1ψ1+c 2ψ2还是能量的本征态，否则，如果ψ1，ψ2对应的能量本征值不相等，则ψ=c 1ψ1+c 2ψ2不是能量的本征态
1、 经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？
答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；
（ 2分）
（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在空间出现的几率
只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函
数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变； （3分）
6、若ψ1(x ) 是归一化的波函数， 问： ψ1(x ) ， ψ2(x ) =c ψ1(x )
c ≠1 ψ3(x ) =e i δψ1(x ) δ为任意实数
是否描述同一态？分别写出它们的位置几率密度公式。
答：是描述同一状态。 （2分）
*
W 1(x ) =1(x ) =ψ1(x ) ψ1(x ) （1分）
2
W 2(x ) =
*
ψ2(x ) ψ2(x )
⎰dx ψ
*
2(x ) ψ2(x )
=1(x ) （1分）
2
*
W 3(x ) =ψ3(x ) ψ3(x ) =1(x ) （1分）
2
第三章 量子力学中的力学量
2能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。
答：不一定，如果ψ1，ψ2对应的能量本征值相等，则ψ=c 1ψ1+c 2ψ2还是能量的本征态，否则，如果ψ1，
ψ2对应的能量本征值不相等，则ψ=c 1ψ1+c 2ψ2不是能量的本征态
ˆˆ3、在量子力学中，自由粒子体系，力学量p 守恒；中心力场中运动的粒子力学量L 守恒.
答：判断力学量是守恒量的条件：算符不显含时间，且与哈密顿算符对易。
ˆ守恒 ˆ]=0所以力学量p ˆ, H 自由粒子体系，[p
ˆˆˆ[L , H ]=0L 中心力场中运动的粒子所以力学量守恒.
1、量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，电子在均匀电场E =(E , 0, 0) 中运动，哈密
ˆ2p ˆˆ，试判断p ˆz 各量中哪些是守恒量，并说明原因。 ˆx ，p -eE x ˆy ，p 顿量为H =2m
答：判断力学量是守恒量的条件：算符不显含时间，且与哈密顿算符对易。 （2分）
p y 和 p z 是守恒量 （2分）
ˆ=0因为：x , P y
[]
ˆz ]=0[x , p
ˆ2, p ˆy ]=0[p ˆ2, p ˆz ]=0 [p
ˆ]=0 [p ˆ]=0 （4分） ˆy , H ˆz , H 则有： [p
ˆy 、p ˆz 不显含时间。所以，p z 、p y 是守恒量 且p
3、量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？
ˆ∂F
=0 （1分） 答：力学量守恒的条件：（1）力学量不显含时间，即 ∂t
ˆ, H ˆ]=0 （1分） （2） [F
经典力学中如果物理量不随时间变化则称这个物理量为守恒量。 （2分）
ˆˆ3、在量子力学中，自由粒子体系，力学量p 守恒；中心力场中运动的粒子力学量L 守恒；在定态条件下，守
恒的力学量是能量 。
答：判断力学量是守恒量的条件：算符不显含时间，且与哈密顿算符对易。
ˆ守恒 ˆ]=0所以力学量p ˆ, H 自由粒子体系，[p
ˆˆˆ中心力场中运动的粒子[L , H ]=0所以力学量L 守恒. ˆ, H ˆ]=0所以能量守恒 在定态条件下，[H
第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论
第七章 自旋与全同粒子
2、什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系
答：全同性原理：两个粒子的相互代换不引起物理状态的改变，全同粒子在重叠区的不可分性
（2分）
泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。 （2分）
它是全同性原理的自然推论。 （1分）
2、 乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？表明电子有自旋的实验事实有哪些？ 答：乌伦贝克关于自旋的的基本假设是
每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个值 ±
2
（3分）
e ˆˆˆˆ
M 每个电子具有自旋磁矩s ，它和自旋角动量S 的关系是M s =-S
μ
实验事实有：（1）斯特恩－盖拉赫实验 （1分） （2）（碱金属）原子光谱的精细结构 （1分） （3）反常塞曼效应 （1分）
3、 表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？
答：实验事实有：（1）斯特恩－盖拉赫实验 （1分） （2）（碱金属）原子光谱的精细结构 （1分） （3）反常塞曼效应 （1分） 自旋特性：① 内禀属性 （1分）
② 量子特性，不能表示为
③满足角动量的一般对易关系，
证明：
（1分）
（1
分）
ˆ2, L ˆ]=0 [L x
2ˆˆ[L , L x ] 证明：
ˆ2+L ˆ2+L ˆ2, L ˆ=L x y z x
[]
（1分）
ˆL ˆ-i L ˆL ˆ+i L ˆL ˆ+i L ˆL ˆ y 、x 反的且中间没有间隔 所以负的 （1分）=-i L y z z y z y y z
=0 （1分）
2ˆˆ[L , L y ]=0
2ˆˆ[L , L y ] 证明：
ˆ2+L ˆ2+L ˆ2, L ˆ=L x y z y
[]
（1分）
ˆL ˆ, L ˆ+L ˆ, L ˆL ˆ+L ˆL ˆ, L ˆ+L ˆ, L ˆL ˆ=L x x y x y x z z y z y z z 、y 反着中间没有间隔
所以是负的 （2分）
[][][][]
ˆL ˆˆˆˆˆˆˆ=i L x z +i L z L y -i L z L x -i L x L z （1分）
=0 （1分）
ˆ, y ]=i z [L x
证明：
ˆ, y ]=[y p ˆz -z p ˆy , y ]=y [p ˆz , y ]+[y , y ]p ˆz -z [p ˆy , y ]-[z , y ]p ˆy （ 3分） [L x
ˆy ]=i z （2分） =z [y , p
ˆx , σˆy ]=2i σˆz 证明： [σ
ˆx , σˆy }=0 （1分） {σ
ˆx σˆy σˆz =i σ
ˆx σˆy -σˆy σˆx =2i σˆz （1分） 即：σ
ˆx σˆy +σˆy σˆx =0 （1分） σ
ˆx σˆy =2i σˆz （1分） （1）式+（2）式得：2σ
ˆx σˆy σˆz =2i σˆz =2i （1分） ˆz 得：2σ等式两端同乘σ
2