(数学分析习题答案)第二章
第二章 数列极限
P.27 习题
2．按ε-N 定义证明： （1）
lim
n n +1
n →∞
=1
-1=
n n +1
n 1n +1=1
证明 因为 n +1
n n +1
-1
1n
1
n ，所以∀ε>0，取
N =
1
ε，∀n >N ，必有
lim
. 故3n +n
22
n →∞
（2）n →∞2n -1
22
lim =
32
3n +n
证明 因为
2n -1
-
32
=
2n +32(2n -1)
3}
2
2n +3n 2(n +n -1)
2
2
5n 2n
2
2
=
52n
3n
3n +n
2n -1
，∀n >N ，有
2
(n >1) ，于是∀ε>0，取
N =max{1,
-
32
3n
ε
. 所以
lim
3n +n 2n -1
2
2
n →∞
2 n !
lim n =0（3）n →∞n
n !
=
3
证明 因为 n
N =
1
n
-0=
n ! n
n
=
n (n -1) 1n ⋅n ⋅ ⋅n
1n
=
n -1n
lim
⋅ ⋅
211
⋅≤n n n
，于是∀ε>0，取
n !
n
ε，∀n >N ，必有n
lim sin
-0≤
n ! n
n
. 所以
n →∞
=0
π
n
（4）
n →∞
=0
sin
π
n
-0=sin
π
n
≤
π
n ，于是∀ε>0，取
N =
π
ε，∀n >N ，必有
证明 因为
sin
π
n
-0≤
π
n
lim sin
π
n
. 所以
n a
n
n →∞
=0
lim
（5）
n →∞
=0(a >1)
(h >0) ，于是
n (n -1) 2n (n -1) 2n
=1+nh +h + +h ≥h
22，从而
证明 因为a >1，设a =1+h
a
n
=(1+h )
n
n a
n
-0=
n a
n
≤
n n (n -1) 2
h
2
=
2(n -1) h
2
，所以∀ε>0，取
lim
n a
n
N =
2
εh
2
+1
，∀n >N ，
n
有
a
n
-0≤
2(n -1) h
2
. 故
n →∞
=0
3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：
11lim lim lim 33n →∞
n ；（1）（2）n →∞；（3）n →∞n
111lim lim lim n lim n n →∞n →∞2；2 （4）n →∞3；（5）（6）n →∞；（7）
lim
1n
n →∞
=lim
1
1
n →∞
=0
解 （1）（2）（3）
lim lim
n →∞
n 2
a =
1
2），无穷小数列.
（用例2的结果，
3=11=0
，（用例5的结果，a =3）
，（用例2的结果，a =3），无穷小数列.
n
n →∞
n
3
lim
13
n
（4）
n →∞
⎛1⎫1
=lim ⎪=0q =n →∞33）⎝⎭，（用例4的结果，，无穷小数列. ⎛1⎫1=lim ⎪=0q =n →∞
⎝2⎭2），（用例4的结果，，无穷小数列.
n
lim
12
n
（5）
n →∞n
（6）n →∞
lim
n →∞n
lim =112
，（用例5的结果，a =10）.
=lim
12
（7）
n →∞
=1
a =
12）.
, （用例5的结果，
4．证明：若n →∞证明 因为n →∞
lim a n =a
，则对任一正整数 k ，有k →∞
lim a n +k =a
，于是，当k >N
lim a n =a
，所以
∀ε>0, ∃N >0, ∀n >N , |a n -a |
lim a n +k =a |a n +k -a |N 时，必有，从而有，因此k →∞.
5．试用定义1证明：
⎧1⎫n
(-1) ⎨⎬
{n }发散.
（1）数列⎩n ⎭不以1为极限；（2）数列
证明（用定义1证明） 数列
{a n }
不以 a 为极限（即n →∞
lim a n ≠a
）的定义是：
∃ε0>0
，
∀N >0，∃n 0>N ，|a n 0-a |≥ε0
1ε0=
2，∀N >0，取n 0=N +2>N ，有 （1）取
1n 0
-1=
1N +2
-1=
N +1N +2
≥
N +12(N +1)
1
=
12
=ε0
⎧1⎫
⎨⎬
，故数列⎩n ⎭不以1为极限.
⎧1⎫
ε0=⎨⎬
2另证（用定义1’证明） 取，则数列⎩n ⎭中满足n >2的项（有无穷多个）⎧1⎫
⎨⎬
U (1; ε0) =(2, 32)
显然都落在1的邻域之外，故数列⎩n ⎭不以1为极限.
11n n
(-1) (-1) {1, 2, , 4, , 6, }{n }{n }ε=135（2）数列=，对任何a ∈R ，取0，则数列
中所有满足“n 为偶数，且n >a +1”的项（有无穷多个），都落在 a 的邻域
U (a ; ε0) =(a -1, a +1)
之外，故数列{n
(-1)
n
}不以任何数 a 为极限，即数列{n
(-1)
n
}发
散.
n
⎧(-1) ⎫⎨1+⎬
n ⎭的极限是1. 6．证明定理2.1，并应用它证明数列⎩
lim a n =a
定理2.1 数列{a n }收敛于 a 充要条件是：{a n -a }为无穷小数列. （即n →∞
的充要条件是n →∞
lim (a n -a ) =0
）
，由数列极限的定义，∀ε>0, ∃N >0, ∀n >N ，有
lim (a n -a ) =0
证明 （必要性）设n →∞
|a n -a |=|(a n -a ) -0|
lim a n =a
，所以 n →∞.
（充分性）设n →∞
lim (a n -a ) =0
，由数列极限的定义，∀ε>0, ∃N >0, ∀n >N ，有
lim a n =a
|(a n -a ) -0|=|a n -a |
，所以n →∞.
n n
⎧⎫⎧(-1) n ⎫⎧(-1) ⎫(-1)
-1⎬=⎨⎨1+⎬⎨1+⎬
n n n ⎭⎩⎭是无穷小数⎭的极限是1. 因为⎩下面证明：数列⎩
n
⎧(-1) ⎫⎨1+⎬
n ⎭的极限是1. 列，所以数列⎩
7．证明：若n →∞证明 设
lim a n =a lim a n =a
n →∞
，则n →∞
lim |a n |=|a |
. 当且仅当 a 为何值时反之也成立？
，由数列极限的定义，∀ε>0, ∃N >0, ∀n >N ，
lim |a n |=|a |
a n |-|a |≤|a n -a |
{(-1) }.
n
，所以也有n →∞. 但此结论反之不一定成立，例如数列
当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设n →∞
a n |=|a n |
lim |a n |=0
，于是∀ε>0, ∃N >0, ∀n >N ，
，所以n →∞
lim a n =a
.
1+2+3+ +n
n
3
8．按ε-N 定义证明： （1）
lim (n +1-
n →∞
n ) =0
lim
； （2）
n →∞
=0
⎧n -1
, ⎪⎪n
a n =⎨2
⎪n +n
lim a n =1⎪n ⎩（3）n →∞，其中
|
n +1-
n |=1n
1
n 为偶数n 为奇数
1
n . 于是∀ε>0，取
n ) =0
证明 （1）因为
∀n >N ，必有
n +1+n
N =
1
ε
2
，
|n +1-n |
，从而n →∞
lim (n +1-
.
1+2+3+ +n
（2）因为
N =
1
n
3
=
n (n +1) 2n
3
=
n +12n
2
n +n 2n
2
=
1
n ，于是∀ε>0，取1+2+3+ +n
n
3
1+2+3+ +n
n
3
ε，∀n >N ，必有
-0
1n
，所以
1n
=
lim
n →∞
=0
（3）因为当 n 为偶数时，
|a n -1|=
|a n -1|=n +n n
1
2
n -1n -1=
-1=
2
n +n -n
n
1n +n +n N =
1
2
1n
当 n 为奇数时，管n 为偶数还是奇数，都有
|a n -1|
1n
，故不
|a n -1|
n . 于是∀ε>0，取ε，∀n >N ，必有
，所以 n →∞
lim a n =1
.
P.33 习题
1．求下列极限： ⑴ 根据P.24例2
，a >0，可得 111+3+332
n +3n +11n n lim =lim =n →∞4n 3+2n +3n →∞134
4+22+3
n n
n →∞
lim
1n
a
=0
lim
1+2n n
2
⑵
n →∞
=lim (
n →∞
1n
2
+
2n
) =0
，|q |
2
⑶根据P.25例4
(-2) +3(-2)
n +1n
n n +1
lim q
n →∞
n
=0(
) +1
=
)
n +1
n
lim
n →∞
+3
2
=lim
13
n →∞
3⋅(+3
n
=lim
11+
1n +1
n →∞
lim (n +n -n ) =lim
n →∞
n →∞
=
12
n +n +n
⑷
这是因为由P.29例1若lim
n →∞
a
lim (1+
1n
lim a n =a
n →∞
，则
lim
n →∞
a n =
. 于是由
n →∞
) =1
，得
1+
1n
==1
.
n
⑸ n →∞
lim (n +
2+ +
) =10
，因为n →∞
lim
a =1
（a >0）
1
1lim
n →∞
1-⋅1-1-⋅1-
121
n
213
++
1213
2
+ ++ +
1213
n
2
=lim
n →∞
2131
n
=2
2n
13
⑹ 2．设n →∞
a n
3
lim a n =a
，n →∞
lim b n =b
，且a N 时，有
a +b 2
.
a
a +b 2
证明 由a
. 因为n →∞
a +b 2
lim a n =a
，由P.24保号性定理2.4，
a +b 2
存在N 1>0，使得当n >N 1时有N 2>0，使得当n >N 2时有a +b a n
2.
a n
. 又因为n →∞
lim b n =b >
，所以，又存在
b n >
a +b 2
. 于是取N =max{N 1, N 2}，当n >N 时，有
3．设
{a n }
为无穷小数列，
{b n }
{b n }
为有界数列，证明：
{a n b n }
为无穷小数列.
|b |≤M , n =1, 2, {a }
为有界数列，所以存在M >0，使得n . 由n 为
ε
|a n |
M . 从而当n >N 时，有无穷小数列，知∀ε>0, ∃N >0, ∀n >N ，
ε
|a n b n |=|a n |⋅|b n |
4．求下列极限
证明 因为
⎛1⎫1111⎫⎛1111
⎪lim ++ +=lim -+-+ +- ⎪⎪n →∞n →∞ 1⋅22⋅3n (n +1) 1223n n +1⎝⎭⎝⎭
1⎫⎛=lim 1-⎪=1n →∞n +1⎭⎝
1
（1）
2
1
2
2
2
2
n
2=22
+
1
11++
n
482
1-
12
n
=2
1
=
（2）因为
1
1
22，而
n
n
1
lim
2
n
4
=
n →∞
22
8
2→1(n →∞) ，于是n →∞
n 22 22=lim =21
n →∞
n
lim 22=1
n
，从而
22
（3）
n
32n -1⎫⎛1
lim +2+ +⎪n n →∞222⎝⎭
557792n +12n +3⎫2n +3⎫⎛⎛=lim 3-+-2+2-3+ +-=lim 3-⎪ ⎪=3n -1n n n →∞n →∞22222222⎝⎭⎝⎭
1
（4）当n >2时，2lim
n
1n
12
1-
1n
lim
12
，，而
n →∞
=lim
n →∞
=1
，所
以
n →∞
1-
1n
=1
.
0
1n
2
+
1(n +1)
2
+ +
1(2n )
2
≤
n +1n
2
=
1n
+
1n
2
→0, (n →∞)
（5）因为，所以
⎛111⎫
⎪=0lim ++ +22⎪n →∞ n 2(n +1) (2n ) ⎭⎝
n 11
≤++ +222
n +1n +2（6）因为n +n lim
n n +n
2
n →∞
1n +n
2
≤
n n +1
2
≤
n n
2
=1
，
=lim
11+
1n
n →∞
=1
且
⎛
lim n →∞
⎝
1n +1
2
，所以
⎫⎪=1⎪2
n +n ⎭ 1
{a n ±b n }
+
1n +2
2
+ +
5．设
{a n }
与
{b n }
中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明是发散数列.
⎧a n ⎫
⎨⎬(b n ≠0) b {a b }
又问n n 和⎩n ⎭是否必为发散数列.
证明 （用反证法证明）不妨设收敛，则
b n =(a n +b n ) -a n
{a n }
是收敛数列，
{b n }
{b n }
是发散数列. 假设数列
{a n +b n }
收敛，这与是发散数列矛盾，所以，数列
{a n +b n }
发散.
同理可得数列
{a n -b n }
发散.
⎧a n ⎫
⎨⎬(b n ≠0)
{a n b n }⎩b n ⎭{a }{b }
和不一定是发散数列. 例如，若n 是无穷小数列，n 是有⎧a n ⎫
⎨⎬(b n ≠0) b {a b }
界的发散数列. 则n n 和⎩n ⎭是无穷小数列，当然收敛.
⎧b n ⎫
⎨⎬(a n ≠0) lim a n =a ≠0{b }a {a b }
但是，有下列结果：如果n →∞，n 是发散数列，则n n 和⎩n ⎭一定是发散数列.
6．证明以下数列发散：
n ⎫⎧n
⎨(-1) ⎬
n +1⎩⎭ （1）
证明 设
a n =(-1)
n
n n +1，则
a 2n =
2n 2n +1
→1, (n →∞)
，而
a 2n -1=-
2n -12n
→-1
，
n ⎫⎧n (-1) ⎨⎬
n +1⎩⎭发散. 由P.33，定理2.8 知
（2）
证明
{n }{n }
(-1)
n
(-1)
n
的偶数项组成的数列a 2n =2n ，发散，所以n
{
(-1)
n
}
发散.
n π⎫⎧cos ⎨⎬
4⎩⎭ （3）
证明 设
a n =cos
n π
4，则子列 a 8n =1→1, (n →∞) ，子列
a 8n +4
7．判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）： （1）若{a 2k -1}和{a 2k }都收敛，则{a n }收敛. 解 结论不一定成立. 例如，设
a n =(-1)
n
n π⎫⎧
cos ⎨⎬
=-1→-1, (n →∞) 4⎩⎭发散. ，故
a n =(-1)
n
，则
a 2k =1
，
a 2k -1=-1
都收敛，但
发散.
{a 2k -1}
注 若和
{a 2k }
都收敛，且极限相等（即k →∞
和
{a 3k }
lim a 2k -1=lim a 2k
k →∞
），则
{a n }
收敛.
（2）若
{a 3k -2}
，
{a 3k -1}
k →∞
都收敛，且有相同的极限，则
k →∞
{a n }
收敛.
，则由数列极限的定义，知∀ε>0，
∃K 1>0，∀k >K 1，|a 3k -2-a |0，∀k >K 2，|a 3k -1-a |
∀k >K 3|a 3k -a |0，，. 取，当n >N 时，对任
|a -a |
意的自然数 n ，若n =3k -2，则必有k >K 1，从而n ；同样若n =3k -1，则
|a -a |K 3|a -a |
必有k >K 2，从而也有n ；若n =3k ，则必有，从而n . 所
证明 设k →∞
以k →∞，即n 收敛.
8．求下列极限：
（1）k →∞24解 因为
1⋅3
33⋅5lim
13
2n -12n
lim a 3k -2=lim a 3k -1=lim a 3k =a
lim a n =a
{a }
2n -12n
0
135246
2n -3
2n -1(2n -1)(2n +1) =0
55⋅7
(2n -3)(2n -1) lim
1324
2n -12n
=
12n +1
lim
12n +1
13
而
k →∞
=0
，所以
2n -12n
k →∞
S n =
1324
2n -12n
2435
2n 2n +1，设
另解 因为24
，
T n =
2435
2n
2n +1，则S n
α
S n S n
1
2n +1，所以
S n
12n +1.
（2） 答案见教材P.312提示. （3）k →∞解
lim [(n +1)
α
-n ],0
α
α
α
0
α
1n
) -1]
α
1n
) -1]
=
n
α
n
=
1n
1-α
→0, (n →∞)
所以，
lim [(n +1)
k →∞
α
-n ]=0
α
α-1
另解 因为α-1
(n +1)
α
α-1
，于是
α-1
(n +1) =n
α
α
α
+n
α-1
，
→0, (n →∞) . 从而0
（4） 答案见教材P.312提示.
α-1
9．设lim
n →∞
a 1, a 2, a m
n
n
为 m 个正数，证明：
n
a 1+a 2+ +a n =max{a 1, a 2, a m }
max{a 1, a 2, a m }≤
n
n
n
证明 因为 而n →∞
lim
a 1+a 2+ +a n ≤
n
n max{a 1, a 2, a m }
n =1
，所以n →∞
lim
n
a 1+a 2+ +a n =max{a 1, a 2, a m }
n n
10．设n →∞（1）
lim
n →∞
lim a n =a
，证明： ； （2）若
a >0, a n >0
[na n ]n
=a
，则
lim
n
n →∞
a n =1
. n
≤a n
na n -1
证明 （1）因为
lim
na n -1n
n →∞
[na n ]≤na n
，所以
n
[na n ]
. 由于
1⎫⎛[na n ]
=lim a n -⎪=a lim =a lim a =a n →∞n n →∞n ⎭⎝n →∞n ，且，从而.
（2）因为 n →∞
a 2
n
lim a n =a >0
n
，由P.29 定理2.4，存在N >0，使得当n >N 时，有
32
a
a 2
. 于是 .
a n
n
32
a lim
n
a 2
，并且
n →∞
=lim
n
32
n →∞
a =1
，所以
lim
n →∞
a n =1
P.38 习题
1⎫⎛
lim 1+⎪n →∞n ⎭⎝1．利用
n
=e
求下列极限：
n
1⎫⎛
lim 1-⎪n →∞n ⎭⎝
n
⎛n -1⎫
=lim ⎪n →∞n ⎝⎭
=lim
1
1⎫⎛
1+⎪
n -1⎝⎭
n -1
n →∞
=
1⎫⎛
1+⎪
n -1⎝⎭
1e
（1）
1⎫⎛
lim 1+⎪n →∞n ⎭⎝（2）
n +1
1⎫⎛1⎫⎛
=lim 1+⎪ 1+⎪=e n →∞n ⎭⎝n ⎭⎝
n
n
1⎫⎛
lim 1+⎪n →∞n +1⎭⎝
（3）
1⎫⎛lim 1+⎪n →∞2n ⎭⎝（4）
n
1⎫⎛
1+ ⎪
n +1⎭⎝
=lim n →∞1⎫⎛
1+⎪
n +1⎝⎭
2n ⋅
12
n +1
=e
1⎫⎛
lim 1+⎪n →∞2n ⎭⎝
2n
1⎫⎛
=lim 1+⎪n →∞2n ⎭⎝
==e
，且a n ≥0, n =1, 2, ，则
注：此题的求解用到事实（P.29例1）：若n →∞
lim
n →∞
lim a n =a
a n =
a
.
n
1⎫⎛
lim 1+2⎪n →∞n ⎭ ⎝（5）
n
⎧1⎫⎫⎪⎛⎪⎨ 1+⎪⎬
n ⎭⎪⎪⎝⎭单调增加，且有上界 3，于是 解 因为数列⎩
1⎫⎛
1
n ⎭⎝
n
n
n
1⎫⎛
1+ 2⎪
n ⎭⎝
n
2
n
3→1, (n →∞)
，所以
1⎫⎛
lim 1+2⎪=1n →∞n ⎭⎝
2．试问下面的解题方法是否正确：求n →∞解 不正确. 因为极限n →∞
lim 2
n →∞
n
lim 2
n
lim 2
n
lim 2
n
是否存在还不知道（事实上极限n →∞不存在），所以设
是错误的.
3．证明下列数列极限存在并求其值： （1）设
a 1=
2, a n +1=
{a n }
=a
2a n , n =1, 2,
{a n }
证明 先证数列
a 1=
的有界性，用数学归纳法证明：2是
2a n
2⋅2=2
{a }
的一个上界.
2
其次证明即
a {a n }
{a n }
a n +1-a n =
单调增加.
{a n }
，所以n 有上界2. a (2-a n )
2a n -a n =n >0
a >a n 2a n +a n
，所以n +1，
，在
a n +1=2a n
2
单调增加. 从而极限存在，设
lim a n =a
n →∞
的两端取极限，得
2
lim a =2
=2a ，解之得 a = 0 (舍去) 和 2，所以n →∞n .
a n +1
注：
{a n }
的单调增加也可以如下证明：
a n
=
2a n a n
=
2a n
>
22
=1
，所以
a n +1>a n
.
1
还可以如下得到：a n =2
（2）设
a 1=
2
+
14
+ +
12
n
1
2
+
14
+ +
12
n
+2
1
n +1
=a n +1
c (c >0), a n +1=c +a n , n =1, 2,
证明 先证数列{a n }的有界性，用数学归纳法证明：{a n }的一个上界是 1 + c .
a 1=
c
c +a n
2c +1
2
，
所以{a n }有上界1 + c .
其次证明{a n }单调增加（用数学归纳法证明）. a 1=
a n -1
c
c +
c =a 2，假设
c +a n -1
，于是c +a n -1
{a n }1±
c +a n
，即a n
2
增加. 所以极限存在，设
+4c 2
n
lim a n =a
n →∞
，在
a n +1=c +a n
2
的两端取极限，得a =c +a ，
lim a n =2
解之得
a =
. 由于a n > 0 ，所以 a > 0 . 故 n →∞
(c >0), n =1, 2,
.
（3）
a n =
c
n !
证明 先证a n +1=
c
n +1
{a n }
从某一项以后单调减少. 取自然数 N 使得 N > c ，于是当n >N 时，c
n
(n +1)!
{a n }c n +1
=
c
n +1n !
=
c n +1
a n
c N +1
a n
，即从第N 项开始
{a n }
{a n }
单调减少.
lim a n =a
由于在
a n +1=
的各项都大于零，所以
a n
{a n }
有下界0. 从而极限存在. 设n →∞
.
，
的两端取极限，得a =0⋅a ，故a =0，即n →∞
lim a n =0
n n
⎧⎧1⎫⎫1⎫⎫⎪⎛⎪⎪⎛⎪
⎪⎬⎨ 1+⎪⎬⎨ 1+
n ⎭⎪n +1⎭⎪⎪⎝⎭为递增数列的结论，证明⎪⎩⎝⎭为递增数列. 4．利用⎩
1⎫⎛⎛n +2⎫a n = 1+=⎪ ⎪
n +1n +1⎝⎭⎝⎭，要证：a n -1≤a n , n =2, 3, ，即 证明 设
n
n n +1⎧1⎫⎫⎪⎛⎪11⎛⎫⎛⎫1+⎪⎬⎨ 1+⎪
n n
⎛n +1⎫⎛n +2⎫
⎪
⎝n +1⎭即⎝n ⎭a n -1
⎛n +1⎫
= ⎪
n ⎝⎭
n -1
n n +1
，于是
n +1
⎛n +2⎫
n +1⎝⎭
n ⎛n +2⎫n +2⎛n +2⎫
= ⋅
n +1⎝n +1⎭n +1n +1⎝n +1⎭.
n
n n
其中用到事实：n +1n +1
⋅
n +2
⋅
n
=
n (n +2) (n +1)
2
≤1
. 收敛：
5．应用柯西收敛准则，证明以下数列
{a n }
22（1）
证明 不妨设n >m ，则有
a n =
sin 1
+
sin 2
2
+ +
sin n 2
n
sin n 212
m +1n
|a n -a m |=≤=
sin(m +1) 2+
m +1
+
sin(m +2) 2
m +2
+ +
≤
+
12
m +2
sin(m +1) 21
m +1
sin(m +2) 2
m +2
+ +
sin n 2
n
+ +
12
n
11⎫1⎛111⎛⎫1++ +
2222222⎝⎭⎝⎭
111=m +1⋅2=m
m 22
1N =
ε，∀n , m >N ，有|a n -a m |0，取
23（2）
证明 不妨设n >m ，则有
a n =1+
1
2
+
1
2
+ +
1n
2
1n
1(n -1) n
2
|a n -a m |=
≤
1m (m +1)
1(m +1)
+
2
+
1
1(m +2)
2
+ +
1n =1m -1n
(m +1)(m +2)
+ +
=
1m
-
1m +1
+
1m +1
-
1m +21
+ +
1n -1
-
所以，∀ε>0，取收敛.
N =
ε，∀n , m >N ，有|a n -a m |
6．证明：若单调数列证明 不妨设
{a n }
{a n }
含有一个收敛子列，则
{a n k }
{a n }
收敛.
{a n k }
是单调增加数列，是其收敛子列. 于是有界，即存在
M >0，使得a n k ≤M , k =1, 2, . 对单调增加数列{a n }中的任一项a m 必有
单调增加有上界，从而收敛.
a n
lim =l >1
lim a n =0n →∞a n >0a n +1
7．证明：若，且，则n →∞
a n a n
lim =l >1lim =l >r >1n →∞a n →∞a
n +1n +1证明 因为，所以存在 r 使得. 于是由数列极限
a n
>r
a >ra n +1a
的保号性定理（P.29），存在N >0，当n >N 时，n +1，n . 从而有
a N +1>ra
n →∞
N +2
a m ≤a m k ≤M
，即
{a n }
>r a N +3> >r
2n -N -1
a n
， 因此，
0
a N +1r
n -N -1
→0, (n →∞)
， 故
lim a n =0
.
8．证明：若
{a n }
为递增有界数列，则n →∞
lim a n =sup{a n }
；若{a n }为递减有界数列，
则n →∞. 又问逆命题成立否？
证明 证明过程参考教材P.35，定理2.9（单调有界定理）.
⎧1⎪
1a n =⎨1-⎪n ⎩逆命题不一定成立. 例如数列
n 为奇数n 为偶数
n →∞，
lim a n =inf{a n }
lim a n =sup{a n }=1
，但{a n }
不单调.
9．利用不等式 b
n +1
-a
n +1
>(n +1) a n
(b -a ), b >a >0，证明：
⎧⎪n +1⎨⎛⎪ 1+1⎫⎫⎪⎧⎪⎛1+1⎫n
⎫⎪⎩⎝n ⎪⎭⎬⎪⎨⎭为递减数列，并由此推出⎪ ⎩⎝n ⎪⎭⎬
⎪⎭为有界数列.
n +1
a ⎛
1⎫证明 设
n = 1+⎝n ⎪
⎭，由不等式 b
n +1
-a
n +1
>(n +1) a n
(b -a ) ，有
b n +1-a
n +1>na n
b -na
n +1
+a n
b -a
n +1
，于是b
n +1
>na n b -na
n +1
+a n
b ，b
n
>na n
+a n
-na
n +1
b .
a =1+
1+1n
在上式中令
n
=
n n
, b =1+
1n -1
=
n -1，b >a ，得
n
n
a n -=⎛
1+1⎫1
n ⎪
=⎛ n ⎫
⎝
-1⎭⎝n -1⎪⎭
n
n
n
>n ⎛ n +1⎫n
+⎛ n +1⎫-n ⎛+1⎛n +1⎫⎝n ⎪
⎭⎝n ⎪⎭ n +1⎫⎝n ⎪
⎭
n ⎝n ⎪⎭
⎛n +1⎫n
n
n +1
= +
1⎛n +1=⎛⎝n ⎪⎭
n +1⎫n ⎫=a ⎝n ⎪⎭⎝n ⎪⎭
n
⎧⎪n +1
⎨⎛ 1+1⎫⎫⎪即
a n -1
>a n ，故⎪⎩
⎝n ⎪⎭⎬
⎪⎭为递减数列. ⎛n n +1
1
1+1⎫⎪
1⎫≤⎛ 1+1⎫⎧⎪⎨⎛ 1+1⎫n
⎫⎪⎪而⎝
n ⎭ 1+⎝n ⎪
⎭⎝1⎪=4⎭，所以⎪⎩
⎝n ⎭⎬⎪⎭为有界数列. e -(1+
1n
)
n
310．证明：
n
⎧⎪⎨⎛1⎫n +1
⎫证 由上题知⎪ 1+⎩
⎝n ⎪⎪⎭⎬
⎪⎭为递减数列，于是对任何m >n 有， ⎛
1⎫n +1
m +1
1+>⎛
⎝
n ⎪
⎭ 1+1⎫⎝
n ⎪
⎭，令m →∞，取极限得，
⎛
n +1
1+1⎫n ⎪
>e
⎝
⎭ ⎛
n +1
n
n
n
1+1⎫=1⎛1⎫1又因为⎝
n ⎪
⎭n ⋅ 1+⎪+⎛ 1+⎫⎪
1⎫⎭⎝n ⎭n 1+⎝n ⎝
n ⎪⎭ ①②
1⎫⎛
e
n ⎭⎝由①、②得
n +1
1⎫⎛
1n )
n
3
n
e -(1+=e -(1+
1n
)
n
3n
a 2=
a 1+b 1
2
11．给定两正数 a 1 与 b 1 ( a 1 > b 1 )，作出其等差中项
b 2=
a 1b 1，一般地令
a n +1=
a n +b n
2
与等比中项
，
b n +1=a n b n , n =1, 2,
lim a n lim b n
证明：n →∞与n →∞皆存在且相等.
证明 因为a 1>b 1，所以有可得{b n }单调增加. 于是有下界，
在
{b n }
a n +1=
a n +b n
2a n +b n
2
a n +a n
2
=a n
，即{a n }单调减少. 同样
，即{a n }单调减少有
a 1≥a n +1=a n b n =b n +1≥b 1
单调增加有上界，故
lim a n
n →∞
与n →∞
lim b n
皆存在.
2a n +1=a n +b n
lim a n =lim b n
n →∞的两端取极限，可得n →∞
n =sup{a n , a n +1, }
12．设
{a n }
为有界数列，记，
a n =inf{a n , a n +1, }
证明：⑴ 对任何正整数n ，⑵
{n }
n ≥a n
；
为递减有界数列，
{n }
{a n }{a n }
≥a m
为递增有界数列，且对任何正整数n ，m 有n ；
⑶ 设和a 分别是⑷
{a n }
和
的极限，则≥a ；
收敛的充要条件是=a
n =sup{a n , a n +1, }≥a n ≥inf{a n , a n +1, }=a n
证 ⑴ 对任何正整数n ，⑵ 因为n
为递减有界数列.
由
=sup{a n , a n +1, }≥sup{a n +1, a n +2, }=n +1
{}
，n =1, 2, ，所以n
a n =inf{a n , a n +1, }≤inf{a n +1, a n +2, }=a n +1
，知
{a n }
为递增有界数列.
对任何正整数n ，m ，因为
n ≥n +m ≥a n +m ≥a m
{n }
为递减有界数列，
{a n }
为递增有界数列，所以有
.
=lim n ≥a m
≥a m ≥a m
n →∞⑶ 因为对任何正整数n ，m 有n ，令n →∞得，，即，
≥lim a m =a
m →∞m →∞令得，故≥a .
⑷ 设
{a n }
lim a n =a |a -a |
收敛，n →∞. 则∀ε>0，∃N >0，∀n >N ，n ，
a -ε
. 于是有
a -ε
，从而
=lim n =a
n →∞
. 同理可得
a =lim a n =a
n →∞
，所以=a
lim a n =a =lim n ==a n →∞反之，设. 由， n →∞，得∀ε>0，∃N >0，∀n >N ，
有
-ε
及
-ε
，从而
-ε
P.40 总练习题
1．求下列数列的极限： （1）n →∞
lim
n +3
3n
3n
解 当n >3时，有n
3=
lim
n →∞
n
3
3
n n
n +3
n
3n n
2⋅3=3⋅2→3,
n
(n →∞) ，所以
n +3=3
（2）n →∞e
解 设e =1+h ，则当n >6时，
e =(1+h ) =1+nh +
n
n
lim
n
5n
n (n -1) 2!
5
h + +h ≥
2n
n (n -1) (n -5)
6!
h
6
0
n e
5n
，
lim
n e
5n
于是
6! ⋅n
n (n -1)(n -2)(n -3)(n -4)(n -5) h
6
→0, (n →∞)
，所以
n
5n
n →∞
=0
解法2 用P.39 习题7的结论. 设而lim
n e
5n
n →∞
a n =
lim
a n a n +1
e ，
n →∞
=lim
n e
5n
e
n +1
5
n →∞
(n +1)
=e >1
，从
=lim a n =0
n →∞
.
lim
n e
5n
n →∞
=lim (
n →∞
n (e
15
解法3 用P.27 习题2⑸的结果
)
n
) =0
5
a n +1
=1e (1+
1n )
5
解法4 用单调有界定理. 令
lim (1+
n →∞
a n =
n e
5n
，则a n
(1+
1n )
5
. 因为
1n
) =1
5
，所以存在N >0，当n >N 时，，从而当n >N 时，
a n +1a n
=
1e
(1+
1n
)
5
{a }{a }
. 于是从n >N 起数列n 递减，且有下界0，因此n 收敛. 设
1e (1+
1n ) ⋅a n
5
lim a n =a
n →∞
，在等式
a n +1=
a =
1e
⋅a
的两端取极限，得
，所以a =0.
（3）n →∞解
n →∞
lim (n +2-2n +1+n )
n →∞
lim (n +2-2n +1+⎡=lim ⎢n →∞
⎣
1n +2+
n
n ) =lim [(n +2-+
-1n +1+
⎤⎥=0n ⎦
n +1) +(n -n +1)]
n +1
2．证明： （1）
lim n q
n →∞
2
=0(|q |
证明 当q =0时，结论成立.
1
当03时有
0
2
n
>1
1
，令|q |
n
=1+h , h >0q
n
=
1(1+h )
n
，于是有
3!
h
3
，而由牛顿
(1+h ) ≥
n (n -1)(n -2)
2
，从而
=
n
2
n
(1+h )
≤
n 3!
n (n -1)(n -2)
→0h
3
(n →∞)
，所以
lim n q
n →∞
2n
=0
lim n q
n →∞
2
n
=lim (
n →∞
n (
1|q |
)
n
) (sgnq )
2n
=0
另解 用P.27 习题2⑸的结果
lim
lg n n
α
（2）
n →∞
=0, (α≥1)
证明 因为lg x 0，于是 0
lg n n
α
=
2lg n
α
n
2n n
α
=n
2
α-
12
→0, (n →∞)
lim
lg n n
α
，所以
n →∞
=0
.
lim
1n !
（3）
n →∞=0
n
⎛n ⎫n ! > ⎪
⎝3⎭. 证明 先证明不等式：
⎛n ⎫
n ! > ⎪
⎝3⎭成立，当 n + 1 时 用数学归纳法证明，当n =1时，显然不等式成立；假设
n
⎛n ⎫⎛n +1⎫⎛n ⎫
(n +1)! =(n +1) ⋅n ! >(n +1) ⋅ ⎪=(n +1) ⋅ ⎪ ⎪
33n +1⎝⎭⎝⎭⎝⎭
n n n
⎛n +1⎫
= ⎪⎝3⎭
n +1
31⎫⎛
1+⎪
n ⎭⎝
n
⎛n +1⎫
> ⎪⎝3⎭
n +1
1
⎛n ⎫n ! > ⎪0
⎝3⎭成立. 由此可得故不等式
另解 用数学归纳法证明不等式：n ! ≥
n
n !
3n
→0, (n →∞) lim
1n !
，所以
n →∞=0
n
3．设n →∞
lim
lim a n =a
，证明：
n
=a
a 1+a 2+ +a n
（1）
n →∞
（又问由此等式能否反过来推出n →∞
，于是有∀ε>0, ∃N 1>0, ∀n >N 1，
lim a n =a
证明 因为n >N 1时，有
lim a n =a
n →∞
|a n -a |
） ε
2. 从而当
a 1+a 2+ +a n
n
-a =
a 1+a 2+ +a n -na
n
≤≤
|a 1-a |+|a 2-a |+ +|a N 1-a |
n
A n +
n -N 1εA ε
⋅≤+n 2n 2
+
|a N 1+1-a |+|a N 1+2-a |+ +|a n -a |
n
其中
A =|a 1-a |+|a 2-a |+ +|a N 1-a |
A
lim
A n
是一个定数. 再由
n →∞
=0
，知存在
ε
2. 因此取N =max{N 1, N 2}，当n >N 时，有
N 2>0，使得当n >N 2时，n
a 1+a 2+ +a n
n
-a ≤
A n
+
ε
2
ε
2
+
ε
2
=ε
.
lim
a 1+a 2+ +a n
n
=+∞
n →∞
反过来不一定成立. 例如练习：设
lim a n =+∞
n →∞
a n =(-1)
lim
n
=0
不收敛，但
n
n
.
a 1+a 2+ +a n
，证明：
n →∞
(2) 若，则
证明 先证算术平均值—几何平均值—调和平均值不等式：
n →∞
a n >0(n =1, 2, )
lim
a 1a 2 a n =a
n
1a 1
+1a 2
+ +
1a n
≤
a 1a 2 a n ≤
a 1+a 2+ +a n
n
算术平均值—几何平均值不等式：
1
a 1a 2 a n ≤
a 1+a 2
2
a 1+a 2+ +a n
n
对任何非负实数a 1，a 2有
1
(a 1a 2) 2≤
，其中等号当且仅当a 1=a 2时成立. 由
1
1
1
此推出，对4个非负实数a 1，a 2，
a 3
，a 4有
1
(a 1a 2a 3a 4) 4=[(a 1a 2) 2(a 3a 4) 2]2≤(
a 1+a 2
2
⋅
a 3+a 4
2
) 2
a 1+a 2≤
2
+2
a 3+a 4
2
=
a 1+a 2+a 3+a 4
按此方法继续下去，可推出不等式
a 1a 2 a n ≤
a 1+a 2+ +a n
n
4
对一切n =2（
k
k =0, 1, 2, ）都成立，为证其对一切正整数n 都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即证明：若不等式对某个n (≥2) 成立，则它对n -1也成立.
设非负实数
1
a 1, a 2, , a n -1
，令
a n =
1
1n -1
(a 1+a 2+ +a n -1)
，则有
n -1
)
(a 1a 2 a n -1) n ⋅(
a 1+a 2+ +a n -1
n -1
) n ≤
1n
(a 1+a 2+ +a n -1+
a 1+a 2+ +a n -1
1
整理后得
对一切正整数n 都成立.
(a 1a 2 a n -1) n -1≤
1n -1
(a 1+a 2+ +a n -1)
，即不等式对n -1成立，从而
n
1
几何平均值—调和平均值不等式a 1
y i =
1
+
1a 2
+ +
1a n
≤
a 1a 2 a n
的证明，可令
x i ，再对y i （i =1, 2, , n ）应用平均值不等式.
lim
1=1
lim a n =a ≥0n →∞a a . 由上一小题的n 由a n >0(n =1, 2, ) ，知n →∞. 若a ≠0，则
结论，有
a +a 2+ +a n n
≤a 1a 2 a n ≤1→a , (n →∞)
111n ++ +a 1a 2a n
lim
n
1a 1
+1a 2
+ +
1a n
n →∞
=lim
1
1a 1
+1a 2
+ +n
1a n
n →∞
=
11a
=a
而
lim
n →∞
，所以
a 1a 2 a n =a
.
lim a n =0a 0, ∃N 1>0, ∀n >N 1，n . 从而当n >N 1时，
有
a 1a 2 a n =
n
n
a 1a 2 a N 1⋅a N 1+1 a n ≤
n -N 1
n
n
a 1a 2 a N 1⋅ε
n
n -N 1
=
a 1a 2 a N 1⋅ε
=
-N 1
n
a 1a 2 a N 1ε
-N 1
⋅ε=
A ⋅ε
，于是存在N 2>0，使得当
其中
A =a 1a 2 a N 1ε
，是定数，故
lim
n →∞
A =1
n >N 2时，A N 时，有
，故
4．应用上题的结论证明下列各题：
1111+++ +
=0lim
n （1）n →∞
n →∞
a 1a 2 a n ≤
A ⋅ε
lim
a 1a 2 a n =0
证明 令（2）
lim
n →∞
a n =
1
n ，则n →∞
lim a n =lim
1n
1+
=0
1+
1n
+ +
1=0
n →∞
，所以n →∞
lim
.
a =1(a >0)
lim a n =1a n =1, n =2, 3, a =a 1证明 令，，则n →∞，从而
lim
n →∞
a =lim
n →∞
a 1a 2 a n =lim a n =1
n →∞
（3）
lim
n →∞
n =1
a n =
n n -1
, n =2, 3,
证明 令a 1=1，
lim
n →∞
lim a n =1，则n →∞，于是
n =lim
n →∞
⋅
234n
⋅⋅⋅ ⋅=lim n a 1a 2 a n =lim a n =1
n →∞123n -1n →∞.
lim
1n !
（4）
n →∞=0
1n
, n =1, 2,
证明 令
n →∞a n =
lim a n =0
，则n →∞，所以
lim
1n ! lim
=lim n n !
11⋅2⋅3⋅ ⋅n
n →∞
=lim
n →∞
⋅
12
⋅ ⋅
1n
=lim
1n
n →∞
=0
（5）
n →∞=e
n -1
⎛n ⎫
a n = ⎪
n -1⎝⎭证明 令
lim
n n ! =lim
1⎫⎛
= 1+⎪
n -1⎝⎭
2
n -1
, n =2, 3,
3
4
lim a n =e
，则n →∞，所以
n -1
n
n
n →∞n
n →∞
n !
=lim
n →∞
⎛3⎫⎛4⎫⎛5⎫⎛n ⎫
2⋅ ⎪⋅ ⎪⋅ ⎪⋅ ⎪⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝n -1⎭⎛n ⎫=lim ⎪n →∞n -1⎝⎭
n -1
=e
另证 令
lim
n n !
n →∞n
a n =
=lim
n
n
n !
n
, n =1, 2,
lim
a n a n -1
a n
，则
⋅
n →∞
1⎫⎛
=lim 1+⎪n →∞n -1⎭⎝=lim
a n a n -1
=e
n -1
=e
. 于是
n →∞
a n =lim
3
n
a 2a 1
n
a 3a 2
n →∞
⋅ ⋅
a n -1
n →∞
.
lim
1+2+3+ +n
n
（6）
n →∞
=1
lim
1+
2+
证明 因为n →∞
lim
b n +1b n
n →∞
lim
n
n =1=a
3+ +n
n
，所以
n →∞
=lim
n →∞
n =1
(b n >0)
（7）若，则
lim
n
n →∞
b n =a
证明
n →∞
lim
n
b n =lim b n +1b n
n →∞
b n +1b n +1b 2b 3b 2b 3
⋅⋅ ⋅⋅n b 1=lim ⋅⋅ ⋅⋅lim n b 1
n →∞b 1b 2b n b 1b 2b n n →∞
=lim
n →∞
⋅1=a
lim
a n n
（8）若n →∞证明 设
lim
a n
n →∞
lim (a n -a n -1) =d
a 0=1
，则
n →∞
=d
(a -a 0) +(a 2-a 1) + +(a n -a n -1) ⎤⎡a
=lim ⎢0+1
⎥n →∞n n ⎣n ⎦
=lim
a 0n
n →∞
+lim
(a 1-a 0) +(a 2-a 1) + +(a n -a n -1)
n {b n }
n →∞
=0+lim (a n -a n -1) =d
n →∞
5．证明：若都存在且相等.
{a n }
为递增数列，为递减数列，且
lim (a n -b n ) =0
n →∞
m i l a n lim b n
，则n →∞与n →∞
证明 因为
-M ≤a n -b n ≤M
lim (a n -b n ) =0
n →∞
，所以{a n -b n }有界，于是存在M >0，使得
. 从而有a n ≤M +b n ≤M +b 1， b n ≥a n -M ≥a 1-M ，因此{a n }
{b n }
为递增有上界数列，
n →∞
n →∞
n →∞
为递减有下界数列，故
lim a n
n →∞
与
lim b n
n →∞
都存在. 又因为
lim a n -lim b n =lim (a n -b n ) =0
lim a n =lim b n
n →∞，所以 n →∞.
6．设数列{a n }满足：存在正数M ，对一切 n 有
A n =|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+|a n -a n -1|≤M
证明：数列{a n }与{A n }都收敛.
证明 数列{A n }单调增加有界，故收敛. 由柯西收敛准则，∀ε>0, ∃N >0，当
m >n >N 时，|A m -A n |
|a m -a n |≤|a m -a m -1|+|a m -1-a m -2|+ +|a n +1-a n |=A m -A n
所以由柯西收敛准则，知数列
{a n }
收敛.
1⎛σ⎫1⎛σ⎫
⎪a =a +a >0, σ>0, a 1= a +⎪n +1n 2⎝a n ⎪2a ⎝⎭⎭, n =1, 2, ， 7．设，
证明：数列
{a n }
收敛，且其极限为
1⎛σ⎫
a n +⎪≥ 2⎝a n ⎪⎭
a n ⋅
a n +1=
σ
a n
=，故数列
证明 因为a n +1a n
{a n }
有下界
.
1⎛σ⎫1⎛σ⎫
=1+2⎪≤ 1+⎪=12 σ⎭a n ⎪a ≤a n {a }{a }⎝⎭2⎝，于是n +1，即数列n 单调减少，从而数列n
收敛. 设n →∞
lim a n =A
a n +1=
，由
1⎛σ⎫
a n +⎪
2⎪2 a n ⎭，得2a n a n +1=a n +σ，两端取极限得，⎝
22
2A =A +σ，解得A =，所以n →∞a n =
2
a 1b 1
2
lim a n =
a n -1+b n -1
8．设a 1>b 1>0，记
{a n }
b n =
.
2a n -1⋅b n -1a n -1+b n -1
，.
2
，n =2, 3, . 证明：数列
与
{b n }
的极限都存在且等于
b n =
2a n -1⋅b n -1a n -1+b n -1
≤
a n -1+b n -1a n -1+b n -1
=
(a n -1+b n -1) -2a n -1⋅b n -1
a n -1+b n -1
2
证 因为 =a n -1+b n -1-
=a n
2a n -1⋅b n -1a n -1+b n -1
=a n -1+b n -1-b n
数列
{a n }
是递减的：
a n +1=
a n +b n
2
≤
，所以a n +a n
2
b n ≤
a n -1+b n -1
2
，n =2, 3,
=a n
，n =1, 2,
a n =
{a n }数列有下界：
{b n }{b n }
a n -1+b n -1
2
≥0
lim a n =a {a n }n =1, 2, ，，所以收敛，设n →∞. 2a n -1⋅b n -1a n -1+a n -1
=b n -1
b n =
2a n -1⋅b n -1a n -1+b n -1
≥
数列数列
是递增的：有上界：a n =
，n =2, 3,
b n ≤a n ≤a 1
lim b n =b {b n }n =1, 2, ，，所以收敛，设n →∞.
a n -1+b n -1
2b n =
令n →∞在a n =
的两端取极限，得a =b . 2a n -1⋅b n -1
a n -1+b n -1两端分别相乘，得a n b n =a n -1b n -1，n =2, 3,
a n -1+b n -1
2
与
所以有a n b n =a 1b 1，n =2, 3, ，令n →∞取极限得ab =a 1b 1，从而a =
a 1b 1