高考数学复习点拨 谈谈"充要条件"问题的证明
谈谈“充要条件”问题的证明
在期末复习时，出现这样一道练习题：
已知x , y 都是非零实数，且x >y ，求证：110． x y
学生在证明过程中暴露出许多意想不到的错误，总结一下大概有这么三个问题：(1)解题很不规范，因为有关充要条件的证明通常要分两个方面（最好标明①必要性．②充分性）来书写过程，最后还应该有一个“综上所述”来肯定一下所证的问题．然而有不少学生没有这样分步表达，而是眉毛胡子一把抓，凌乱不堪．(2)这道题本身就可看作是不等式的一个性质，有些学生用这性质来证这个性质，出现循环论证，以致过程太简洁，只写了几个式子．(3)有些学生试图想通过等价性来证明问题，然而也由于心有想而没说出或说不出，没有使用“⇔”符号来叙述证题过程，而只证了一个方面就结束了．
出现上面这些问题的原因是：书上没有相关例题示范，教师在课堂上也很少讲（不是没讲过，而是讲得少）相关例题．此处为弥补证明“充要条件”这一不足，特举几例细说之． 上面练习题的解答：
证明：(1)必要性．由1111y -x
又由x >y 得y -x 0．
(2)充分性．由xy >0及x >y 得 x y 11> 即
综上所述：110． x y
评注：(1)要证明命题的条件是充要的，必须要证两个方面，即既证明原命题成立，也证它的逆命题成立，证明原命题成立即证明条件的充分性，证明逆命题成立即证明条件的必要性．
(2) 区分“充分性”与“必要性”的方法：利用“Ａ的充要条件是Ｂ”与“Ａ的充分（不必要）条件是Ｂ”中“Ｂ是Ａ的充分条件”的一致性，可以断定：由Ｂ证出Ａ是“充分性”，通俗地说“后推出前”是“充分性”．
(3) 如果分不清两方面中哪方面是充分性还是必要性，那么不写出“充分性”与“必要性”等文字也可以，但要标注(1)，(2)．当然如果采用“⇔”符号来叙述证题过程，就不好再分两个方面了．
(4)对于充要条件，要熟悉它的同义词语：“当且仅当”， “等价于”， “„反之也成立”“需且只需”“原命题成立，逆命题也成立” ， 立几中的“确定”等等。 下面再看两个例子：
例１：已知函数f (x ) =x +ax +b ，当p,q 满足p+q=1时, 试证明:pf(x)+qf(y)≥f(px+ qy) 对于任意实数x,y 都成立的充要条件是0≤p≤1.
证明：由于f (x ) =x +ax +b 以及p+q=1． 22
所以 pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)⇔ pf(x)+qf(y)－f(px+qy)≥０
⇔p(x 2+ax +b )+q(y 2+ay +b )-[(px +qy ) 2+a (px +qy ) +b ]≥０
⇔(p －p 2) x 2+(q －q 2) y 2-2pqxy ≥０⇔pq x 2+ pq y 2-2pqxy ≥０ ⇔pq (x -y ) 2≥０.
因为此式对任意实数x,y 都成立，所以pq (x -y ) 2≥０⇔pq ≥０⇔p (1-p ) ≥０⇔0≤p ≤1． 所以 pf(x)+qf(y)≥f(px+qy) ⇔0≤p ≤1．
综上所述：原命题得证．
例２：已知f(t)是t 的函数，定义域为Ｒ．
(1)求证：如果直线L ：f(t)x+y+t=0过定点，那么f(t)是t 的一次函数．
(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真假，并说明理由．
解：(1)证明：设直线L ：f(t)x+y+t=0过定点（m , n ），则mf (t ) +n +t =0，由于此式对任意实数t 都成立，所以m ≠0，所以f (t ) =-1n t -．这是t 的一次函数． m m
(2)．(1)中命题的逆命题为：如果f(t)是t 的一次函数，那么直线L ：f(t)x+y+t=0过定点．这是一个真命题．理由如下：
设f (t ) =kt +b （k ≠0），则有 (kt +b ) x +y +t =0
即(kx +1) t +(bx +y ) =0，由于此式对任意实数t 都成立，所以kx +1=bx +y =0， 所以x =-1b 1b ，y =，所以直线L ：f(t)x+y+t=0过定点(-, ) ． k k k k
评注：例１利用“⇔”性来证题，简洁．例２实质证明了一个充要条件的问题．