脉冲响应不变法设计数字低通滤波器

燕山大学

课 程 设 计 说 明 书

题目： 脉冲响应不变法设计数字低通滤波器

学院（系）：电气工程学院

年级专业：09级精密仪器及机械2班

学 号： [1**********]2

学生姓名： 范程灏

指导教师： 刘永红

教师职称： 讲师

电气工程学院《课程设计》任务书

课程名称： 数字信号处理课程设计

目录

第1章 前言.......................................3

第2章 数字信号处理部分基础知识......................3

第3章 MATLAB部分基础知识...........................8

3.1 MATLAB介绍..................................8

3.2 MATLAB命令介绍..............................8

第4章 仿真过程及仿真图..............................9

4.1 仿真程序....................................9

4.2 仿真波形....................................10

第5章 设计结论......................................10

第6章 参考文献........................................11

第一章 前言

《数字信号处理》课程设计是在学生完成数字信号处理和MATLAB的结合后的基本实验以后开设的。本课程设计的目的是为了让学生综合数字信号处理和MATLAB并实现一个较为完整的小型滤波系统。这一点与验证性的基本实验有本质性的区别。开设课程设计环节的主要目的是通过系统设计、软件仿真、程序安排与调试、写实习报告等步骤，使学生初步掌握工程设计的具体步骤和方法，提高分析问题和解决问题的能力，提高实际应用水平。

IIR数字滤波器具有无限宽的冲激响应，与模拟滤波器相匹配，所以IIR滤波器的设计可以采取在模拟滤波器设计的基础上进一步变换的方法。其设计方法主要有经典设计法、直接设计法和最大平滑滤波器设计法。FIR数字滤波器的单位脉冲响应是有限长序列。它的设计问题实质上是确定能满足所要求的转移序列或脉冲响应的常数问题，设计方法主要有窗函数法、频率采样法和等波纹最佳逼近法等。

第2章 数字信号处理基础知识部分

2.1巴特沃斯滤波器的幅度平方函数及其特点

巴特沃斯模拟滤波器幅度平方函数的形式是

111(j/jc)2N1(/c)2N （5-6） Haj2

式中N为整数，是滤波器的阶次。=0时，Ha(j)=1时；当=c时，Ha(jc)=1/2 ，所以c又称为3dB截止频率。

2.2幅度平方函数的极点分布及Ha(s)的构成

2 将幅度平方函数Ha(j)写成s的函数 Ha(s)Ha(s)1

1(j/jc)2Njs1（5-7） 2N1(s/jc)

此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示 j(2k1)2N sk(1)1/2N(jc)e*e2ccej12k1j()22N k=0,1,2，……（5-8）

这2N个极点分布在s平面半径为c的圆上，角度间隔是π/N弧度。N=3时，极点间隔为π/3弧度或60度。极点对虚轴是对称的，且不会落在虚轴上。当N是奇数时，实轴上有极点；当N为偶数时，则实轴上没有极点。巴特沃斯滤波器的N个极点为 12k1j()22N skce;k0,1,，N1 （5-9）

则Ha(s)的表达式即滤波器的系统函数为 Nc Ha(s)

(ss

k0N1 （5-10） k)

2.3频率归一化问题

式（5-10）即为所求滤波器的系统函数，可看出Ha(s)与c有关，即使滤波器的幅度衰减特性相同，只要c不同，Ha(s)就不一样。为使设计统一，可将所以的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化。

2.4设计步骤

总结以上讨论，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：

1）根据技术指标p,s,p和s，用式（5-17）求出N。

2）按照（5-13），求出归一化极点，代入（5-12），得到归一化传输函数。也可以直接查表.

3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。如果技术指标没有给出3dB截止频率c，可以按照式（5-18）或（5-19）求出。

2.5响应不变法的核心

核心是通过对连续函数ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nt)，使h(n)ha(nT)（其中T为采样间隔）,因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，转换步骤如下

氏逆变换间隔采样变换 Ha(s)拉ha(t)等ha(nT)h(n)zh(z)

设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示，则

Ha(s)i1NAi ssi

式中，si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行拉氏逆变换得到

ha(t)Aiesitu(t)

iN

式中，u(t)单阶阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到

T h(n)ha(nT)Aiesnu(nt)

i1N

对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数

H(z)Ai sT1i11ezN

由这一转换过程看出，它对部分分式表达的模拟系统函数更为方便，对任一极点si，Ha(s)到H(z)得转换可直接用下式来完成

从上述可以看出 AiAi sT1ssi1ez

1）S平面的单极点ssi变换到z平面上zesT处的单级点。

2）Ha(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的，都是Ai。

3）如果模拟滤波器是稳定的，所有极点si位于s平面的左半平面，及极点的实部小于零，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即模小于1，因此数字滤波器也是稳定的。

2.6H(ej)与Ha(j的关系

下面分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，s平面和z平面之间的映射关系，从而找到这种转换方法的优缺点。这里以采样信号ha(t)作为桥梁，推导其映射关系。

将ha(t)的采样信号用ha(t)表示，

ˆ(t) ha

nh(t)(tnT) a

对ha(t)进行拉式逆变换，得到

ˆ(t)estdthˆ(t)(tnT)estdth(nT)esnTˆ(s)h H aaaann

式中，ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列的幅度相等，即h(n)ha(nT)，因此得到

ˆ(s)h(n)esnTh(n)znHa

nnzesTH(z)zesT

上式说明采样信号的拉氏变换与相应的Z变换之间的映射关系为

zesT (6-8)

已知模拟信号ha(t)的傅立叶变换Ha(j)和其采样信号ha(t)的傅立叶变换Ha(j)之间的关系满足

1

Ha(j)Ha(jjks)（6-9） Tk

其中，s2/T，将s=j带入上式，得 Ha(s)1Ha(sjks)（6-10） Tk

H(z)1Ha(sjks)（6-11） Tk

上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s2/T延拓后，再按上式的映射关系映射到Z平面上，就得到H(z)。zesT可称为标准映射关系。

设 sj

zrejw

reT

则得到： (6-12) wT

0,r1

那么 0,r1

0,r1

上面关系式说明，s平面左半平面映射z平面单位圆内，s平面的虚轴映射z平面的单位圆上，s平面右半平面映射z平面单位圆外。这说明：第一，如果Ha(s)因果稳定，转换后得到H(z)仍因果稳定；第二，数字滤波器频率响应H(ejw)模仿模拟滤波器的频率响应Ha(j)，满足转换关系的两点要求。

2.7频率混叠现象

实际上，任何一个模拟滤波器的频率响应都不是严格带限的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。如果原模拟信号的频带不是限于+/-π/T之间，则会在他的奇数倍附近产生频率混叠，从而映射到z平面上，在ω=+/-π附近产生频率混叠。

第三章 matlab部分基础知识

3.1 MATLAB介绍

设计平台MATLAB7.1 MATLAB 是美国 MathWorks 公司生产的一个为科学和工程计算专门设计的 交互式大型软件，是一个可以完成各种精确计算和数据处理的、可视化的、强大 的计算工具。 它集图示和精确计算于一身， 在应用数学、 物理、 化工、 机电工程、 医学、金融和其他需要进行复杂数值计算的领域得到了广泛应用。它不仅是一个 在各类工程设计中便于使用的计算工具，而且也是一个在数学、数值分析和工程 计算等课程教学中的优秀的数学工具，在世界各地的高和大型计算机上运行，适 用于 Windows、UNIX 等多种系统平台。 MATLAB 作为一种科学计算的高级语言之所以受欢迎， 就是因为它有丰富的 函数资源和工具箱资源，编程人员可以根据自己的需要选择函数，而无需再去编 写大量繁琐的程序代码，从而减轻了编程人员的工作负担，被称为第四代编程语 言的 MATLAB 最大的特点就是简洁开放的程序代码和直观实用的开发环境

3.2 MATLAB命令介绍

Buttord—此函数是用来计算阶数N和3dB边缘频率矢量

Butter—butter函数在知道了N和Ws来计算H(z)分子、分母多项式系数 把buttord函数和butter函数结合起来，就可以设计任意的巴特沃斯滤波器。 Freqz—计算H(z)的幅频响应

Subplot—分割figure，创建子坐标系

Plot—一维曲线绘图

Xlabel—x轴注解

Ylabel—y轴注解

Title—标题注解

Axis—横纵坐标范围

Grid on—显示网格

Pha—计算显示相位

第四章

4.1 MATLAB程序

Fs=1000; fp=100; fs=300; Ap=3; As=20;

Wp=fp/(Fs/2);%计算归一化角频率

Ws=fs/(Fs/2);

[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As);%计算阶数和截止频率

[b,a]=butter(N,Wc);%计算H(z)分子、分母多项式系数

[H,F]=freqz(b,a,500,Fs);%计算H(z)的幅频响应,freqz(b,a,计算点数,采样速率)

subplot(2,2,2)

plot(F,20*log10(abs(H)))

xlabel('频率(Hz)');

ylabel('幅度(dB)')

axis([0 500 -30 3]);plot(F,20*log10(abs(H)))

title('数字滤波器分频曲线')

grid on

subplot(2,2,1)

plot(F,abs(H));

xlabel('频率(Hz)');

ylabel('幅度');

title('数字滤波器幅频曲线')

grid on;

subplot(2,2,3)

pha=angle(H)*180/pi;

plot(F,pha);

xlabel('频率(Hz)');

ylabel('相位(dB)')

grid on

title('数字低通滤波器相频曲线')

仿真部分及仿真图

仿真结果如下图

第五章 设计结论

本次课程设计的数字低通滤波器首先要设计出相应的巴特沃斯低通滤波器，由我们课上学过的知识，根据所给的设计参数确定滤波器的阶数，归一化等。再由通过matlab得出的模拟滤波器，得到相应的数字滤波器。

经过一周的课程设计，让我再次熟悉了所学过的关于数字信号处理中设计滤波器部分的知识，同时，由于设计需要，我通过查阅资料，自学了用于本次课设的matlab程序仿真部分的知识。MATLAB在以前的学习中并没有怎么接触，但是通过网上查找资料，我很快的理解了其基本原理。 总的来说，通过这次的课程设计我对MATLAB有了全面的认识，对数字信号处理的知识又有了深刻的理解，让我感受到只有在充分理解课本知识的前提下，才能更好的应用这个工具；并且熟练的应用 MATLAB也可以很好的加深我对课程的理解，方便我的思维。

通过本次数字信号来处理课程设计，让我充分认识到了自己在课堂上学到的知识在实践运用是还是存在的许多的不足的，而且之前没有多少接触的matlab软件的使用还需提高。通过课设，我的解决实际问题和困难的能力和动手能力均有所提高。知识的学习是没有止境的，为了今后的工作，我要学的东西还有很多

很多。

感谢学院给了我们这一次课程设计的机会，让我们受益匪浅，感谢老师们在我们遇到问题时耐心的指导，希望今后能有更多的这种亲身实践的机会。

第六章 参考文献

谢平，王娜.

薛年喜.

. MATLAB信号处理中的应用》. 机械工业出版社，2009 清华大学出版社，2003 《数字信号处理》 《

燕山大学课程设计评审意见表