非结点荷载的处理
非结点荷载的处理
当结构上的荷载为非结点荷载时,必须用等效结点荷载来代替非结点荷载。“等效”是指经变换得到的等效结点荷载与变换前的非结点荷载产生的结点位移是相等的。
4
综合结点荷载列阵
9
(3)再将各单元等效结点荷载F 按“对号入座”法则集成、累加得到结构等效结点荷载列阵F E 。
当结点上尚有结点荷载作用时,则可将其一起组合为综合结点荷载列阵,即
(e ) E
F =F P +F E
综合结点荷载列阵
1 ⎧ FR x 1 ⎫ ⎪ F ⎪ 2 ⎪ Ry 1 ⎪ 3 ⎪ M1 ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ FR x 2 ⎪ ⎪ FR y ⎪ 5 ⎪ 2 ⎪ 6 ⎪ M2 ⎪+ F = FP + FE = ⎨ ⎬ 7 ⎪ 30 kN ⎪ ⎪ 0 8 ⎪ ⎪ ⎪ 0 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 10 ⎪ ⎪ 0 11 ⎪ ⎪ 12 ⎪ 30 kN ⋅ m ⎪ ⎩ ⎭
11
0 FR x 1 ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 FRy 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 M1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 FRx 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 FR y 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 M2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ 0 30 kN ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 45 kN ⎪ ⎪ − 45 kN ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 37 . 5 kN ⋅ m ⎪ ⎪ − 37 .5 kN ⋅ m ⎪ (2) ⎪ FE ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 45 kN ⎪ ⎪ − 45 kN ⎪ ⎪ 37 .5 kN ⋅ m ⎪ ⎪ 67 .5 kN ⋅ m ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
按单元集成法求整体结构的等效结点荷载
⑴ 局部坐标系中的单元固端约束力 ⑵ 整体坐标系中的单元等效结点荷载
12
F
(e ) F
F
(e) E
= −T
(e)T
F
(e) F
⑶ 整体结构的等效结点荷载 按λ(e) (e ) 在 FE 中进行定位并累加 FE 中的元素 ⑷ 等效结点荷载与直接结点荷载叠加,即得结构的结 点荷载。
F = FP + FE
思考:
单 元 坐 标 系 如 图 示 ,则 等 效 结 点 荷 载列阵为:
T
13
{ P}
e
Pl ⎡ P = ⎢− 0 8 ⎣ 2
P Pl ⎤ − 0 − ⎥ 2 8⎦
e E e F
x
P = − F = −T F
T
e F
l /2 P l /2 y M, θ x
y
(X)
例1
试求图示结构的原始综合结点荷载列阵F。
14
② ①
结构坐标系下单元的固端力、等效结点荷载列阵15 x2
②
①
2 1 ⎧FE(3) ⎫ ⎧FE(1) ⎫ x1 FE(1) = ⎪ ⎪ = −FF(1) FE(2) = ⎪ ⎪ = −FF(2) ⎨ (2) ⎬ ⎨ (1) ⎬ ⎪FE4 ⎪ ⎪FE3 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
F = (−18kN 0 F = (18kN 0
(11) () FE
9kN⋅ m m −118kN 00 − 9kN⋅⋅m)) 8kN 9kN m − 9kN⋅
T
T T
F
(2) E
( 2) F
=F
F = (= (030kN0kN −⋅30kN⋅ m30kN −330kN⋅ m)kN⋅ m) −3 30kN m 0 0 − 0kN 30 0
( 2) F
T
将单元等效结点荷载列阵作用于对应结点上
F = (18kN 0
(1) E
16
1
2
− 9kN⋅ m 18kN 0
9 10 11
3
7
8
9kN⋅ m)
12
9
T
F = (0 −30kN −30kN m 0 −30kN 30 ⋅ m) ⋅ kN
(2) E
7
8
T
18 18
30 30 30 9 9
等效结点荷载
30
②
①
F1 = (18kN + Rx1 F R F 9kN ⋅ m + M 1 ) −3 F = (F 1 F ) T = F2 = ( R1 2 RyR y 2 − M+ ) 1 Rx2 Ry2 M2 18+ Rxx 9 2M 1
T
组集原始综合结点荷载列阵
T 2 y1 T T 4 T
17
T
(
F3 = (38kN
F4 = (0 − 30kN 30kN ⋅ m)
18 18 30 30 30 9 9
等效结点荷载
38 −30 −21
30
− 30 kN − 21kN ⋅ m )
0 T−30 30 )
T
T
②
①
例2
18
图示结构,荷载及结点位移编号如图所示。求考 虑杆件轴向变形的影响时的等效结点荷载列阵。
20kN/m 5 6 y 2 4 3
2
①
M, θ x 4m
1
1 8 3 3m 9 7
②
4m
⎧ 0 ⎫4 ⎧ 0 ⎫1 ⎪ 40 ⎪ 5 ⎪ 40 ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− 26.7⎪ 6 ⎪− 26.7⎪ 3 ⎪ ⎪ (1) ⎪ ⎪ ( 2) FF = ⎨ ⎬ 1 FF = ⎨ 0 ⎬ 7 ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 40 ⎪ 2 ⎪ 40 ⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 26.7 ⎪ 3 ⎪ 26.7 ⎪ 9 ⎭ ⎩ ⎭ ⎩
⎧ 0 ⎫1 ⎪ − 80 ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪3 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪4 ⎪ ⎪ PE = ⎨ − 40 ⎬ 5 ⎪ 26.7 ⎪ 6 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪7 ⎪ ⎪ − 40 ⎪ 8 ⎪ 20kN/m ⎪− 26.7 ⎪ 9 ⎭ ⎩
5 6 4 y 1 M, θ x 4 3 2 3 1 8
19
2
9 7
例3
P3 M l /2 l /2 P2 P 1 (0,0,1) l (2,3,4)
20
试求图示结构在所示位移编码情况下的综 合结点荷载列阵 。
q
(0,0,0) y M, θ x
Pl ⎧ ⎫ 取出两个非结点荷载作用单元 ⎪ − ⎪ 0
P = PD + PE
⎫ ⎧ ⎪ P ⎪ ⎪ 2 ⎪ =⎨ ⎬ ⎪ − P3 ⎪ ⎪ M ⎪ ⎩x ⎭
2
1
21
8 ⎪ ⎪ P1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 +⎨ ⎬ ql ⎪ − ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 P1 l ⎪ ⎪ ql ⎪ − 12 + 8 ⎪ ⎩ ⎭
0
x1
2
3
4
0
0
0
0
1
2
3
4
例
按先处理法求图示结构的结点荷载列阵。只 考虑弯曲变形,各杆EI = 常数。
4kN 5kN 2 6kN/m 1 4m 6 4m 5 20kN.m 3 4 3kN y 4m M, θ x
22
2 (1,0,2) 3(1,0,3) 4(1,0,4) ④ ⑤ ① ② ③ 1(0,0,0) 6 (0,0,0) 5(0,0,0)
ql 2 12
ql 2
23
x1
⎧ × ⎫0 ⎧12⎫ 1 (1) (1) ⎪ {F } = ⎪F× + 0 FE {FE } = −{FF } = ⎨ 8 ⎬ 2 P ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ × ⎪0 ⎪ ⎧10 kN ⎧ − 12⎫ (1) {FF } = ⎨ − ql ⎪ 1 = ⎨ ⎫ ⎬ ⎬ ⎩⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ 8kN m− 8 ⎭ 4kN 20kN .m ⎪ 0 ⎪0 ⎪ ⎪ 5kN 2 3 F =⎪⎨ ql 2 ⎪ ⎬ − ⎪ ⎪ - 20kN ⎪ ⎪2 ⎩ 12 ⎭ 6kN/m
{ } { }
{ }
4 3kN
⎪0 ⎩
⎪ ⎭
1
6
5
综合结点荷载元素速算方法
1、根据单元上荷载状况,利用载常数得到局部 座标系下的固端力;将其反向即得等效杆端力。 2、局部座标系下的等效杆端力转移到结点称等 效结点荷载,等效结点荷载和直接结点荷载向整 体座标系方向投影; 3、根据整体位移码,将相同编码上全部结点荷 载分量累加即得到与此位移码相应的综合结点荷 载元素。
24
例1 求图示结构的等效结点荷载
25
FE( e ) = − FF( e )
将实际的固端力反向 等效作用于结点,由 集成规则可得
8/3 8/3
⎛ F = ⎜ 20 ⎝
-4
8 3
38 ⎞ 0 -4 ⎟ 3 ⎠
T
4 8
3
4
4
20
8 3
4 10
例2 求图示结构的等效结点荷载
10
26
(1,2,3)
(0,0,4) x ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 2.5m
1
4.8kN/m
10 12 12
12 5 10 10
5 4
k N / m 8
8kN
2
4 4 5
y
(0,0,0) 5m
4 12 {F}= 5 −10
2.5m
1 2 3 4
例3
试求图示结构在所示位移编码情况下的综合 结 点 荷 载 列 阵.
q 0 (0,0,0) l ql 1 (0,0,1) l/2
。
27
ql 2
q 2 (0,0,2) l
ql 3 (0,0,3) l/2
4 (0,0,4)
y
l/2
l/2
M, θ x
ql 12
2
ql2 12
ql 8
2
ql
ql2 8
28
ql 12
2
ql 2 12 ql 2 q 12 ql 2 8ql ql 2 ql 2 12 q
ql
ql 8
2
ql 2 8
ql 2 8 ql
4 (0,0,4)
0 (0,0,0)
1 (0,0,1)
2 (0,0,2)
3 (0,0,3)
⎧−ql 2 / 24 ⎫1 ⎪ ⎪ 2 ⎪25ql / 24⎪2 { P} = ⎨ 2 ⎬ ⎪−ql / 24 ⎪3 ⎪ ql 2 / 8 ⎪4 ⎩ ⎭
例4
ql 2 8
求图示结构在所示编码下的综合结点荷载矩阵 229 2
ql 8
2
ql
2
ql
2
12
12
ql 4
ql
ql 4
ql 2
ql 2
ql 2 8
ql 2
ql 8
3ql 4
2
ql 2
ql
2
12
ql
2
12
ql 2 4
ql
ql
3ql 2 16
3ql 4
ql 2 4
3ql 2 16
3ql 16
2
3ql 4
⎛ ql F = ⎜− ⎝ 4
ql − 8
2
11ql 48
2
ql 3
2
ql ⎞ − ⎟ 4 ⎠
2
T