不可压缩流体动力学基础
不可压缩流体动力学基础
1．已知平面流场的速度分布为ux=x2+xy，uy=2xy2+5y。求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。
解：（1）线变形速度：θx=∂ux=2x+y ∂x
θy=∂uy
∂y=4xy+5 1⎛∂uy∂ux⎫12⎪角变形速度：εz= +=2y+x⎪22 ∂x∂y⎝⎭() ) 旋转角速度：ωz1⎛∂uy∂ux⎫12⎪= -=2y-x ⎪2⎝∂x∂x⎭2(
将点（1，-1）代入可得流体微团的θx
2．已知有旋流动的速度场为ux
变形速度和涡线方程。 =1，θy=1；εz=3/2；ωz=1/2 =2y+32，uy=2z+3x，uz=2x+3y。试求旋转角速度，角
1⎛∂uz∂uy⎫1⎪-解：旋转角速度：ωx= ⎪=2 2 ∂y∂z⎝⎭
ωy= 1⎛∂ux∂uz⎫1-⎪= 2⎝∂z∂x⎭2
∂u⎫1x⎪ωz= -= ⎪2⎝∂x∂y⎭21⎛∂uy
1⎛∂uz∂uy⎫5⎪角变形速度：εx= +⎪=2 2 ∂y∂z⎝⎭
εy= 1⎛∂ux∂uz⎫5-⎪= 2⎝∂z∂x⎭2
1⎛∂uy∂ux⎫5⎪εz= -= ⎪2⎝∂x∂y⎭2
由dxωx=dyωy=dzωz积分得涡线的方程为：
y=x+c1，z=x+c2
3．已知有旋流动的速度场为ux
及涡线方程。
解：流场的涡量为： =cy2+z2，uy=0，uz=0，式中c为常数，试求流场的涡量
Ωx=∂uz∂uy-=0 ∂y∂z
Ωy=
Ωz=∂ux∂uz-=∂z∂x∂uy
∂x-∂ux=-∂yczy+zcyy+z222 2
旋转角速度分别为：ωx=0
ωy=cz
2y+z
cy
2y+z222 ωz=-2 则涡线的方程为：⎰ωdyy=⎰dzωz+c 即dydz=-⎰z⎰y+c
可得涡线的方程为：
4．求沿封闭曲线x
（3）uy2y2+c2=c （1）（2）ux=Ay，uy=0；ux=Ax，uy=0； +y2 =b2,z=0的速度环量。=0，uθ=r。其中A为常数。
解：（1）由封闭曲线方程可知该曲线时在z=0的平面上的圆周线。
在z=0的平面上速度分布为：
ux=Ax，uy=0
涡量分布为：Ωz=0
=⎰ΩzdAz=0 A根据斯托克斯定理得：Γs
（2）涡量分布为：Ωz=-A
=⎰ΩzdAz=-Aπb2 A根据斯托克斯定理得：Γs
（3）由于ur=0，uθ=r =-AAyAxy=-u=， y222rbb则转化为直角坐标为：ux
则Ωz=∂uy
∂x-∂ux2A=2 ∂yb
=⎰ΩzdAz=2πA A根据斯托克斯定理得：Γs
5．试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件？
答：不可压缩流体连续性方程 ∂ux∂uy∂uz直角坐标：++=0 （1） ∂x∂y∂z
柱面坐标：ur∂ur∂uθ∂uz+++=0 （2） r∂rr∂θ∂z
（1）ux
（2）ux=kx,uy=-ky,uz=0 代入（1） 满足 =y+z,uy=z+x,uz=x+y 代入（1） 满足
2（3）uxk(x
（4）ux
（5）ur
（6）ur
（7）ur+xy-y2),uy=k(x2+y2),uz=0 代入（1） 不满足 =ksinxy,uy=-ksinxy,uz=0 代入（1） 不满足 =0,uθ=kr,uz=0 代入（2） 满足 =-k,uθ=0,uz=0 代入（2） 满足 r=2rsinθcosθ,uθ=-2rsin2θ,uz=0 代入（2） 满足
=x2y，uy=-3y，uz=2z2。求（3，1，2）点上流体质点的加速度。6．已知流场的速度分布为ux
解：ax=∂ux∂u∂u∂u+uxx+uyx+uzx=0+x2y⋅2xy-3y⋅x2+0=2x3y2-3x2y ∂t∂x∂y∂z
ay=∂uy
∂t+ux∂uy∂x+uy∂uy∂y+uz∂uy∂z=9y
az=∂uz∂u∂u∂u+uxz+uyz+uzz=8z2 ∂t∂x∂y∂z
将质点（3，1，2）代入ax、ay、az中分别得：
ax=27，ay=9，az=64
7．已知平面流场的速度分布为ux
体质点的加速度。
解： =4t-2yx2+y2，uy=2xx2+y2。求t=0时，在（1，1）点上流
⎛∂ux∂ux∂ux2y⎫⎡2x⋅2y⎤2x ⎪ax=+ux+uy=4+ 4t-2+⎢⎥22222∂t∂x∂yx+y2⎪x+yx+y⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡2x2+y2-4y2⎤⎢0-⎥222x+y⎢⎥⎣⎦()8xy22x2x2-2y2
当t=0时，ax=4--222x+yx2+y2()
将（1，1）代入得ax=3
+uy∂uy⎛2y=0+ 4t- ∂yx2+y2⎝⎫⎡2x2+y2-4x2⎤-4xy2x⎪+⋅⎢⎥222⎪⎥x2+y2x2+y2⎭⎢⎣⎦x+yay=∂uy
∂t+ux∂uy∂x()2
当t=0时，将（1，1）代入得：ay=-1
8．设两平板之间的距离为2h，平板长宽皆为无限大，如图所示。试用粘性流体运动微分方程，求此不可压缩流体恒定流的流速分布。
解：z方向速度与时间无关，质量力：fx=-g
1∂pd2u运动方程：z方向：0=-+υ2 ρ∂zdx
x方向：0=-g-
积分：1∂p→ ρ∂xp=-ρgx+f(z)
d2u1∂p∴p对z的偏导与x无关，z方向的运动方程可写为 =2μ∂zdy
1∂px2
积分：u=+C1x+C2 μ∂z2
边界条件：x=±h，u=0
得：C1=0，C2=-1∂p2h μ∂z
h2∂p⎡x2⎤∴u=-1-()⎥ 2μ∂z⎢h⎣⎦
9．沿倾斜平面均匀地流下的薄液层，试证明：（1）流层内的速度分布为u=γ(2by-y2)sinθ；（2
）2μ
单位宽度上的流量为q=γ3bsinθ。 3μ
fx=gsinθ，fy=-gcosθ 解：x方向速度与时间无关，质量力
1∂pd2u运动方程：x方向：0=gsinθ-+υ2 ① ρ∂xdy
y方向：0
②→积分=-gcosθ-1∂p ② ρ∂yp=-ρgycosθ+f(x)
y=b p=pa ρa=-ρgbcosθ+f(x)
∴p=pa+ρg(h-y)cosθ
∵b=常数 ∴p与x无关 d2u-ρgsinθ①可变为 =μdy2
积分u=-ρgsinθ12(y+C1y+C2) μ2
y=0，u=0；y=b， 边界条件：du=0 dy
∴C1
∴u=-b，C2=0 ρgsinθry(2b-y)=(2by-y2)sinθ 2μ2μ
γ3bbγQ=⎰0udy=⎰0(2by-y2)sinθdy=bsinθ2μ3μ=
10.描绘出下列流速场
解：流线方程： dxdy= uxuy
（a）ux=4，uy=3，代入流线方程，积分：y=3
x+c
4
直线族
（b）ux=4，uy=3x，代入流线方程，积分：y=3
2x+c 8
抛物线族
（c）ux=4y，uy=0，代入流线方程，积分：y=
c
直线族
（d）ux=4y，uy=3，代入流线方程，积分：x=2
2y+c 3
抛物线族
（e）ux=4y，uy=-3x，代入流线方程，积分：3
x2+4y2=c
椭圆族
（f）ux=4y，uy=4x，代入流线方程，积分：x2-y2=c
双曲线族
（g）ux=4y，uy=-4x，代入流线方程，积分：x2
+y2=c
同心圆
（h）ux=4，uy=0，代入流线方程，积分：y=
c
直线族
x2
+c （i）ux=4，uy=-4x，代入流线方程，积分：y=-2
抛物线族
（j）ux=4x，uy=0，代入流线方程，积分：y=c
直线族
（k）ux=4xy，uy=0，代入流线方程，积分：y=
c
直线族
（l）urc=，uθ=0，由换算公式：ux=urcosθ-uθsinθ，uy=ursinθ+uθcosθ r
，uyux=cxcx-0=2rrx+y2
x=
c y=cycy+0=2 rrx+y2代入流线方程积分：
直线族
（m）ur=0，uθ=cxcycxcxc=-2u=0+=，ux=0-， yrrrrx2+y2rx+y2
2代入流线方程积分：x+y2=c
同心圆
11.在上题流速场中，哪些流动是无旋流动，哪些流动是有旋流动。如果是有旋流动，它的旋转角速度的表达式是什么？ 解：无旋流有：∂ux∂uy∂ur∂uθr（或） ==∂y∂x∂θ∂r
（a），（f），（h），（j），（l），（m）为无旋流动，其余的为有旋流动 对有旋流动，旋转角速度：ω=1∂uy∂ux(-) 2∂x∂y
37 （c）ω=-2 （d）ω=-2 （e）ω=- 22
（g）ω=-4 （i）ω=-2 （k）ω=-2x （b）ω=
12.在上题流速场中，求出各有势流动的流函数和势函数。
解：势函数ϕ
流函数ψ=⎰uxdx+uydy =⎰uxdy-uydx
（a）ϕ=⎰4dx+3dy=4x+3y
ψ=⎰4dy-3dx=-3x-4y
（e）ϕ=⎰4ydx+⎰-3xdy=⎰x4y0dx+⎰y-3xdy
00xy
取(x0,y0)为(0,0)则
积分路线可选
其中0,0→x,0:dy=0,y=0
x,0→x,y:dx=0,x=x
ϕ=(⎰00dx+⎰0-3xdy)+(⎰04ydx+⎰0-3xdy)=(0+0)+(0-3xy)=-3xy xxyy
ψ=⎰4ydy-⎰-3xdx=2y2+x2
其他各题略
13.流速场为(a)ur32=0,uθ=c2，(b)ur=0,uθ=ωr时，求半径为r1和r2的两流线间流量的表达式。
r
解：dQ=dψ ψ=⎰urrdθ-⎰uθdr
c(a)ψ=-⎰dr=-clnr r
∴Q=ψ2-ψ1=-clnr2-(-clnr1)=cln
2r1 r2(b)ψ=-⎰ωrdr=-
∴Qω2r22 =ψ2-ψ1=ω2
2(r12-r22)
14.流速场的流函数是ψ=3x2y-y3。它是否是无旋流动？如果不是，计算它的旋转角速度。证明任一点的流速只取决于它对原点的距离。绘流线ψ=2。 ∂2ψ∂ψ解：=6xy 2=6y ∂x∂x
∂ψ∂2ψ22=3x-3y 2=-6y ∂y∂y
∂2ψ∂2ψ+∴=0 是无旋流 22∂x∂y
ux=
∴u=
流线ψ∂ψ∂ψ=3x2-3y2 uy=-=-6xy ∂y∂x2222x+u2y=3(x+y)=3r 即任一点的流速只取决于它对原点的距离 =2即3x2y-y3=2
用描点法：
y2(3x2-y2)=2
y=1,x=±1
y=-1,x=±1
y=2,x=±
y=-2,x=±
（图略）
15.确定半无限物体的轮廓线，需要哪些量来决定流函数。要改变物体的宽度，需要变动哪些量。以某一水平流动设计的绕流流速场，当水平流动的流速变化时，流函数是否变化？
解：需要水平流速v0，半无限物体的迎来流方向的截面A，由这两个参数可得流量Q3 232=v0A。改变物体宽
度，就改变了流量。当水平流速变化时，ψ也变化
ψ=v0y+Qyarctg 2πx
16.确定朗金椭圆的轮廓线主要取决于哪些量？试根据指定长度l=2m，指定宽度b=0.5m，设计朗金椭圆的轮廓线。
解：需要水平流速v0，一对强度相等的源和汇的位置±a以及流量Q。
ψ=v0y+Qyy(arctg-arctg) 2πx+ax-a
x2y2l驻点在y=0,x=±处，由l=2,b=0.5得椭圆轮廓方程：+=1 1(0.25)22
即：x2+16y2=1
17.确定绕圆柱流场的轮廓线，主要取决于哪些量？已知R=2m，求流函数和势函数。
解：需要流速v0，柱体半径R
R2
ψ=v0(r-)sinθ r
∵R=2 ∴ψ4=v0(r-)sinθ r
R2ϕ=v0(r+)cosθr
R2
)cosθ ∵R=2 ∴ϕ=v0(r+r
18.等强度的两源流，位于距原点为a的x轴上，求流函数。并确定驻点位置。如果此流速场和流函数为ψ=vy的流速场相叠加，绘出流线，并确定驻点位置。
解：叠加前
ψ=
ux=Qyy(arctg+arctg) 2πx+ax-a∂ψQx+ax-a=(2+) 222∂y2πy+(x+a)y+(x-a)
∂ψQyy=(2+) ∂x2πy+(x+a)2y2+(x-a)2
=Qy ux=0 22π(y+a)uy=-当x=0 uy
y=0 ux=
∴驻点位置(0,0) Q11(+) uy=0 2πx+ax-a
叠加后ψ=vy+Qyy(arctg+arctg) 2πx+ax-a
=∂ψ
∂yy=0流速为零的条件：ux=v+QQ+=0 2π(x+a)2π(x-a)
解得：x=-1⎡Q±Q2+(2aπv)2⎤ ⎥⎣⎦2πv⎢
⎛1⎡⎫Q-Q2+(2aπv)2⎤,0⎪ ⎥⎣⎦⎭⎝2πv⎢
⎛1⎡⎫Q+Q2+(2aπv)2⎤,0⎪ -⎥⎣⎦⎭⎝2πv⎢即驻点坐标： -
19.强度同为60m2/s的源流和汇流位于x轴，各距原点为a=3m。计算坐标原点的流速。计算通过(0,4)点的流线的流函数值，并求该点流速。 解：ψ=Qyy(arctg-arctg) 2πx+ax-a
⎡⎤⎢⎥Q⎢1111⎥=-=6.37m/s 22⎢⎥2πy⎫x+a⎛y⎫x-a⎥⎢1+⎛1+ ⎪ ⎪⎢⎝x+a⎭⎥⎝x+a⎭⎣⎦ux=∂ψ∂yy=0,Q=60,a=3
uy=0
Q44Q4(arctg-arctg)=arctg 2π3-3π3
Q∂ψ1111180ux==(-)=m/s Q=60,x=0,y=4,a=3y2x+ay2x-a∂y2π25π1+()1+()x+ax+a(0,4)的流函数：ψ=uy=0
20.为了在(0,5)点产生10的速度，在坐标原点应加强度多大的偶极矩？过此点的流函数值为何？ 解：M
将v0=2πv0R2 =10,R=5代入得：M=500π
Msinθ 2πr
将M=500π,sinθ=1,r=R=5代入得：ψ=-50 ψ=-
21.强度为0.2m2/s的源流和强度为1m2/s的环流均位于坐标原点，求流函数和势函数，求
(1m,0.5m)的速度分量。
解：ψ=QQθΓQΓ +lnr，ϕ=lnr+θ，ur=2π2π2πr2π2π
=2+0.52代入得：ur将Q=0.2,r=0.0284m/s
uθ=-
将ΓΓ 2πr=1,r=2+0.52代入得：uθ=-0.142m/s