参数方程化普通方程练习题有答案

参数方程化普通方程

1．参数方程⎧⎪⎨x ＝cos 2

θ

⎪⎩

y ＝sin 2θ，(θ为参数) 表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段

D ．射线

解析：选C. x ＝cos 2

θ∈[0，1]，y ＝sin 2

θ∈[0，1]，∴x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．

2．(1)参数方程⎧⎪⎨x ＝2t

⎪⎩y ＝t (t 为参数) 化为普通方程为____________．

(2)参数方程⎧⎪⎨x ＝1＋cos θ

⎪，(θ为参数) 化为普通方程为____________⎩

y ＝1－sin θ．

解析：(1)把t ＝12代入y ＝t 得y ＝1

2

x .

(2)参数方程变形为⎧⎪⎨x －1＝cos θ，

⎪1＝－sin θ，

两式平方相加，得(x －1) 2＋(y －1) 2＝1.

⎩y －答案：(1)y 1

2

(2)(x －1) 2＋(y －1) 2＝1

⎧3．曲线C ：⎪⎨x ＝12，(t 为参数) 的形状为____________．

⎪⎩y ＝t

2解析：因为t ＝2x ，代入y ＝t 2，得y ＝4x 2，即x 2＝1

4y ，所以曲线C 为抛物线．

答案：抛物线

4. 将下列参数方程化为普通方程：

(1)⎧⎨x ＝＋1

⎩y ＝1－t

，(t 为参数) ； (2)⎧⎪⎨x ＝5cos θ⎪，(θ为参数⎩

y ＝4sin θ－1) ； ⎧x ＝1＋3(3)⎨2t

，(t 为参数) ；

⎩y ＝2－1

2⎧2t

(4)⎪x ⎨1＋t 2，(t 为参数) ．

⎪⎩y ＝1－t 1＋t

[解] (1)由x ＝t ＋1≥1t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1) ．

⎧cos θ＝

x

(2)由⎧⎪⎨x ＝5cos θ

⎪⎩

y ＝4sin θ－1得

⎨5

①

⎩sin θ＝y ＋1， ②

4

2

2

x 22

①＋②得25＋（y ＋1）

16＝1.

⎧x ＝1＋32⎧x －1＝32t ①(3)由⎨⎩y ＝2－1得⎨2＝－1， ②

2t ⎩y －2t

②÷①得y －2x －1＝－33，∴y －2＝－3

3(x －1)(x ≠1)

∴3x ＋3y －6－＝0，

又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －63＝0. ⎧⎪

2t 4t 2x ⎨1＋t ⎧⎪

x 2

＝（1＋t ） ①

(4)由⎪⎩y 1－t 2得⎨⎪⎩

21＋t 4－2t 2， ②

1＋t y ＝（1＋t ）①＋②得x 2＋y 2＝1.

5. 参数方程⎧⎪⎨x ＝2＋sin 2

θ

⎪，(θ为参数) 化为普通方程是⎩

y ＝－1＋cos 2θ( )

A ．2x －y ＋4＝0 B ．2x ＋y －4＝0

C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3] D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]

解析：选D. 由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．

6. 把参数方程⎧⎪⎨x ＝sin θ－cos θ

⎪⎩

y ＝sin 2θ，(θ为参数) 化成普通方程是____________．

解析：将x ＝sin θ－cos θ两边平方得x 2＝1－sin 2θ， 即sin 2θ＝1－x 2

，代入y ＝sin 2θ，得y ＝－x 2

＋1. 又x ＝sin θ－cos θ2sin ⎛⎝θ－π

4⎫⎭，∴－2≤x 2， 故普通方程为y ＝－x 2＋1(－2≤x 2) ． 答案：y ＝－x 2＋1(2≤x 2)

7. 已知曲线C ⎧⎪x ＝－4＋cos t ⎧⎪1：⎨⎪，(t 为参数) x ＝8cos θ

⎩y ＝3＋sin t ，C 2：⎨⎪，(θ为参数) ． ⎩

y ＝3sin θ. (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？

(2)若C 对应的参数t ＝π

1上的点P 2

，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线

C ⎧⎪⎨x ＝3＋2t ，3：⎪⎩

y ＝－2＋t (t 为参数) 距离的最小值及此时Q 点坐标．

[解] (1)由C ⎧⎪⎨x ＝－4＋cos t 1：⎪⎩y ＝3＋sin t ，(t 为参数) ，

则⎧⎪⎨cos t ＝x ＋4，

⎪⎩

sin t ＝y －3， 由sin 2t ＋cos 2t ＝1得(x ＋4) 2＋(y －3) 2＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是圆心为(－4，3) ，半径为1的圆.2分

由C ：⎧⎪⎨x ＝8cos θ，

2⎪⎩

y ＝3sin θ. (θ为参数) ，

⎧cos θ＝x

8，

则⎨由cos 2

θ＋sin 2

2

2

θ＝1得x ＋y

＝1，即曲线C 2

的普通方程．C 2

⎩sin θ＝y

649表示的

3，

是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆.5分

(2)当t ＝π

2P (－4，4) ，Q (8cos θ，3sin θ) ，

故M ⎛⎝－2＋4cos θ，2＋3

2θ⎫⎭，6分 C 3为直线x －2y －7＝0.7分 则点M 到直线C 3的距离d ＝

55θ－3sin θ－13|＝5

5

θ＋φ) －13|，9分 从而当cos φ＝45，sin φ＝385

5时，d 取得最小值5.

11分

此时，Q 点的坐标为⎛32⎝5

9

5⎫⎭.12分 ⎧

x ＝3＋1

8.(2015·高考陕西卷) 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎨2

，

(t 为参

⎩

y ＝32

t

数) ．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.

(1)写出⊙C 的直角坐标方程；

(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝2y ，所以x 2＋(y 2＝3. (2)设P ⎛1⎝32，3

2t ⎫⎭，又C (0，3) ，

则|PC |＝⎛122

⎝3＋2⎫⎭＋⎛3⎝2－3⎫⎭

＝t ＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值，

此时，点P 的直角坐标为(3，0) ．

9．已知曲线C ⎧⎪x ＝4＋5cos t ，

1的参数方程为⎨⎪⎩

y ＝5＋5sin t (t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．

解：(1)将⎧⎪⎨x ＝4＋5cos t ，

⎪消去参数t ，化为普通方程(x －4) 2＋(y ⎩

y ＝5＋5sin t －5) 2＝25，即

C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.

将⎧⎪⎨x ＝ρcos θ，

⎪代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ⎩

y ＝ρsin θρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.

由⎧⎪⎨x 2＋y 2

－8x －10y ＋16＝0，⎧⎪x ＝1⎧⎪x ＝0，⎪⎩x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎨⎪⎩

y ＝1或⎨ ⎩⎪y ＝2. 所以C ππ1与C 2交点的极坐标分别为(2，4) ，(2，2

) ．

⎧1

10. 化参数方程⎨x ＝t t

(t 为参数) 为普通方程，并求出该曲线上一点P ，使它到y ＝⎩

y ＝t －

12x

t

＋1的距离为最小，并求此最小距离．

解：化参数方程为普通方程为x 2－y 2＝4.

设P (t ＋11

t ，t t ，则点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离

|t ＋3d ＝t

＋1|

5

.

(1)当t >0时，d ≥23＋1

5

(2)当t

t ≥2，

∴t ＋3

t

＋1≤－23＋1.

∴|t ＋3

t 1|≥－1，∴d 23－15

∵

23＋13－5>1

5

∴d 3－121555

5，此时点P 的坐标为(－42

33，－3

3) ．