非线性微分方程教学中的Maple辅助
非线性微分方程教学中的Maple辅助
江波
(江苏技术师范学院数理学院,江苏常州213001)
摘要:用数学软件Maple实现了非线性微分方程中的兰类典型问题的求解,并用于辅助常微分方程中的非线
性微分方程的教学。
关键词:非线性微分方程;数学软件;Maple中图分类号:0175.14
文献标识码:A
文章编号:1674—8522(2011)02-0083--04
O
引言
常微分方程是数学专业的基础课程,通常安排在数学分析、高等代数、解析几何等课程之后,从而为
学习微分几何、泛函分析等后继课程打下基础。同时,常微分方程作为理论联系实际的重要数学分支之
一,也是自然科学和其他技术科学的重要工具课程。非线性微分方程作为经典的常微分方程教材脚中重要
的一章,起到从理论体系完善的线性微分方程时代迈向非线性微分方程这一科学前沿的作用。因此,非线
性常微分方程的教学显得尤为重要。
非线性微分方程中出现的各类问题常涉及繁琐的符号运算,这就给非线性微分方程的教学带来很大
的难度。因此,适当使用具有强大符号计算功能的数学软件M印le酗味辅助非线性微分方程的教学,不仅
可以使教师和学生摆脱繁重乏味的数学演算和数值计算,将注意力更多集中在解题方法的思考上,而且还能提升学生运用数学软件编制相应程序解决实际问题的能力。
1
用Maple解决非线性微分方程中三类典型问题
Maple软件主要由内核、库函数及用户界面互部分组成。库函数和用户界面由C语言写成且只占软
件的一小部分,当用户启动时即被装入,主要负责输入命令及算式的初步处理、显示结果等,而内核则负
责输入的编译、代数运算、管理内存。随着Maple软件的发展与完善,直接使用软件中已有的库函数求解
各类线性微分方程(组)并非难事[41,但对于非线性微分方程(组)的问题则束手无策。
下面举例说明如何用Maple编制程序实现非线性微分方程组零解的稳定性判断、线性微分方程组奇点的类型与稳定判断及非线性微分方程组的极限环的存在性和稳定性判断这三类非线性微分方程中的
典型问题的求解,从而用于辅助非线性微分方程的教学。
例1判断一阶非线性微分方程组
收稿日期:2011—02—11
作者简介:江波(1978一),男,江苏常州人,讲师,博士,主要从事非线性微分方程的研究。
X=y)1(
江苏技术师范学院学报
.
第17卷
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菇=一2茁却r・:+茗e,
’一化3+z2—少眈+石,
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z销垆一e锣电),
.
122
零解的稳定性。
运行Maple,在计算界面上输入如下程序:
>withoinalg):
>Hl】:.-2卑x+y—z+x。2宰exp(x):>H2】:=)【-y+x弓承y+z2:>F[3]:--x+y-z+exp(x)拳◇^2+z‘2):>J:-jacobian([F[1】,F[2],H3】】,【x'Y,z】):>J:=subs({x=0,y=0,z=0),evalm(J)):>P:=charpoly(J,lambda):
>a[0l:=coeff(P,lambda,3):a[1]:=eoeff(P,lambda,2):>a[2l:=eoeff(P,lambda,1):a[3]:=coeff(P,lambda,o):>Deha:=matrix([[a[1],a【o】,ol,M3】,421,aO]l,【0,0,4311]):>Deltal:=det(submatrix(Deltml..1,1~1));>Delta2:=det(submatrix(Delta,1..2,1—2));>Delta3:=det(submatrix(Delta,1..3,I。3));
运行该程序后可得A1--4,A2=17,A3=51。因ai=o(/=l,2,3),由Hurwitz判据【・可判定一阶微分非线性微分方程组(1)的零解渐近稳定。
例2判定微分方程组
f.
{菇=--2x一聃1殳
ly=x-2y+5,
(2)
奇点的类型及稳定性。
在计算界面上输入如下Maple程序:
>pointtype:--proc(a,b,c,d)
>localP,q,A;
>with(1inalg):
>A:=matrix([[a,b],[c,d】】);
>p:=a+d;q:=8木d-b枣c;>ffq=0then
>printChigh-order
singular
point');fi;
>ffp=Oandq>Oandp‘2-4堆q<Othen
>print('centerpoint');fi;
>ffp<Oandq>Oandp‘2_4宰q<Othen
>print('stablefocus');fi;
>ffp>0andq>Oandp2-4书q<Othen
>printCunstablefocus');fi;
>ffq<Othen
>print('saddlepoint');fi;
第2期
江波:非线性微分方程教学中的Maple辅助
>ifq>Oandp<Oandp‘2—4木q>Othen
85
>print('stablenode');fi;
>ifq>Oandp>Oand砰-4木q>O>pnnt('unstablenode');fi;
>ifq>Oandp<O
then
and
p‘2-4宰q--Othen
>print('stabledegenaratenode(Jrcriticalnode');fi;
>ifq>Oandp>Oandp^2-4木q=Othen
>print('unstable
degenarate
node
or
critical
node');fi;
运行此程序后可得p=O,q=3p2-幻=-12<0,因此,很容易判定奇点是中心奇点,因此该奇点是稳定但非渐近稳定的。
例3
确定非线性微分方程组
P(舭1)(如细)_y(如柚),
I多可(菇2+,,2-1)(矿酽_9)螂(妒酽-4),
的周期解、极限环,并讨论极限环的稳定性。
输入如下Maple程序于计算窗口:
>witll(DEtools.Dchangevar):
>ali嬲(x=】【(t),y=y(t),r=r(t),theta=theta(t)):
(3)
>eqs:=diff(x,O=x书(x-2+粥-1)木(x乞+y2—9)一y搴()陀+y2—4),
diff(y,t)=)r木()陀+皿-i)术(x"2+y'2-9)+x术()陀+)佗—4);
>Dchangevar({x=r*cos(theta),y=r术sin(theta)l,{eqs},t):>solve(%,{diff(r,t),diff(theta,t)1):>simpli匆(%,trig):combine(%,tri曲;
运行以上程序可得:
P(,_1)(,-9),
I扫:r2_4。
稳定的极限环,而r=-3是不稳定的极限环。
(4)
易得原非线性微分方程组除奇点(0,O)外,有两个周期解x2+y2-=_1和a矿=9。经过简单分析,即可得r=l是
对以上三例程序稍作修改,类似的非线性微分方程(组)都可以进行求解。
2
结语
本文用数学软件Maple求解非线性微分方程教学中出现的三类典型问题只是为非线性微分方程教学改革起到抛砖引玉的作用。Maple还有许多其他的功能,有待作者进一步思考怎样将其用在各类数学课程的教学中以提高教学效率。
参考文献:
【I】王高雄.常微分方程【M】.北京:高等教育出版社,1985.
12]张韵华,王新茂.符号计算系统Maple教程嗍.合肥:中国科学技术大学出版社,2007.【3】何青,王丽芬.Maple教程嗍.北京:科学出版社,2006.
【4】钟益林,彭乐群,刘炳文.常微分方程及其Maple,MATLAB求解瞰】.北京:清华大学出版社.2007.
江苏技术师范学院学报
第17卷
AssistanceofMapleinTeachingofNonlinearDifferentialEquations
肌NGBo
(SchoolofMathematics
andPhysics,Jian伊uTeachersUniversity
Changzhou
of
Technology,
213001,China)
ofin
Abstract:Three
types
ofclassicalproblemsinnonlineardifferentialequations
Call
are
solvedby
use
mathematicalsoR-ware—Maple,whichordinarydifferentialequadons.
assistthe
teachingofnon'near
differentialequations
Keywords:nonlineardifferentialequation;mathematicalsoftware;Maple
责任编辑张志钊
(上接第82页)
InnovationandExplorationofConfigurationSoftwareCourse
Based
on
ProjectDidactics
Yun-fei
of
Technology,
YANG
(DepartmentofElectricandAutomation,ChangshuInstituteChangshu
21550D,china)
Abstract:Practiceteachingis
all
importantpartintechnologyuniversityteachingsystem.Ithadgreat
significancetocultivatestudents’innovativeabilitycombines
knowledgeand
skill
training
and
theirengineeringquality.Project
of
didactics
closely.Introduction
forEngineering
background,basic
knowledgeteaching
and
operationalskilltrainingconstitutethree
andorganizingthestudentsis
all
important
aspects
pmject
didactics.
Playtheroleofteacherapplication
guidingimportantaspect.Students‘engineering
didacticsinteachingconfiguration
abilities
havebeen
enhanced
gre=lybyapplying
project
softwareWINCC
course.
Key
words:configurationsoftware;project
didactics;WINCC
责任编辑盛艳