一维正态分布随机数序列产生的方法
一维正态分布随机数序列产生的方法
【摘要】正态分布在数理统计中具有基础性的作用，因此产生高质量的正态分布有重要的意义。现在我们总结了一些方法来介绍一维正态分布随机数序列的生 法：中心极限定理，Hasiting 有理逼近法，统计工具箱，反函数法，舍选法，R 软件及一维正态随机数的检验。 【关键词】正态分布；一维；随机数。
正态分布的定义：若连续随机变量§的概率密度为
然而，得到服从正态分布的随机数的基本思想是先得到服从均匀分布的随机数，再将服从均匀分布的随机数转变为服从正态分布。 一维正态分布随机数序列产生的方法 一、用matlab 统计工具箱产生
R = normrnd(MU，SIGMA) （生成均值为 MU ，标准差为 SIGMA 的正态随机数） R = normrnd(MU，SIGMA,m) （生成1× m个正态随机数） R = normrnd(MU，SIGMA,m,n) （生成m 行n 列的 m × n 个正态随机数） 例如 (1) R = normrnd(0,1,[1 5])生成5个正态(0,1) 随机数 (2) R = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) 生成期望依次为[1,2,3;4,5,6], 方差为 0.1
的 2× 3 个正态随机数。 二．利用分布函数的反函数
1、设连续型随机变量Y 的概率函数为 f (x ), 需产生给定分布的随机数. 算法:（1）产生n 个RND 随机数r 1，r 2，…，r n ；
从等式r i =⎰f (y ) dy 中解出y i ; 所得（2）
-∞y i
y i , i =1,2, …,n 即所求.
2、基本原理：
设随机变量Y 的分布函数F (y ) 是连续函数，而且随机变量X ～U (0,1)，令
Z =F －1(X ) 。则Z 与Y 有相同分布。
证明 ：F Z (z )= P {F －1(X ) ≤ z }= P{X ≤F (z )}=G (F (z )) = F(z ) 因G (x ) 是随机变量X 的分布函数：
⎧0,
⎪
G (x ) =⎨x ,
⎪1,
⎩
x
若Y 的概率密度为 f (y ) ，由Y =F －1(X ) 可得： X
=F (Y ) =
⎰
Y
-∞
f (y ) dy
对给出定的(0, 1) 上均匀分布随机数r i ，则具有给定分布的随机数 y i 可由
r i =⎰i f (y ) dy 解出。 方程 -∞
y
若要得到分布函数为F(x)的随机变量Y 。可令Y
P (Y ≤y )
=F
-1
(u ) ， 其中u 是服从均
匀分布的随机变量，有=P (U
=F (y )
≤F
-1
(y ))
因而，对于任意的分布函数，只要求出它的反函数，就可以由服从均匀分布的随机变量实例来生成服从该分布函数的随机变量实例。 现在来看正态分布的分布函数，对于
X ~N (μσ,
2
) 其分布函数为：，
F (x ) =
x -∞
-
(t -μ) 2σ
2
2
e
显然，要想求其反函数是相当困难的，同时要想编程实现也很复杂。可见，用此种方法来生成服从正态分布的随机变量实例并不可取。 三．利用中心极限定理
1、
2、产生服从N(μ, σ2) 的算法步骤：
（1）产生n 个RND 随机数：r 1，r 2，…，r n ；
计算（2）
n
x =(∑r i -n ) /2
i =1
n
12
;
(3) 计算 y =σx +μ ，y 是服从 N(μ, σ2) 分布的随机数。
3、原理分析：
设ζ1，ζ2，…，ζ1,2, …,n, == 有
E (ζi ) =
1
2
n
是n 个相互独立的随机变量, 且ζi ～U(0,1), i =
，D (ζi ) =
112
,
n
i
n 2
n 12
η=(∑ζ-) /由中心极限定理知 ：，渐近服从正态分布N(0, l )。
i =1
注意：我们现在已经能产生[0，1]均匀分布的随机数了，那么我们可以利用这个定理来产生标准正态分布的随机数。
r , r 现在我们产生n 个[0，1]均匀分布随机数，
1
2
, , r n
我们有：
u =
⎛1
n
⎝n
n
∑
i =1
r i -
1⎫⎪⎪2⎭
为方便起见，我们特别选 n = 12，则 ： u =∑r
i =1
12
i
-6
这样我们很方便地就把标准正态分布随机数计算出来了。
4、中心极限定理说明，无穷多个具有相同分布的随机变量之和是服从标准正态分布的。相应的，如果多个随机变量均为[0,1]区间的均匀分布，则生成标准正态分布的式子为：
其中，k 为[0,1]区间均匀分布的随机变量的个数。k 值可以根据计算精度来选取，若取 k=12，则
。此时算得的将不超过(-6,6)的范围，这对于一
般可靠度的计算已达足够精度。 四．使用Box Muller方法 先证明⎰-∞e
∞
-x 2
2
dx =2π
：令
I =
⎰
∞-∞
-x
2
e
2
dx ，则I =
2
2
⎰
∞-∞
-x
2
e
2
dx ⎰
-r
2
∞-∞
-y
2
e
2
dy =
⎰
∞-∞
e
-
x +y 2
22
dxdy
令x =r cos θ, y =r sin θ，则有I 2=⎰0⎰0
2π∞
e
-
r
2
rdrd θ=2π⎰e
∞
2
rdr =2π
。
接下来再来得出Box Muller方法：
设(X , Y )为一对相互独立的服从正态分布的随机变量。则有概率密度函数
f (X , Y )(x , y )=
12π
r 0
e
-
x +y 2
22
令x =R cos θ, y =R sin θ, 其中θ~[0,2π]，则R 有分布函数：
-u
2
P (R ≤r ) =
-1
⎰⎰
2π
12π
e
2
udud θ=
⎰
r 0
-u
2
-r
2
-r
2
e
2
udu =1-e
2
令F R (r )=1-e
2
R =F R
(Z )
=如果X 服从均匀分布，则R 的分布函数即为F R (r )。
最后，可以U 1用代替(1-Z )，令θ为2πU 2，其中U 1~U (0,1)，U
2~(0,1)，得:
X =R cos θ=
(2πU 2), Y =R sin θ=
(2πU 2)
从而，只需要有两个服从均匀分布的随机变量U 1, U 2，就能通过公式
X =R cos θ=
(2πU 2)
来得到一个服从正态分布的随机变量X 。用Box Muller方法来生成服从正态分布的随机数是十分快捷方便的。 五、Hasiting 有理逼近法
这是一种计算速度快，也能满足一定精度的算法。我们可以构造分布函数反函数的近似逼近公式，来产生标准正态分布的随机数。其计算公式为： x =
y -
a 0+a 1y +a 2y
21/2
2
3
1+b 1y +b 2y +b 3y
y =(-2ln r ) , r ~U (0, 1) ，系数为： 这里
a0 = 2.515517 b 1 = 1.432788 a1 = 0.802853 b 2 = 0.189269 a2 = 0.010328 b 3 = 0.001308 六、舍选法
1、基本思想：实质上是从许多RND 随机数中选出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数。
2、设随机变量X 的概率密度函数为f (x ) ，存在实数a
(3) 若r 2≤λf (y ) ，则令x=y；否则剔除 r 1和r 2, 重返步骤(2)，重复循环, 产生的随机数x 1，x 2，…，x N 的分布由概率函数 f (x ) 确定。 3、舍选法算法原理分析：
设P {a ＜Z ＜b }=1，Z 的概率密度为f (z ),
（1）选常数λ，使λf (z )≤1，z ∈(a ，b ) ；
（2）随机变量X 1，X 2相互独立X i ～U (0, 1),令Y 1=a +(b －a ) X 1～U(a, b); （3）若X 2≤λf (Y 1) ，则令X = Y 1，否则剔除X 1，X 2重复到(2)； 则随机变量X 的分布与Z 相同。
b
注： 若不满足条件：⎰f (x ) dx
a
=1,
b
1
可选取有限区间(a 1, b 1) ，使得 （ε是很小的正数） ⎰a f (x ) dx ≥1-ε
1
1例如，取 a 1=μ－3σ, b 1=μ＋3σ，有⎰a 2πσe
1
b 1
-
(
x -μ) 2
2dx >1-0. 003
在区间(a 1, b 1) 上应用舍选法, 不会出现较大的系统误差。 七、其他抽样方法：直接抽样法、变换抽样值序抽样 【参考文献】
【１】魏宗舒；概率论与数理统计［M ］。北京:高等教育出版社,1995 【２】马砚儒. 经验数学期望及性质［Ｊ］。内蒙古民族大学学报,2002 【３】程维虎，杨振海；舍选法几何解释及曲边梯形概率密度随机数生产算法［J ］。数理统计与管理，2006,25
【４】杨振海，程维虎．统计模拟［Ｊ］。数理统计与管理，２００６ 【５】杨自强, 魏公毅. 产生伪随机数的若干新方法. 数值计算机应用,2001 【6】王萍, 许海洋. 一种新的随机数组合发生器的研究 计算机技术与发展， 2006