动力学时程分析

研究生课程考核试卷

科 目： 教 师： 刘纲 姓 名： 赵鹏飞 学 号： [1**********] 专 业： 建筑与土木工程 类 别： 专业 上课时间： 2013年11月至2013年12月

考 生 成 绩：

阅卷评语：

阅卷教师 (签名)

重庆大学研究生院制

1 题目及要求

1、按规定设计一个2跨3层钢筋混凝土平面框架结构（部分要求如附件名单所示；未作规定部分自定）。根据所设计的结构参数，求该结构的一致质量矩阵、一致刚度矩阵；

2、至少采用两种方法求该框架结构的频率和振型；

3、输入地震波（地震波要求如附件名单所示），采用时程分析法，利用有限元软件或自编程序求出该框架结构各层的线性位移时程反应。

要求给出：

（1）框架结构图，并给出一致质量矩阵和一致刚度矩阵； （2）出两种方法名称及对应的频率和振型；

（3）输入地震波的波形图，计算所得各楼层位移反应时程图。

2 框架设计

2.1 初选截面尺寸

设计框架为3层2跨，跨度均为5.0 m，层高均为4.5m。梁、柱混凝土均采用C30，fc14.3N/mm2，Ec3.0104N/mm2，容重为

3

25kN/m。

估计梁、柱截面尺寸如下： （1）梁：

梁高hb一般取跨度的1/12-1/8，即417mm-625mm,故取梁高

hb=600mm；

梁宽一般为梁高的1/2-1/3，即200mm-300mm，取梁宽bb300mm； 所以梁的截面尺寸为：600mm ×300mm （2）柱：

框架柱的截面尺寸根据柱的轴压比限值，按下列公式计算： ①柱组合的轴压力设计值N.F.gE.n

其中：：考虑地震作用组合后柱轴压力增大系数； F：按简支状态计算柱的负荷面积；

gE：折算在单位建筑面积上的重力荷载代表值，可近似取

为12-14KN/m；

n：验算截面以上的楼层层数。 ②Ac

N

uNfc

其中：uN：框架柱轴压比限值；按二级抗震等级，查抗震规范地

uN0.75；

fc：混凝土轴心抗压强度设计值，混凝土采用fc14.3N/mm2。

经计算取柱截面尺寸为：600mm×600mm 该榀框架立面图如图2.1所示。

C30，

图2.1 框架立面图

2.2 框架几何刚度特征 （1）梁：

截面惯性矩：错误！未找到引用源。； 刚度： 错误！未找到引用源。； 假设板宽5m,厚100mm;

分布质量：错误！未找到引用源。。

（2）柱：

截面惯性矩：错误！未找到引用源。； 刚度： 错误！未找到引用源。； 分布质量：错误！未找到引用源。。

2.3 动力自由度

框架单元编号及动力自由度编号见图2.2所示：

图2.2 框架单元编号及自由度编号

框架结构可以理想化为在节点处相互连接的单元（梁和柱）的集合。设梁、柱的轴向变形均忽略不计，只考虑节点的转角和横向位移，则该框架有3个平动自由度和9个转角自由度，共12个自由度。

3一致质量矩阵、一致刚度矩阵

3.1 一致质量矩阵

均布质量梁的一致质量矩阵为：

5422L156

15613L54

4L242022L13L

213L22L3L

13L22L 23L

4L2

利用EXCEL表格工具计算质量系数及一致质量矩阵（计算过程见表格），可以得到结构的一致质量矩阵如下：（单位：kg

）

3.1.2 一致刚度矩阵

等截面梁的一致刚度矩阵为：

63L3L663L3L2EI6 3

22

LL3L3L2L

2

2L23L3LL

利用EXCEL表格工具计算刚度系数及一致刚度矩阵（计算过程见表格），

可以得到结构的一致刚度矩阵如下：（单位：kN/m）

4频率和振型

4.1简化的质量矩阵和刚度矩阵的计算

将结构质量集中到各层，此结构用层剪切模型简化为框架等效多

质点体系，如图4.1所示。

图4.1框架等效多质点体系

4.1.1计算简化的质量矩阵

由于结构的质量集中到各层，因此结构的质量矩阵为对角矩阵。质量

矩阵为：

错误！未找到引用源。kg 4.1.2计算简化的刚度矩阵

（1） 利用“D值法”计算柱的侧向刚度

各梁、柱构件的线刚度计算如下，其中在求梁截面的惯性矩时考虑现浇板的作用，取I2I0（I0为不考虑楼板翼缘作用的梁截面惯性矩）。 框架梁的线刚度为：

框架柱的线刚度为：

二三层柱的D值为：

边柱：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

中柱： 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

底层柱的D值为：

边柱：边柱：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

中柱： 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

从而得到各层的侧向刚度为：

（2）计算刚度矩阵

图4.2 刚度计算

刚度矩阵计算如图4.2所示，因此刚度矩阵为：

4.2频率和振型计算 4.2.1行列式方程法 结构的运动微分方程为：

CvKvp(t) …………………….（1） Mv

其中，M为结构质量矩阵；K为结构刚度矩阵；C为结构阻尼矩阵；

、、vvv分别为结构加速度、速度和位移；p(t)为作用荷载。

对于无阻尼自由振动，则矩阵方程（1）式可化为：

(Kw2M)v0 ………………………….（2）

实际上：一个结构体系的振动分析就是矩阵代数求特征值的问题，即求特征值和特征向量；而特征值就是频率的平方项，特征向量就是振型形式。

在MATLAB软件中，输入[x,w2]=eig(K,M);w=sqrt(w2)可得： 解得：

错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

解得振型为：

4.2.2 Rayleigh-Ritz法

体系的质量和刚度矩阵如上所示，根据行列式方程方法假定位移基矢量取为：

由此可得：

ˆ0并求此式的特征值问题，得将上述两式代入K*2M*Z



到错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

ˆ求得近似频率和振型：

根据nZ

n

频率近似值为：错误！未找到引用源。 振型近似值：

将上面振型进行处理可得，

将用Rayleigh-Ritz法就得的振型和频率与行列式法求得的精确的振型和频率比较可知，由于所取得位移基矢量与体系原本的振型相差不大，故Rayleigh-Ritz法给出了原系统的准确值。 4.2.3 Stodola法

（1）三层框架的第一振型分析

体系的柔度矩阵为：

根据体系的质量和刚度矩阵计算结构的动力矩阵D：

按式(1)Dv(0)进行迭代。

假设本题目中的三层框架的第一振型为v1(0)[1,1,1]T,则求第一振型的迭代过程如下：

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

由于相对性状是最重要的，所以在分析的各阶段中都没有考虑103这个系数。

所得最终的形状如v1(4)所示，对比行列式方程法所求结果已经精确到小数点后三位。

(s1)

vk

根据1(s)求第一振型频率可得，

k1

21

错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。 （2）三层框架的第二振型分析

第一振型淘汰矩阵的形式如下

(1TMs)1(1TMr)S1

I

这个结构的错误！未找到引用源。=[1, 0.7995, 0.4243]，Ms是质量矩阵的第一列：错误！未找到引用源。=[14711.25, 0, 0]。Mr表示质量矩阵剩下的各列：错误！未找到引用源。那么错误！未找到引用源。，故第一振型的淘汰矩阵为错误！未找到引用源。 第二振型的动力矩阵是错误！未找到引用源。

以下计算第二振型的方法与就算第一振型方法相同，采用同样的

(0)

格式。因为顶层位移v12由正交条件控制，显然这里的试探向量v2中

只需要包含vrTv22v32。直到vr的解收敛时，才需要计算v12值。

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

由于相对性状是最重要的，所以在分析的各阶段中都没有考虑

104这个系数。

(6)

所得最终的形状如v2所示，对比行列式方程法所求结果已经精

确到小数点后二位，精确度较第一振型差。

(s1)

v32

根据(s)求第二振型频率可得：

32

21

错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。=55.446 rad/s （3）三层框架的最高振型分析

根据体系的质量和刚度矩阵计算结构的动力矩阵的刚度形式是：

T

假设本题目中的三层框架的最高振型为v1(0)[1,1,1],则计算最高振型的迭代过程如下：

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

由于相对性状是最重要的，所以在分析的各阶段中都没有考虑错误！未找到引用源。这个系数。

所得最终的形状如v3(4)所示，对比行列式方程法所求结果已经精确到小数点后三位。

(s)23

根据(s1)求第三振型频率可得：

v23

23

错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。

6 框架线性动力时程分析

6.1反应分析方法

震波的原始记录时间间隔为0.02s，取时间段长度为0.001s。由于阻尼对结构的影响是很大的，在动力分析中结构阻尼是必须考虑在内的，是不可忽略的问题，阻尼机理非常复杂，它与结构周围介质的黏性，结构本身的粘性，内摩擦耗能，地基土的能量耗散等有关。通常结构采用Rayleigh 阻尼，即：

[c]=a[m]+a[k]

1

式中，a0为Alpha阻尼,也称质量阻尼系数；a1为Bata阻尼,也称刚度阻尼系数，这两个阻尼系数可通过振型阻尼比计算得到，即：

1

10.05120.740.0521

2

74.88



20.74

a0a 74.881



a01.62

0.001 a

1

式中，通常假设应用于两个控制频率的阻尼比相同，即xm=xn=x。m取多自由度体系的基频，n在动力反应中有显著贡献的高阶阵型中选取。

框架结构布置、梁柱截面尺寸、混凝土等级同第2节所述，利用SAP2000，采用时程分析法，求框架各层的线性位移时程反应。

6.2 SAP2000分析过程 （1） 设置材料参数

（2） 设置截面参数

（3） 对地震波的输入

（4） 分析工况设置

6.3 分析结果

（1）节点图如下图所示：

其中Joint4、3、2分别代表第三、二、一层节点

三层位移时程曲线如图5.3.1所示：

5.3.1 三层位移时程曲线

二层位移时程曲线如图5.3.2所示：

5.3.2 二层位移时程曲线

一层位移时程曲线如图5.3.3所示：

5.3.3 一层位移时程曲线

一致质量矩阵及一致刚度矩阵计算过程见附表