求通项公式方法总结

数列通项公式的求法详解

n 的关系. ） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）1, 2, 3

1245916

, 4, （3）1, 10172

, 31, 22

, （4）5

12, -, 2334

, -, 45

n

n 22

答案：（1）a n =10-1 （2）a n =n +2; （3）a n =; （4）

n +1n +1

a n =(-1) n +1⋅

n

. n +1

公式法1：特殊数列

例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1) 的等比

2

数列，若函数f (x ) = (x －1) ，且a 1 = f (d －1) ，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1) ，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

n －1n －1

答案：a n =a 1+(n －1) d = 2(n －1) ； bn =b ·q =4·(－2) 例3. 等差数列{a n }是递减数列，且a 2⋅a 3⋅a 4=48，a 2+a 3+a 4=12，则数列的通项公式是（ ）

(A) a n =2n -12 (B) a n (D)

例4. 已知等比数列{a n }的首项a 1=1，公比0

=2n +4 (C) a n =-2n +12 (D) a n =-2n +10

b n =a n +1+a n +2，求数列{b n }的通项公式.

简析：由题意，b n +1=a n +2+a n +3，又{a n }是等比数列，公比为q ∴

b n +1a n +2+a n +3

==q ，b n a n +1+a n +2

故数列{b n }是等比数列，易得b n =q (q +1) ⋅q n -1=q n (q +1) . 点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.

⎧s 1, n =1

a =公式法2： 知s n 利用公式 n ⎨.

S -S , n ≥2n -1⎩n

例5：已知下列两数列{a n }的前n 项和s n 的公式，求{a n }的通项公式. （1）S n =n 3+n -1. （2）s n =n -1

2

⎧02

a =a 答案：（1）n =3n -3n +2，（2）n ⎨

⎩2n -1

(n =1) (n ≥2)

点评：先分n=1和n ≥2两种

情况，然后验证能否统一.

【型如a n +1=a n +f (n ) 的地退关系递推关系】

简析：已知a 1=a , a n +1-a n =f (n ) ，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项a n .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. .答案：a n =n 2+5(n ∈N )

n

a n +1=a n +2，a 1=3，例6. 若在数列{a n }中，求通项a n .

答案：a n =2+

1

【 形如a n +1=f (n)·a n 型】

（1）当f(n)为常数，即：

n

a n +1

=q （其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，a n

a n =a 1⋅q n -1.

（2）当f(n)为n 的函数时, 用累乘法. 例8： 已知数列{a n }中，a 1=通项公式a n . .

例7：在数列｛a n ｝中，a 1 =1, (n+1)·a n +1=n·a n ，求a n 的表达式.

1

，前n 项和S n 与a n 的关系是 S n =n (2n -1) a n ，试求3

1

. 思考题1：已知a n +1=na n +n -1, a 1>-1,

(2n +1(2n -1)

求数列{a n }的通项公式. 分析：原式化为 a n +1+1=n (a n +1), 若令b n =

a n +1, 则问题进一

答案：a n =

步转化为b n +1=nb n 形式，累积得解. a n +1=ca n +d , (c ≠0, 其中a 1=a ) 型】 （1）若c=1时，数列{a n }为等差

数列; （2）若d=0时，数列{a n }为等比数列; （3）若c ≠1且d≠0时，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.

方法如下：设a n +1+λ=c (a n +λ) , 得a n +1=ca n +(c -1) λ, 与题设a n +1=ca n +d , 比较系数得λ=

d

, (c ≠0) ， c -1

所以：a n +

d ⎫d d d ⎧

为首项，以c 为公=c (a n -1+) , 即⎨a n +⎬构成以a 1+

c -1⎭c -1c -1c -1⎩

比的等比数列.

例9：已知数{a n }的递推关系为a n +1=2a n +1，且a 1=1求通项a n . 答案：a n =2-1

例10：在数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，a n +2=

n

21

a n +1+a n ，求a n . 提示：变为33

1

a n +2-a n +1=-(a n +1-a n ) .

3

倒数为特殊数列【形如a n =

pa n -1

】

ra n -1+s

a n

（n ∈N ），求数列的通项公式. ，

a n +1

例11： 已知数列｛a n ｝中a 1=1且a n +1=

答案 a n =

11

=

b n n

例12：设数列{c n }的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n

解析：设c n =a +(n -1) d +bq

n -1

建立方程组，解得.

点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列{a n }为等差数列：则a n =bn +c ，s n =bn +cn （b 、ｃ为常数），若数列{a n }为等比数列，则a n =Aq

n -1

2

，s n =Aq -A

n

(Aq ≠0, q ≠1) .

例13：数列{a n }满足a 1=0, 且a 1+a 2+ +a n -1+a n =2(n -1) , 求数列{a n }的通项公式.

解析：由题得 a 1+a 2+ +a n -1+a n =2(n -1) ① n ≥2时，

a 1+a 2+ +a n -1=2(n -2) ②

由①、②得a n =⎨求数列{a n }的通项公式

⎧0, n =12

. （2）数列{a n }满足a 1=1, 且a 1⋅a 2 a n -1⋅a n =n ,

⎩2, n ≥2

3(n +1) 2

，a 1=5，求数列{a n }的通项公式。 例14 已知数列{a n }满足a n +1=a n

n

3(n +1) 2

a =a n +1n 解：因为，所以

n

3n ⋅2

a n =a n -1

n -1

3(n -1) ⋅2

=[a n ]3n ⋅2-2

n -2n -1

n -3

2

3(n -1) ⋅n ⋅2

=a n -2

2(n -2) +(n -1)

3(n -2) ⋅2

=[a n ]3-3

(n -1) ⋅n ⋅2(n -2) +(n -1)

=a

33(n -2)(n -1) n ⋅2(n -3) +(n -2) +(n -1)

n -3

n (n -1)

n -1

=a

3n -1⋅2⋅3 (n -2) ⋅(n -1) ⋅n ⋅21+2+ +(n -3) +(n -2) +(n -1) 1

=a 13

⋅n ! ⋅2

2

n (n -1)

n -1

3

{a n }a =5a =5n 1又，所以数列的通项公式为

⋅n ! ⋅2

2

。

大显身手（练一练）

，1

的一个通项公式是（ ）

A

、a n = B

、a n = C

、a n = D

、a n =2．已知等差数列{a n }的通项公式为a n =3-2n , 则它的公差为（ ） A 、2 B 、3 C 、 -2 D 、-3 3．在等比数列{a n }中, a 1=-16, a 4=8, 则a 7=（ ）

A 、-4 B 、±4 C 、-2 D 、±2

4．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ． 2

5．一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ） A ．83 B ．108 C ．75 D ．63

6．等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6+a 4a 7=18, 则log 3a 1+log 3a 2+ +log 3a 10=（ ）

A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+log 35

7．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y =x -2x +3的顶点是(b ，c ) ，则ad 等于（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-2

8．已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2-1，则a 1+a 2+ +a n 等于（ ）

n n n

A ．(2-1) B ．(2-1) C ．4-1 D ．(4-1)

n

2

n

2

2

2

2

1313

4．若等比数列{a n }的前项和为S n ，且S 10=10，S 20=30，则S 30= 5．已知数列{a n }通项公式a n =n -10n +3，则该数列的最小的一个数是

2

6．在数列{a n }中，a 1=于 ．

⎧1⎫na n 1

且a n +1=n ∈N *)，则数列⎨⎬的前99项和等(n +1-a n 2⎩a n ⎭

111

) ＝ n

242

47103n +10

12．设f (n ) =2+2+2+2+ +2(n ∈N ) ，则f (n ) ．

11．(1+) +(2+) + +(n +

，2，3， ) ，则此数列的通项公式为13．若数列{a n }的前n 项和S n =n -10n (n =1

2

7．已知{a n }是等差数列，其中a 1=31，公差d =-8。 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）数列{a n }从哪一项开始小于0？

（3）求数列{a n }前n 项和的最大值，并求出对应n 的值． 8．已知数列{a n }的前项和为S n =n +3n +1，

2

（1）求a 1、a 2、a 3的值； （2）求通项公式a n 。

9．等差数列{a n }中，前三项分别为x , 2x , 5x -4，前n 项和为S n ，且S k =2550。 （1）、求x 和k 的值； （2）、求T n =

1111

+++ +; S 1S 2S 3S n

(3)、证明: T n