2016朝阳初三二模数学试题及答案

北京市朝阳区九年级综合练习（二）

数 学 试 卷 2016.6

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．2015年6月国家主席习大大和比利时国王菲利普，在人民大会堂共同见证了两国公司在 集成电路方面进行合作研发的签约仪式，两国将共同着力研发14纳米量产技术，这标志 着我国芯片制造能力将进入国际顶尖水平．14纳米为0.000 000 014米，将0.000 000 014 用科学记数法表示应为

A ．0.14⨯10 B ．1.4⨯10 C ．0.014⨯10 D ．14⨯10 2．如图，在单位长度为1的数轴上，点A 、B 表示的两个数互为相反数，那么点A 表示的 数是

A ．2 B ．-2 C ． 3 D ．-3 3．在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱，人们会用这些图案来装饰生活，祈求平安． 比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，不是中心 ．．． 对称图形的为

-7

-8

-6

-9

A B C D

4．一个袋子中只装有黑、白两种颜色的球，这些球的形状、质地等完全相同，其中白色球有2个， 黑色球有n 个．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子 中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n 的值为 A ．2

B ．3 C ．4 D ．5

5．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF

的半径是， 则这个正六边形的周长是

A

． B ．12 cm C

．

D ．36 cm

第5题图

第6题图

第7题图

6．某篮球队12名队员的年龄统计如图所示，则该队队员年龄的众数和中位数分别是

A ．16，15 B ．15，15.5 C ．15，17 D ．15，16 7．一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图所示，搜救船位于图中 圆心O 处，事故船位于距O 点40海里的A 处，雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船 ．．． 的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式中正确的为

A ．事故船在搜救船的北偏东60°方向 B ．事故船在搜救船的北偏东30°方向 C ．事故船在搜救船的北偏西60°方向 D ．事故船在搜救船的南偏东30°方向

8．现有A 、B 两种商品，买3件A 商品和2件B 商品用了160元，买2件A 商品和3件B 商品用 了190元．如果准备购买A 、B 两种商品共10件，下列方案中费用最低的为 A ．A 商品7件和B 商品3件 B ．A 商品6件和B 商品4件 C ．A 商品5件和B 商品5件 D ．A 商品4件和B 商品6件

9．把图1所示的正方体的展开图围成正方体（文字露在外面），再将这个正方体按照图2，依次 翻滚到第1格，第2格，第 3格，第4格，此时正方体朝上一面的文字为 ．．

A ．富 B ．强 C ．文 D ．民

图2 第10题图 第9题图

10．如图，∆ABC 为等边三角形，点O 在过点A 且平行于BC 的直线上运动，以∆A B C 的高为半

图1

径的⊙O 分别交线段AB 、AC 于点E 、F ，则

所对的圆周角的度数

A ．从0︒到30︒变化 B ．从30︒到60︒变化 C ．总等于30︒ D ．总等于60︒

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：3a -12=________． 12．函数y =2x +

2

1

的自变量x 的取值范围是________． x +1

13．请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点（0，2）的抛物线的表达式，y =________． 14．将一元二次方程x -6x +5=0化成(x -a ) 2=b 的形式，

则ab =________．

15．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，

若OB 的长为10，sin ∠BOD =

2

4

， 则AB 的长为________． 5

16．在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1=2”的结论．

大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是________ （填入编号），造成错误的原因是________．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17

|-5|-() -1-2tan60︒．

12

⎧2x +y =1，

18．解方程组⎨

⎩x -y =2．

19．已知a 2-2a -2=0，求代数式

2a -1

÷的值． a 2-1a +1

20．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90º，AD 是BC 边上的中线， ED ⊥BC 于D ，交BA 延长

线于点E ，若∠E =35°，

E

求∠BDA 的度数．

B

21．每年的4月23日，是“世界读书日”．据统计，“幸福家园小区”1号楼的住户一年内共阅

读纸质图书460本，2号楼的住户一年内共阅读纸质图书184本，1号楼住户的人数比2号楼住户人数的2倍多20人，且两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量相同．求这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量是多少本？

22．如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B = 90º， F 为DC 上一点，且FC

= AB ，E 为AD 上一点，EC 交AF 于点G ． （1）求证：四边形ABCF 是矩形； （2）若ED = EC ，求证：EA = EG ．

23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =

4

的图象 x

与正比例函数y =kx 的图象的一个交点为M （1，b ）． （1）求正比例函数y =kx 的表达式；

（2）若点N 在直线OM 上，且满足MN=2OM ， 直接写出点N 的坐标．

24．如图，O 是∠MAN 的边AN 上一点，以OA 为半径作⊙O ，交∠MAN 的平分线于点D ，

DE ⊥AM 于E ．

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；

（2）连接OE ，若∠EDA =30º，AE =1，求OE 的长．

25．为弘扬中国传统文化，2016年4月30日“北京戏曲文化周”在北京园博园开始举行，活动

期间开展了丰富多样的戏曲文化互动体验活动，同时也推出了好戏连台园博看大戏的活动，主办方统计了前几天观看戏剧情况的部分相关数据，绘制统计图表如下：

图1

（1）m =_______；

（2）若5月3日当天看豫剧的人数为93人，请你补全图1；

（3）请你根据前四天接待观众人数，估计“北京戏曲文化周”活动在5月4日接待观众约为 ________人．5月4日的戏曲活动，分别演出 “京剧”、“北京曲剧”、“沪剧”、

“秦腔”、“粤剧”． 通过对100名观众的调查发现， 有12人喜欢“沪剧”，5人喜 欢“秦腔”，8人喜欢“粤剧”．主办方希望把“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”三种戏 剧安排到以下五个园（如下表）中的三个园进行演出．请你结合下表为这三种戏剧选择 合适的演出地点，并说明理由．

前四天每天接待的观众人数统计图

5月3日观看各种戏剧人数分布统计图

图2

26．（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =

1

x +3与抛物线y = x 2相交于点A 、B ， 2

与x 轴交于点C ，A 点横坐标为x 1，B 点横坐标为x 2（x 1

111

+与的值，并判断它们的数量关系． x 1x 2x 3

（2

条件中选择一组，证明．．．．

111

+与仍具有（1）中的数量关系． x 1x 2x 3

①如图，∠APC =120º，PB 平分∠APC ，直线l 与P A 、PB 、PC 分别交于点A 、B 、C ， P A =x 1，PC =x 2，PB =x 3．

A

C

P

l

②如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A (x 1，0) 、B (0，x 2) 作直线l ，与直线y =x 交于 点C ，点C 横坐标为x 3．

y x 2

B

A

x 3

x 1

l

27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =-2x 2+(m +9) x -6的对称轴是x =2．

（1）求抛物线表达式和顶点坐标；

（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标； （3）抛物线y =-2x 2+(m +9) x -6与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的

对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ） 记 为图象M ．将直线y =2x -2向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．

28．在∆ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点O ，且∠DC B =∠EBC =

（1）如图1，若AB =AC ，则BD 与CE 的数量关系是______________；

1

∠A ．2

（2）如图2，若AB ≠AC ，请你补全图2，思考BD 与CE 是否仍然具有（1）中的数量关系， 并说明理由；

（3）如图3，∠BDC =105︒，BD = 3，且BE 平分∠ABC ，请写出求BE 长的思路． （不用写出计算结果）

图1

图2

图3

29．P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把PA ⋅PB 的值称为点P 关于⊙O 的

“幂值”．

（1）⊙O 的半径为5，OP = 3．

①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为________； ②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围．

（2）若⊙O 的半径为r ，OP = d ，请参考（1）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围________；

（3）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为4，

若在直线y =

x +b 上存在点P ，使得 点P 关于⊙O 的“幂值”为13，请写出b 的取值范围________．

北京市朝阳区九年级综合练习（二）

数学试卷评分标准及参考答案 2016.6

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分， 第29题8分）

17．解：原式=5-2- …………………………………………………………4分 =3．…………………………………………………………………5

分

⎧2x +y =1, ①

18．解：⎨

x -y =2. ② ⎩

①+②，得3x =3，

x =1．………………………………………………………2分 把x =1代入②，得1-y =2，

y =-1．……………………………………………………4 所以这个方程组的解是⎨19．解：原式= =

分

⎧x =1,

…………………………………………………5分

⎩y =-1.

a +1

……………………………………………………1分

a +1a -1a -1

⋅

2

2

2

(a -1)

……………………………………………………………………3分

=

2

．

a 2-2a +1

2

∵a -2a -2=0，

∴a -2a =2．……………………………………………………………4分 ∴ 原式=

2

2

．………………………………………………………………5分 3

20．解：∵ED ⊥BC ，∠E =35︒，

∴∠B =55︒． …………………………………………1分

∵在Rt △ABC 中，∠BAC = 90º，AD 是BC 边上的中线， ∴AD =BD ． …………………………………………3分

∴∠BAD =∠B =55︒ ．………………………………4分

E B

∴∠BDA =70︒．…………………………………………………………………5分

21．解：设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为x 本．……………………1分 由题意，得

4602⨯184

=+20． …………………………………………3分 x x

解得 x =4.6． ……………………………………………………4分 经检验，x =4.6是原方程的解，且符合题意．……………………………5分 答：这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为4.6本． 22．证明：（1）∵AB ∥DC ，FC=AB，

∴四边形A B C F 是平行四边形．…………………………………………1分

∵∠B =90︒，

∴四边形A B C F 是矩形．…………………………………………………2分

（2）由（1）可得，∠AFC =90︒，

∴∠DAF =90︒-∠D ，∠CGF =90︒-∠ECD ． ………………3分 ∵ED =EC ，

∴∠D =∠ECD ．…………………………4分 ∴∠DAF =∠CGF ．

∵∠EGA =∠CGF ， ∴∠EAG =∠EGA ．

∴EA =EG ．………………………………………………………5分 23．解：（1）∵双曲线y =

4

过点M （1，b ）， x

∴b =4．……………………………………………………………………1分 ∵正比例函数y =kx 的图象过点M （1，4），

∴k =4．……………………………………………………………………2分 ∴正比例函数的表达式为y =4x ．………………………………………3分 （2）（-1，-4），（3，12）． …………………………………………………5分

24．（1）证明：连接OD ．

∵AD 平分∠MAN ， ∴∠EAD =∠OAD ． ∵OA =OD ， ∴∠ODA =∠OAD ．

∴∠EAD =∠ODA ．……………………………1分 ∵DE ⊥AM 于E ， ∴∠AED =90︒． ∴∠EAD +∠EDA =90︒， ∴∠ODA +∠EDA =90︒．

∴OD ⊥ED ．

∴DE 是⊙O 的切线． ………………2分 （2）解：∵∠EDA =30︒，

∴∠ODA =60︒． ∵OA =OD ，

∴△ADO 为等边三角形．…………………………………………………3分

在Rt △AED 中，AE =1，可得AD =

2，ED =．………………4分 ∴OD =AD =2．

在Rt △ODE 中，由勾股定理可

得OE ． ………………………5分

25．解：（1）41． ……………………………………………………………………… ……1分 （2）补全图1，如图所示． ……………………………………………… ………2分

前四天每天接待的观众人数统计图

图1

（3）801； ………………………………………………………………3分

答：预计观看“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”的人数分别约为96、40、64，…………4分

所以演出应分别安排在江苏园、福建园、岭南园．………………………………5分

11

26．（1）解： 由题意可得x = ∵x 1

2

1

x +3． 2

3

，x 2=2． …………………………………………………1分 2111

∴+=-．

x 1x 26

1

∵直线y =x +3与x 轴交于点C ，C 点横坐标为x 3，

2

∴x 3=-6．………………………………………………………………2分

11

∴=-．

x 36111

∴．…………………………………………………………3分 +=

x 1x 2x 3

∴x 1=-

（2）①证明：如图，过点B 作BE ∥PA 交PC 于点E ．

∴△BEC ∽△APC ．…………………………………………………4分 由PB 平分∠APC ，∠APC =120︒，可得△PBE 是等边三角形．

∴BE =PE =PB =x 3．

∴EC =x 2-x 3．

BE EC

=， AP PC x x -x 3

∴3=2．

x 1x 2

∴x 2x 3+x 1x 3=x 1x 2． l

111

∴．…………………………………………………………5分 +=

x 1x 2x 3

∵

②解：过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，CE ⊥y 轴于点E ．

∵点C 在直线y =x 上，且横坐标为x 3， ∴点C (x 3，x 3) ．

∴CE =CD =x 3．……………………………4分 ∵S ∆BOC +S ∆AOC =S ∆AOB ，

y x 2E B

A 3x 1

x

111

∴x 2x 3+x 1x 3=x 1x 2． 222

∴

l

111

+=．…………………………………………………………5分 x 1x 2x 3

12

27．解：（1）∵抛物线y =-2x 2+(m +9)x -6的对称轴是x =2，

m +9

=2．

2⨯(-2)

∴m =-1． ……………………………………………………………1分

∴-

2

∴抛物线的表达式为y =-2x +8x -6．…………………………………2分

∴y =-2(x -2) 2+2．

∴顶点坐标为（2，2）．………………………………………………3分 （2）由题意得，平移后抛物线表达式为 y =-2(x -3)+2……………………4分 ∵-2(x -2)=-2(x -3)，

2

2

2

5

． 253

∴A （，）．………………………5分

227

（3）0

2

28．（1）BD =CE ；………………………………………1分

∴x =

（2）补全图形．………………………………………2分

证明：如图2，在BE 上截取BF =CD ，连接CF ．

∵∠DCB =∠EBC =

1

∠A ， 2

∴△DCB ≌△FBC ．………………………3分 ∴BD =CF ，∠FCB =∠DBC ．

图

2 ∴∠CFE =∠FBC +∠FCB =2∠FBC +∠ABE ．

∵∠CEF =∠A +∠ABE ．

∴∠CFE =∠CEF ．………………………………………………………4分 ∴CF =CE ．

∴BD =CE ．………………………………………………………5分

A

（3）求解思路如下：

a ．如图3，过点E 作EM ⊥BC 于M ； b ．由BE 平分∠ABC ，可得∠ABC =∠A ； c ．由∠BDC =105︒，可得∠EBC =25︒，

B

D

E

图3

∠A =50︒，∠ACB =80︒；………………………………………………………6分 d ．由（2）知CE =BD =3，在Rt △CEM 中，可求EM 的长度；

M

C

e ．在Rt △BEM 中，由∠EBM 的度数和的EM 的长度，可求BE 的长度．…7分

13

29．（1）①16．………………………………………………………………………………1分

②当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”为定值．………………2分 证明：如图，AB 为⊙O 中过点P 的任意一条弦，且不与OP 垂直． 过点P 作⊙O 的弦A ' B ' ⊥OP ，连接AA ' 、BB ' ． ∵在⊙O 中，∠AA ' P =∠B ' BP ，∠APA ' =∠BPB ' ，

∴△APA ' ∽△B ' P B ．…………………………………………………3分

∴

PA PA '

=． PB ' PB

∴PA ⋅PB =PA ' ⋅PB ' ．…………………………4分

∵OP ⊥A ' B ' ，OP =3，⊙O 半径为5． ∴A ' P =B ' P =4．

∴PA ⋅PB =16．…………………………………………………………5分 ∴当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”为定值．

（2）r -d ． …………………………………………………………………………6分 （3）-2≤b ≤2． …………………………………………………………………8分

说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.

2

2

14