转动惯量的计算

说明：本文《转动惯量的计算》特地收集贡献出来供各位工程技术人员在参阅本人劣作《风机动平衡调试方法》时参考。 深圳华晶玻璃瓶有限公司工程部（动力车间）李宜斌 编辑

2010-10-21

转动惯量的计算

转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

单个质点的转动惯量： I = m× r2.

质点系的转动惯量： I = Σ mi×ri2.

质量连续分布的刚体的转动惯量：I = ∫m r2dm。以上各式中的r理解为质点到转轴的距离。

刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为J=∑ mi*ri^2，

式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。求和号（或积分号）遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。

垂直轴定理：一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。表达式:Iz=Ix+Iy

刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离 ，称为刚体绕该轴的回转半径κ，转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。

刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：

先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。 E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方）

把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r) ，得到E=(1/2)m(wr)^2

由于某一物体在运动中的属性m和r都是不变的，所以把关于m、r用一个变量K代替, K=mr^2 ,得 E=(1/2)Kw^2 .K就是转动惯量。

分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。

为什么变换一下公式就可以从能量角度分析转动问题呢？

1、E=(1/2)Kw^2本身代表研究对象的运动能量

2、之所以用E=(1/2)mv^2不好分析转动物体的问题，是因为其中不包含转动物体的任何转动信息。

3、E=(1/2)mv^2除了不包含转动信息，而且还不包含体现局部运动的信息，因为里面的速度v只代表那个物体的质心运动情况。

4、E=(1/2)Kw^2之所以利于分析，是因为包含了一个物体的所有转动信息，因为转动惯量K=mr^2本身就是一种积分得到的数，更细一些讲就是综合了转动物体的转动不变的信息的等效结果K=∑ mr^2 。所以，就是因为发现了转动惯量，从能量的角度分析转动问题，就有了价值。

补充转动惯量的计算公式：

转动惯量和质量一样，是回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性，用字母J表示。

对于杆：当回转轴过杆的中点并垂直于轴时；J=mL^2/12。其中m是杆的质量，L是杆的长度。

当回转轴过杆的端点并垂直于轴时：J=mL^2/3。其中m是杆的质量，L是杆的长度。

对于圆柱体：当回转轴是圆柱体轴线时；J=mr^2/2，其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。

转动惯量定理：

M=Jβ。其中M是扭转力矩, J是转动惯量，β是角加速度

例题：已知：一个直径是80的轴，长度为500，材料是钢材。计算一下，当在0.1秒内使它达到500转/分的速度时所需要的力矩？

分析：知道轴的直径和长度，以及材料，我们可以查到钢材的密度，进而计算出这个轴的质量m，由公式ρ=m/v可以推出m=ρv=ρπr^2L.

根据在0.1秒达到500转/分的角速度，我们可以算出轴的角加速度β=△ω/△t=500转/分/0.1s

电机轴我们可以认为是圆柱体过轴线，所以J=mr^2/2。

所以M=Jβ =mr^2/2△ω/△t

=ρπr^2hr^2/2△ω/△t

=7.8*10^3 *3.14* 0.04^2 * 0.5 * 0.04^2 /2 * 500/60/0.1

=1.[**************]8kg/m^2.

刚体转动惯量：

转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量，它与刚体的质量、质量相对于转轴的分布有关。

决定转动惯量的因素：

转动惯量 J = ∑mi ri2 或 J=∫r2 dm 是物体转动惯性大小的量度，它的大小由物体的质量、质量分布和转轴的位置三个因素来决定。

请看下面的实例：

1.匀质直杆对垂直于杆的转轴的转动惯量 (杆长为l ，质量为M)

1) 垂直于杆的轴通过杆的中心O ： J1=M l^2

2) 垂直于杆的轴通过杆的端点O1 ： J2=M l^2

3) 垂直于杆的轴通过杆的1/4处O2 ：J3=M l^2

2.匀质圆盘的转动惯量 (圆盘质量为M，半径为R)

1) 对通过盘心垂直盘面的转轴 J1=MR^2

2) 对通过直径的轴 J2=MR^2

3.挂钟摆锤的转动惯量 ( 杆长为l ，质量为m1；摆锤半径为R，质量为m2)

4.挂在光滑钉子上的匀质圆环摆动的转动惯量 (圆环质量为m，半径为R)

J=mR^2 + mR^2 =2mR^2

通过上面几个实例请读者体会：

(1) 刚体的转动惯量是由质量、质量分布、转轴位置三个因素决定的。

(2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡是提到转动惯量，必须指明它是对哪个轴的才有意义。 转动平衡

一个有固定转动轴的物体~在力的作用下~如果保持静止(或匀速直线运动)状态~我们称这个物体处于转动平衡状态!

转动平衡，指在一个转动轴上收到几个力的同时作用下转动轴处于静止状态或匀速转动，此时各力的力矩代数和为零。即∑M=0。

力矩平衡

如果一个物体所受到的力的合力矩的代数和是0，那么就说这个物体处于力矩平衡状态

动力臂长*动力=阻力臂长*阻力 此时为力矩平衡状态 。这个公式可利用与天平，翘翘板，杠杆原理等应用计算

1.力矩

（1）力臂(L)：转动轴到力的作用线的垂直距离；

（2）力矩（M）：M=F×L，单位是牛/米；

（3）力矩描述力对物体产生的转动效果；

（4）力矩是矢量，中学里只考虑顺时针和逆时针两种方向。通常规定逆时针力矩为正，顺时针力矩为负。

2.有固定转动轴的物体的平衡条件 ]

（1）有固定转动轴的物体的平衡是指物体静止，或绕转轴匀速转动；

（2）有固定转动轴物体的平衡条件是合力矩为零，即∑Fx=0，也就是顺时针力矩之和等于逆时针力矩之和。

3.物体的一般平衡条件

合力为零，和力矩同时为零，即∑Fx=0，∑Fy=0，∑M=0。

4.顺时针力矩和逆时针力矩的判断 ]

在列力矩方程的时候，确定哪些力产生的是顺时针力矩，哪些力产生的是逆时针力矩很重要。可以将力的作用点与转动轴相连，并将力沿连线方向和垂直连线方向分解，然后判断此力产生的力矩方向。

刚体定轴转动定律 （law of rotation）

定义 ：刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。公式 Mz=Jβ

其中Mz表示对于某定轴的合外力矩，J表示刚体绕给定轴的转动惯量，β表示角加速度

注意点 定轴转动定律是合外力矩对归纳刚体的瞬时作用规律，公式中各量均需是同一时刻对同一刚体、同一转体而言，否则是没有意义的。在定轴转动中，由于合外力矩Mz和角加速度β的方向均在转轴方位，通常用代数量表示

角动量守恒

角动量守恒,又称角动量守恒定律 是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不变。 dL/dt=r×F当方程右边力矩为零时，可知角动量不随时间变化。 角动量守恒定律是自然界普遍存在的基本定律之一，角动量的守恒实质上对应着空间旋转不变性。

根据刚体定轴转动的角动量定理,若刚体绕定轴转动时所受的合外力矩为零,即在刚体作定轴转动时,如果它所受外力对轴的合外力为零(或不受外力矩作用),则刚体对同轴的角动量保持不变.这就是刚体定轴转动的角动量守恒定律.

此原理多用于天文学,天体运行时自转不变.

注解:（1）单个刚体对定轴的转动惯量I保持不变，若所受外力对同轴的合外力矩M为零，则该刚体对同轴的角动量是守恒的，即任一时刻的角动量 应等于初始时刻的角动量 ，亦即 ,因而 。这时，物体绕定轴作匀角速转动。

（2）当物体绕定轴转动时，如果它对轴的转动惯量是可变的，则在满足角动量守恒的条件下，物体的角速度随转动惯量I的改变而变，但两者之乘积却保持不变，因而当I变大时，变小；I变小时，变大。如芭蕾舞演员表演时就是这样。

（3）人手持哑铃在转台上的自由转动属于系统绕定轴转动的角动量守恒定律的特例。因为人，转台和一对哑铃的重力以及地面对转台的支承力皆平行于转轴，不产生力矩，M=0，故系统的角动量应始终保持不变。