工程力学 习题 第二部分 附答案
第 3 章 汇交力系
第3章
汇交力系
3-1 填空题: 3-1(1) 平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形_
_ 。
3-1(2) 平面汇交力系合成的结果是一个__ _______。合力的大小和方向等于原力系中
各力的___ __。 表示力系中所有的力在__ ___轴上的投影的____ ___为零。
3-1(3)
∑X =0
3-2 选择题: 3-2(1) 力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系称
A:空间汇交 B:空间一般 C:平面汇交
力系。 D:平面一般 力系。 D:平面一般
3-2(2) 力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系称
A:空间汇交 B:空间一般 C:平面汇交
3-2(3) (a) 、(b)两图代表平面汇交力系的两个力多边形,其中哪一个图代表平衡力系,
哪一个图中的哪一个力代表合力。有以下四种说法,正确的应是
F1 F4 图a F2 F3
。
F1 F4
F2 F3
图b
A. 图(a)的F4为合力,图(b)为平衡力系 B. 图(a) 、图(b)都是平衡力系 C. 图(a) 、图(b)都不是平衡力系 D. 图(a)是平衡力系,图(b)的F4是合力
3-2(4) 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的
A:合力 B:合力偶 C:主矢
为零。
D:主矢和主矩
3-3 是非判断题:
二个力在坐标轴上投影相等,则二个力一定相等。 ) ( 力沿作用线移动,力对点之矩不变。 ) (
-1-
工程力学习题
3-4 各力的作用线共面的力系成为平面力系。试讨论平面力系的简化结果。 3-5 大小均等于 FP 的四个力作用于边长为 a 的正方形的四条边上,如图所示。该力系是
否为一平衡力系?若不是,试求其简化结果。
3-6
考虑一小型砌石坝的 1m 长坝段, 将所受的重力和静水压力简化到中央对称平面内,
F 如图所示。 已知 h = 8m , = 1.5m , = 1m , a b 得到重力 F1 、 2 和三角形分布的静水压力, F1 = 594kN , F2 = 297 kN 。单位体积的水重 γ = 9.8kN ⋅ m -3 。试将重力和水压力向坐
标原点 O 简化,然后再求简化的最后结果。
3-7
如上右图所示,已知 OA = OB = a , OC =
3a ,力 F1 、 F2 和 F3 的大小相等。
试证明该力系可简化为一合力。
3-8 三棱柱的高为 b ,底面为等腰直角三角形,直角边长也为 b 。力 F1 作用于 A 点, 力 F2 和 F3 作用于 O 点,方向如图示,且有 F1 = F2 = F3 = FP
-2-
第 3 章 汇交力系
3-9 底面为正方形的长方体棱边上作用有 8 个大小均等于 FP 的力,如上右图所示。试
求该力系的简化结果。
3-10 求下列平面图形的形心位置(图中长度单位为 mm )
3-11 均质平面薄板由正弦曲线与 x 轴的一段所围成,如图所示。求板的中心位置。
-3-
工程力学习题
3-12 在长半轴为 3r 、短半轴为
如图所示。求板的重心的位置。
7r 的椭圆形均质平面薄板上挖了一个半径为 r 的圆 , 3
3-13 将上右图示均质梯形薄板 ABCD 在点 C 挂起, AD = a 。 设 欲使 AD 边保持水平, BC 应等于多少。 3-14 在图示变长为 a 的均质正方形薄板 ABCD 中挖去等腰三角形 EAB ,试求 E 点 y 坐 标的最大值 ymax ,使剩余薄板的重心仍在板内。
3-15
求上右图示均质混凝土基础重心的位置(图中长度单位为 m )
-4-
第 3 章 汇交力系
第3章
汇交力系
3-1 填空题: 3-1(1) 平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形__自行封闭_____。 3-1(2) 平面汇交力系合成的结果是一个__ 合力_______。合力的大小和方向等于原力
系中各力的___矢量和__。
3-1(3)
∑X =0
表示力系中所有的力在__ x ___轴上的投影的____代数和___为零。
3-2 选择题: 3-2(1) 力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系称
A:空间汇交 B:空间一般 C:平面汇交
C
力系。 D:平面一般
3-2(2) 力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系称
A:空间汇交 B:空间一般 C:平面汇交
C
力系。 D:平面一般
3-2(3) (a) 、(b)两图代表平面汇交力系的两个力多边形,其中哪一个图代表平衡力系,
哪一个图中的哪一个力代表合力。有以下四种说法,正确的应是
F1 F4 图a F2 F3
D
。
F1 F4
F2 F3
图b
A. 图(a)的F4为合力,图(b)为平衡力系 B. 图(a) 、图(b)都是平衡力系 C. 图(a) 、图(b)都不是平衡力系 D. 图(a)是平衡力系,图(b)的F4是合力
3-2(4) 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的
A:合力 B:合力偶 C:主矢
A
为零。
D:主矢和主矩
3-3 是非判断题:
二个力在坐标轴上投影相等,则二个力一定相等。 (×) 力沿作用线移动,力对点之矩不变。 (√)
-1-
工程力学习题解答
3-4 各力的作用线共面的力系成为平面力系。试讨论平面力系的简化结果。 ′ 解:在力系平面内任取简化中心 O ,该力系的主矢为 FR ,主矩为 M O 。根据主矢和主矩
的关系,简化结果可分为四种情况: ′ 1). FR = 0 , M O = 0 ,原平面力系是平衡力系;
′ 2). FR = 0 , M O ≠ 0 ,原平面力系是力偶,简化结果与简化中心的位置无关 ′ 3). FR ≠ 0 , M O = 0 ,原平面力系简化成通过简化中心 O 的合力。 ′ 4). FR ≠ 0 , M O ≠ 0 ,原平面力系可简化成一个合力。由于 O 位于力系平面内,
′ 因此必有 FR ⋅ M O = 0 。在这种情况下,合力作用线距简化中心 O 的距离
d=
MO ′ FR
并且逆着主矩方向看回去,合力作用线在简化中心右边。
3-5 大小均等于 FP 的四个力作用于边长为 a 的正方形的四条边上,如图所示。该力系是
否为一平衡力系?若不是,试求其简化结果。
解:取正方形的左下角 O 为简化中心,则 ′ 主矢: FR = 0 主矩: M O = −2 FP a 因此,该力系不是平衡力系。简化结果为一顺时针力偶,力偶矩大小为 2 FP a 。 考虑一小型砌石坝的 1m 长坝段,将所受的
3-6
重力和静水压力简化到中央对称平面内,得到重 力 F1 、 F2 和三角形分布的静水压力,如图所示。
a b F 已知 h = 8m , = 1.5m , = 1m , 1 = 594kN ,
F2 = 297 kN 。单位体积的水重 γ = 9.8kN ⋅ m -3 。
试将重力和水压力向坐标原点 O 简化,然后再求 简化的最后结果。 解: q = γh × 1m = 78.4 kN m
M O ( F1 ) = F1a = 891kN ⋅ m
-2-
第 3 章 汇交力系
M O ( F2 ) = − F2b = −297kN ⋅ m 1 水压力主矢大小: qh = 313.6kN ,方向水平向右 2 1 h 水压力对 O 点主矩: − qh × = −836.3kN ⋅ m 2 3
因此,力系主矢:
′ FR = (313.6i − 891 j ) kN = 945(0.332i − 0.943 j ) kN 力系对 O 点主矩: M O = −243.3kN ⋅ m
合力作用线距离 O 点: d =
MO = 0.256m 。 ′ FR ′ 即:合力的大小与方向与主矢 FR 相同,作用线与 O 距离 0.256m ,在 O 点上方。
如图所示, 已知 OA = OB = a , OC =
3-7
3a , F1 、 力
F2 和 F3 的大小相等。试证明该力系可简化为一合力。
解:力系有合力的条件是主矢不为零,且主矢和主矩的标 积为零。
2 2 i+ j) ; 2 2 1 3 F2 的矢量为: FP (− j + k) ; 2 2 1 3 F3 的矢量为: FP ( i − k) ; 2 2 1− 2 力系的主矢 FR ′ = ∑ Fi = (i − j ) 2
F1 的矢量为: FP (−
主矩
i j k i 0 0+0 MO = a 2 2 − FP FP 0 0 2 2 Fa = P ( 3i + 3 j + 2k ) 2
由上知:
j a −1 FP 2
k i 0 + 0 3 −1 FP FP 2 2
j 0 0
k 3a 3 FP 2
FR ′ ⋅ M O =
(1 − 2 ) FP a (i − j ) ⋅ ( 3i + 3 j + 2k ) = 0 4
-3-
所以该力系必存在合力。
工程力学习题解答
3-8 三棱柱的高为 b ,底面为等腰直角三角形,直角边长也为 b 。力 F1 作用于 A 点, 力 F2 和 F3 作用于 O 点,方向如图示,且有 F1 = F2 = F3 = FP
解:力系的主矢: FR′ = 2 FP j + FP k 力系对 O 的主矩: M O = mO ( F1 ) = FPbk 将主矩 M O 分解在平行于 FR′ 和垂直于 FR′ 的两个分量 M O1 和 M O 2
5 FP b 5 2 5 M O 2 = M O cosθ = FPb 5 将 FR′ 沿 x 轴正方向移动距离 d M 2 d = O2 = b FR′ 5
M O1 = M O sin θ =
因此,最终简化结果为右手力螺旋, FR = 2 FP j + FP k , M = 过 ( b,0,0)
5 FPb ,中心轴通 5
2 5
3-9 底面为正方形的长方体棱边上作用有 8 个大小均等 于 FP 的力,如图所示。试求该力系的简化结果。
解:原力系由三个力系组成。 子力系 1: F1 和 F2 构成力偶,力偶矩矢量 FP ak ; 子力系 2: F3 ~ F6 组成的平行力系,合力作用在正 方形中点, 4 FP k ; 子 力 系 3 : F7 和 F8 构 成 的 力 偶 , 力 偶 矩 矢 量 为
− FP ak 。
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第 3 章 汇交力系
因此,原力系合力为 4 FP k ,作用线过正方形中点。
3-10 求下列平面图形的形心位置(图中长度单位为 mm )
解:对第一个图形,由对称性,形心 x 坐标为零。 将第一个平面图形分解成三部分。
面积 Si mm 图形 1 图形 2 图形 3 图形形心: yC = 将第二个平面图形分解成四部分。
-5-
2
形心坐标 y mm 325 140 20
29800 18000 17200
∑S y ∑S
i i
i
= 193.06mm
工程力学习题解答
面积 Si mm 图形 1 图形 2 图形 3 图形 4 320000 208000 80000 -70685.8
2
形心坐标 x mm 0 200 133.3 -200
形心坐标 y mm 720 260 533.3 720
图形形心: xC =
∑S x ∑S
i
i i
= 123.6mm , yC =
∑S y ∑S
i i
i
= 514.1mm
3-11 均质平面薄板由正弦曲线与 x 轴的一段所围成,如图所示。求板的中心位置。
解:
S = ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫
0 S
π
y =sin x
0
dy = ∫ sin xdx = 2
0
π
yC =
y =sin x π 1 1 ∫∫ ydxdy = ∫0 dx ∫0 ydy = 2S S S
∫ sin
0
π
2
xdx =
π 8
由对称性, xC =
π 2 7r 的椭圆形均质平面薄板上挖了一个半径为 r 的圆 , 3
3-12 在长半轴为 3r 、短半轴为
如图所示。求板的重心的位置。
-6-
第 3 章 汇交力系
解:椭圆的面积为: π ⋅ 3r ⋅
7r = 7 πr 2 ;形心坐标: (0,0) 3 2 孔面积: − πr ;形心坐标: (r , r )
7 πr 2 × 0 − πr 2 × r r =− 2 2 7 πr − πr 6 2 2 7 πr × 0 − πr × r r =− 图形形心 y 坐标: 2 2 7 πr − πr 6
图形形心 x 坐标: 将图示均质梯形薄板 ABCD 在点 C 挂起, AD = a 。 设 欲使 AD 边保持水平,BC 应等于多少。
3-13
解:如上图,设 BC 长度为 b ,欲使 AD 水平,则 DFC 和 ABCF 的重力对点 C 之矩应 相等。
1 1 DFC 的重力对 C 点之矩: (a − b)h × (a − b) × ρg 2 3 b ABCF 的重力对点 C 之矩: bh × × ρg 2 1 1 b (a − b)h × (a − b) × ρg = bh × × ρg 2 3 2 1 b= a = 0.366a 1+ 3
3-14 在图示变长为 a 的均质正方形薄板 ABCD 中挖去等腰三角形 EAB ,试求 E 点 y 坐 标的最大值 ymax ,使剩余薄板的重心仍在板内。
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工程力学习题解答
解: 面积 正方形 ABCD 三角形 EAB 则图形形心的 y 坐标: 形心 y 坐标
a2
1 − aymax 2
a 2 1 ymax 3
a3 a 2 − ymax Sy yC = ∑ i i = 2 6 ∑ Si a 2 − 1 aymax 2 若 yC > ymax ,则图形形心在图形内,即 3+ 3 3− 3 a(舍去) , ymax
体积 Si mm 图形 1 图形 2 图形 3 图形形心: xC = 10.08 2.40 1.89
F F O l (c) r O l (e) F b O l (f) a F
已知梁AB上作用一力偶,力偶矩为M,梁长为l,梁重不计。试求在图a,b,c三种
M 转向如图所示, 试求支座A、 矩M1 = 15kN·m, 2 = 24kN·m, B处的约束力。
铰接四连杆机构OABO1在图示位置平衡,已知OA = 0.4m,O1B = 0.6m,一个力偶作
用在曲柄OA上,其力偶矩M1 = 1N·m,各杆自重不计,求连杆AB所受的力及力偶矩M2的 大小。
在图示结构中,各构件的自重略去不计。在构件AB上作用一力偶矩为M的力偶,各
F F O l (c) r O l (e) F b O l (f) a F
(b)MO = 0 ; (c)MO = Flsinα; (d)MO = − Fa; (e)MO = F(l+r) ; 解: (a)MO = Fl; (f)MO = Flsinα
已知梁AB上作用一力偶,力偶矩为M,梁长为l,梁重不计。试求在图a,b,c三种
FA cos θ ×l − M = 0 FA = FB = M (l cos θ )
简支梁AB跨度l = 6m,梁上作用两个力偶,其力偶矩M1 = 15kN·m,M2 = 24kN·m,
解:取简支梁AB分析。主动力为作用其上的两个主动力偶。B处是滑动铰支座,约束力
FB的作用线垂直于支承面;A处是固定铰支座,根据力偶只能与力偶平衡,所以力FA与 FB组成一个力偶,即FA = − FB,力FA与FB的指向假设如图b所示。列平衡方程
FA l + M 1 − M 2 = 0 − M 1 + M 2 − 15 + 24 = = 1.5kN l 6
铰接四连杆机构OABO1在图示位置平衡,已知OA = 0.4m,O1B = 0.6m,一个力偶作
用在曲柄OA上,其力偶矩M1 = 1N·m,各杆自重不计,求连杆AB所受的力及力偶矩M2的 大小。
解: 1)取杆OA为研究对象。主动力为作用其上的一个主动力偶。杆BA为水平的二力杆, (
所以F′AB为水平力;O处是固定铰支座,根据力偶只能与力偶平衡,所以力FO与F′AB组成 一个力偶,即FO = − F′AB,力FO与F′AB的方向如图b所示。列平衡方程
′ FAB × OA sin 30° − M 1 = 0 ′ FAB = M1 1 = = 5N OA sin 30° 0.4 × 0.5
(2)取杆BA为研究对象。杆BA为二力杆,受力如图c所示。由作用与反作用知
FAB = − F′AB , 其大小FAB = F′AB = 5 N , 方向如图c所示;由二力平衡条件知F′BA = − FAB ,
− FBA × O1 B + M 2 = 0 M 2 = FBA × O1 B = 5 × 0.6 = 3N ⋅ m
在图示结构中,各构件的自重略去不计。在构件AB上作用一力偶矩为M的力偶,各
解: 1)取构件AB为研究对象。主动力为作用其上的一个主动力偶。构件BC为二力体, (
所以力FB的作用线在BC两点的连线上;A处是固定铰支座,根据力偶只能与力偶平衡, 所以力FA与FB组成一个力偶,即FA 力FA与FB的方向如图b所示。列平衡方程
FA × AB − M = 0 FA = M M = AB 2 2a
(2) 取构件BC为研究对象。 受力如图c所示。 BC为二力体, 构件 由二力平衡条件知FC = −