利用直角三角形画圆的算法
另外一种画圆的算法：
算法的数学原理：
我们知道圆的内接三角形中，如果有一条边是直径，那么该边所对应的角度是直角。而在解析几何中，对任意两条斜率存在的直线，如果它们相互垂直，那么它们的斜率相乘为-1，
而倘若是在园外（稍微在圆外一点），则夹角变小，斜率相乘小于-1（待会儿给出证明），倘若在园内一点，则夹角变大，斜率相乘大于-1，如图：
证明：
（由于只需要画出1/8圆即能画出整个圆，因此以下以第二个八分圆证明）
对于B 点
设x =r cos θ, y =r sin θ（r 为圆的半径） 则k BC =r sin θr sin θ, k BA =， r cos θ+r r cos θ-r
k BC *k BA r 2sin 2θ=2=-1。 r (cos2θ-1)
对于B ’点
设x =r cos θ+dx , y =r sin θ
其中dx ∈(0,r -r cos θ) 则k B ' C =r sin θr sin θ, k B ' A = r cos θ+dx +r r cos θ+dx -r
r 2sin 2θk B ' C *k B ' A =(r cos θ+dx ) 2-r 2
dx >0∴k B ' C *k B ' A
同理可得，对于B ”点
k B " C *k B " A >-1
以上是对该数学方法的证明
下面我们讨论一下具体的描点，如图：
设我们已经画出了P 点（P 在第二个八分圆的圆弧上），则我们设P （x ，y ），则下一个应该描的点应该是P1或P2，我们取P1和P2的中点Pmid ，我们只需要判断出Pmid 与圆的关系即可判断应取P1还是P2了，如图：
按照前面的论证方法，我们分别算出了
k PmidA 11y -，k =PmidC =x +1-r x +1+r y -
1(y -) 2
= 2(x +1) -r 2k PmidA *k PmidC
因为是否在圆上是以斜率相乘是否为-1为分界线的，所以我们令k PmidA *k PmidC +1，则 k PmidA *k PmidC 1(y -) 2+(x +1) 2-r 2+1= (x +1) 2-r 2
只需判断出k PmidA *k PmidC +1是否大于0即可
我们观察到，对于第二个八分圆，分母(x +1) -r 0时，则Pmid 在圆外，取P2 当分子(y -) +(x +1) -r
如果相等，则我们约定取P2
这样就可以画出圆来了，但是效率太低了，我们可以稍加改进，将其改变成增量的形式 因为我们已经取了P 点，则我们可以分情况讨论在P 点之前一次的取点情况，共有两种情况，一是P ’点，二是P ”点，则对应这两种情况：
如果是P ’点，则计算的是P ’mid 点的斜率相乘的结果
如果是P ”点，则计算的是P ”mid 点的斜率相乘的结果
我们设a 为每一次的斜率相乘加1后的分子的值，则对应于P ’mid [1**********]2
1a P ' mid =(y +) 2+x 2-r 2 2
而对应于P ”mid
1a P " mid =(y -) 2+x 2-r 2 2
而我们所需要求的Pmid 点的
11a Pmid =(y -) 2+(x +1) 2-r 2=(y +) 2+x 2-r 2+(2x -2y +1) =a P ' mid +(2x -2y +1) 22
11a Pmid =(y -) 2+(x +1) 2-r 2=(y -) 2+x 2-r 2+(2x +1) =a P " mid +(2x +1) 22
由此，我们便将a 的值表示成了增量的形式，通过判断a 的正负来判断该点是在圆内还是圆外，具体的c 代码算法部分如下所示：
float a,x,y,r,espinon=0.00001;
int tag; //tag是用来判别前一个点是P ’还是P ”的 x=0; //tag==1，表示取的是P ’，tag==0，表示取得是P ” r=100; y=r; pDC->SetPixel(0,y,RGB(x,y,((x+y)/2))); a=(y-0.5)*(y-0.5)+(x+1)*(x+1)-r*r; if(a>espinon) { pDC->SetPixel(x+1,y-1,RGB(x,y,((x+y)/2))); x++,y--; tag=1; } else { pDC->SetPixel(x+1,y,RGB(x,y,((x+y)/2))); x++; tag=0; } while(xespinon) { pDC->SetPixel(x+1,y-1,RGB(x,y,((x+y)/2)));
} x++,y--; tag=1; } else { pDC->SetPixel(x+1,y,RGB(x,y,((x+y)/2))); x++; tag=0; } 下图为用该算法画出的圆（圆心坐标是（100，,100），半径是100）：
算法的分析到此为止