第9章 扭转

第九章 扭转

思考题与习题

9-1．试述扭矩符号是如何规定的？

答：按右手螺旋法则规定：以右手四指代表扭矩的转向，若此时大拇指的指向离开截面，即与横截面的外法线方向相同时，扭矩为正；反之为负。

9-2．直径d 和长度l 都相同，而材料不同的两根轴，在相同的扭矩作用下，它们的最大剪应力τmax 是否相同？扭转角φ是否相同？为什么？

答：最大剪应力相同，扭转角不同。因为剪应力只与扭矩及抗扭截面系数有关；而扭转角与材料常数——切变模量G ——有关。从下面公式也可得到相同的结论。

τmax =

M n M l

；ϕ=n W p GI p

9-3．若圆轴直径增大一倍，其它条件均不变，那么最大剪应力、轴的扭转角将变化多少？

答：（由前题的公式可知）最大剪应力为原来的8倍，扭转角为原来的16倍。 9-4．从强度观点看，a 、b 两图中三个轮的位置布置哪一种比较合理？

答：（b ）更合理。从下面的扭矩图可以看出。

9-5．图中所画剪应力分布图是否正确？其中M n 为截面上的扭矩

答：只有（a ）是正确的。其它的错误是： （b ）左半部分箭头指向反了。 （c ）所有箭头指向都反了。 （d ）应按（e ）图中的应力来画。 （e ）所有箭头指向都反了。

9-6．一空心圆轴，外径为D 、内径为d ，其极惯性矩 I p 和抗扭截面系数W P 是否可按下式计算？为什么？

I p =I p 外-I p 内=

πD 432

-

πd 432

W p =W p 外-W p 内=

πD 316

-

πd 316

答：根据它们的定义和定积分的性质可知；极惯性矩 I p 可以，抗扭截面系数W P ，不行。其中抗扭截面系数W P 正确的计算公式如下：

d 4W p =W p 外-W p 内=(1-4) 或

16D W p =W p 外-W p 内=

其中：α=

πD 3

πD 316

(1-α4)

d D

9-7． 试从应力分布的角度说明空心轴较实心轴能更充分地发挥材料的作用。 答：轴横截面上的应力，越靠近轴心应力越小；这说明实心轴中间的材料发挥的作用很小；所以用空心的能更充分地发挥材料的作用。

9-8． 试述圆轴扭转公式的使用条件。

答：圆轴扭转公式（不论是应力计算公式还是扭转角计算公式）的使用条件都是，横截面上的最大剪应力τmax 不超过材料的比例极限τp 。

9-9． 单位长度扭转角与相对扭转角的概念有什么不同？

答：单位长度扭转角与截面所扭矩、轴的截面几何参数及材料有关；而扭转角除了与上述因素有关外，还与两截面间的距离有关。

另外，单位长度的扭转角可以描述一个截面的变形情况；而扭转角描述的是两个截面相对的变形情况。

9-10．圆截面杆与非圆截面杆受扭转时，其应力与变形有什么不同？原因是什么？ 答：主要的不同点是：应力与应变在横截面上的分布规律都不是线性的，它们的分布规律更加复杂。主要是由于内力与截面几何形状的对称轴不同，导致平面假设不成立造成的。（详细说明参见P149-150）。

9-11．试用截面法求图9-19所示杆件各段的扭矩M n ，并作扭矩图。

解：扭矩计算过程略

9-12．已知钢材的弹性模量E =210GPa，泊松比μ=0.31，试根据E 、G 、μ之间的关系式，求切变模量G 。 解：G =

E 210

==80. 2GPa

2(1+μ) 2(1+0.31)

9-13．圆轴直径d =100mm，长l =1m，两端作用外力偶矩M e =14kN·m ，材料的切变模量G = 80GPa，试求：

（1）轴上距轴心50mm 、25mm 和12.5mm 三点处的剪应力； （2） 最大剪应力τmax ； （3） 单位长度扭转角θ。 解：1. 计算扭矩。 M n =M e =14kN ⋅m

2. 计算剪应力

设轴上距轴心50mm 、25mm 和12.5mm 三点分别为A 、B 、C 。 则由τ=

M n 32M n

ρ=ρ可得，三点应力分别为： I P πd 4

32⨯14⨯103⨯103

τA =⨯50=71. 29MPa

3. 142⨯1004

【说明】教材中答案71.34MPa 是错误的，原因是计算时取π=3. 14为3位有效数字，则二级运算（乘、除）后，有效数字只能取3位，即71.3MPa 。而取π=3. 142为4位有效数字时，二级运算后，结果可以是4位也可以取3位。

32⨯14⨯103⨯103

τB =⨯25=35. 65MPa

3. 142⨯100432⨯14⨯103⨯103

τC =⨯12. 5=17. 82MPa 4

3. 142⨯100

3. 最大前应力

τmax

M n 16M n 16⨯14⨯103⨯103====71. 29MPa W p πd 33. 142⨯1003

【说明】实际上由于A 在轴的表面，所以也可以这样算：

τmax =τA =71. 29MPa

4计算单位长度扭转角θ。

M n 180M n 32⨯14⨯103

θ=⨯===0. 01782rad /m =12'/m

πd 480⨯109⨯3. 142⨯0. 1004GI p π

G 32

9-14．传动轴如图所示，已知M A =1.5kN·m ，M B =1 kN·m ，M c =0.5 kN·m ；各段直径分别d 1=70mm，d 2=50mm。（1）画出扭矩图；（2）求各段轴内的最大剪应力和全轴的最以大剪应力；（3）求C 截面相对于A 截面的扭转角；各段的单位长度扭转角及全轴的最大单位长度扭转角。设材料的G = 80GPa。

解：1. 画扭矩图如下。

2. 求各段最大剪应力

由圆轴横截面最大剪应力计算公式

τmax =

M n 16M n

= 得： W p πd 3

AB 段：

τABmax

16⨯1. 5⨯103⨯103==22. 27MPa

3. 142⨯703

BC 段：

τBC max

16⨯0. 5⨯103⨯103==20. 37MPa

3. 142⨯503

3. 计算变形ϕCA 由转角公式ϕ=

M n l 32M n l M n 32M n

=θ==及单位长度转角公式结合扭矩图可得： GI p G πD 4GI p G πD 4

AB 段：

ϕBA θBA

32⨯1. 5⨯103⨯1. 5==0. 01193rad 80⨯109⨯3. 142⨯0. 0704

32⨯1. 5⨯103

==7. 953⨯10-3rad /m =0. 46/m 9480⨯10⨯3. 142⨯0. 070

BC 段：

ϕCB θBA

32⨯0. 5⨯103⨯2==0. 02037rad 80⨯109⨯3. 142⨯0. 0504

32⨯0. 5⨯103

==0. 01018rad /m =0. 58/m 80⨯109⨯3. 142⨯0. 0504

所以全轴

ϕCA =ϕBA +ϕCB =0. 01193+0. 02037=0. 0322rad

θmax =θBA =0. 01018rad /m =0. 58/m

9-15．空心圆轴如图8-21所示，外径D = 80mm，内径d = 62.5mm，两端承受扭矩M n = 1kN·m 。

（1）求τmax 和τmin ；

（2）绘出横截面上剪应力分布图； （3）求单位长度扭转角。已知G = 80GPa。

解：1. 求τmax 和τmin

α=

d 62. 5

==0. 7813 D 80

3. 142⨯804

I p =(1-α) =⨯(1-0. 78134) =2. 523⨯106mm 4

3232M

由τ=n ρ得

I P

4

πD 4

τmax τmin

M n D 1⨯103⨯103=⨯=⨯40=15. 85MPa I P 22. 523⨯106M n d 1⨯103⨯103=⨯=⨯31. 25=12. 39MPa I P 22. 523⨯106

2. 横截面上剪应力分布如下图所示。

3. 单位长度扭转角

M n 1⨯103⨯103-6

θ===4. 95⨯10rad /mm =0. 00495rad /m =0. 28/m

GI p 80⨯103⨯2. 523⨯106

9-16．所示为扭转角测量装置，已知l =1m，ρ=0.15m，空心圆轴外径D =100mm，内径d = 90mm。当外力偶矩M e = 440N·m 时，千分表的读数由0增至25分度（1分度=0.01mm），试计算轴材料的切变模量G 。

解：1. 计算截面几何参数及变形。

α=

d 90

==0. 9 D 100

3. 142⨯1004

I p =(1-α) =⨯(1-0. 94) =3. 377⨯106mm 4=3. 377⨯10-6m 4

3232

4

πD 4

千分表所在截面相对于固定面的转角

ϕ=

25⨯0. 01mm

ρ

=

25⨯0. 01mm

=1. 667⨯10-3rad 3

0. 15⨯10mm

单位长度扭转角

16. 67⨯10-6rad

θ===16. 67⨯10-6rad /m

l 1m

ϕ

2. 计算机材料的切变模量G 扭矩M n =M e =440N ⋅m 由θ=

M n

得 GI p

G =

M n 440N ⋅m

==78. 16⨯109Pa =78. 16GPa -3-64

θI p 1. 667⨯10rad /m ⨯3. 377⨯10m

9-17． 阶梯形圆轴的直径分别为d 1=4cm，d 2=7cm，轴上装有三个皮带轮如图9-23所示。已知由轮3输入的功率为P 3=30kW，轮1输出的功率为P 1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200转/分，材料的[τ]=60MPa，G = 80GPa，许用扭转角[θ]=2°/m，试校核轴的强度和刚度。

解：1. 计算外力偶矩

由输入功率等于输入功率得： P 2=P 3-P 1=30-13=17kW

M 1=9549⨯M 2=9549⨯

P 131

=9549⨯=620. 7N ⋅m n 200

P 217=9549⨯=811. 7N ⋅m n 200P 30

M 3=9549⨯3=9549⨯=1432. 4N ⋅m

n 200

2. 作扭矩图。利用简便方法作扭矩图如下：

3. 计算最大应剪力，校核强度

由扭矩图和轴的尺寸可知，最大剪应力在AC 段或DB 段的横截面上。 AC 段：τAC max =DB 段：τD B max =

M n 16M n 16⨯620. 7

===49. 39⨯106Pa =49. 39MPa 33W P πd 13. 142⨯0. 04M n 16M n 16⨯1432. 7

===49. 39⨯106Pa =21. 27MPa 33W P πd 23. 142⨯0. 07

τmax =τAC max =49. 39MPa

所以该轴满足强度要求。

4. 计算最大单位长度扭转角，校核刚度

由扭矩图和轴的尺寸可知，最大单位长度扭转角在AC 段或DB 段的横截面上。 AC 段：θAC max =DB 段：θDB max =

M n 32M n 32⨯620. 7

===0. 03087rad /m ==1. 77

M n 32M n 32⨯1432. 4

===0. 00759rad /m ==0. 435

GI P G πd 280⨯109⨯3. 142⨯0. 074

所以该轴满足刚度要求。

9-18．一钢轴长l =1m，受扭矩M n =18kN·m 作用，材料的许用剪应力[τ] = 40MPa，试设计轴的直径d 。

解：该轴扭矩M n =M e =18kN ⋅m =18⨯103N ⋅m 由圆轴扭转强度条件：

τmax =

M n

≤[τ]得 W p

M n 18⨯103

W p ≥==0. 45⨯10-3m 3=0. 45⨯106mm 3 6

[τ]40⨯10

实心圆轴抗扭截面系数： W p =

πd 316

所以，d ===131. 8mm 取d =132mm

9-19．一空心圆轴，外径D = 90mm，内径d = 60mm。

（1）求该轴截面的抗扭截面系数W p ；

（2）若改用实心圆轴，在截面面积不变的情况下，求此实心圆轴的直径和抗扭截面系数；

（3）计算实心和空心圆轴抗扭截面系数的比值。

解：（1）求抗扭截面系数

α=d 60==0. 6667 D 90

3. 142⨯903

W p =(1-α) =(1-0.66674)=1.149⨯105mm 3 16164πD 3

（2）求等面积实心圆轴的几何参数

由空心圆的面积公式

A =2πD 外

4(1-α2)

可知，等面积的实心圆的直径为：

D =D 90=67. 08mm

抗扭截面系数为：

3. 142⨯67. 083

W p ===0.5927⨯105mm 3 1616

（3）计算实心和空心圆轴抗扭截面系数的比值

W p 实

W p 0.5927⨯105mm 3==0.5158=51.58% 1.149⨯105mm 3πD 3

9-20．某轴两端受外力偶矩M = 300N·m 作用，已知材料的许用剪应力[τ] = 70MPa，试按下列两种情况校核轴的强度。

（1），直径D = 30mm；

（2）空心圆轴，外径D 1 = 40mm，内径d 1 = 20mm。

解：1. 校核实心圆轴强度

3. 142⨯303

W p ===5. 302⨯103mm 3=5. 302⨯10-6m 3 1616πD 3

τmax =M n 300==56. 58⨯106Pa =56. 58MPa

满足强度条件。

2. 校核空心圆轴强度

α=d 120==0. 5 D 140

3. 142⨯403

W p =(1-α) =(1-0. 54) =11. 78⨯103mm 3=11. 78⨯10-6m 3 16164πD 3

τmax =M n 300==25. 47⨯106Pa =25. 47MPa

满足强度条件。

9-21． 如图所示传动轴，转速n = 400r/min，B 轮输入功率P B = 60kW，A 轮和C 轮输出功率相等，P A = P C = 30kW。已知[τ] = 40MPa，[θ]=0.5°/m，G = 80GPa。试按强度和刚度条件选择轴的直径d 。

注意：原题中用N 表示功率，请改过来。

解：1. 计算外力偶知，作扭矩图。

M C =M A =9549⨯

M B =9549⨯P A 30=9549⨯=716. 2N ⋅m n 400P A 60=9549⨯=1432. 4N ⋅m n 200

2. 按强度条件选择直径 由τmax =M n ≤[τ]及 W p

W p =

d =πD 316得

4. 50⨯10-2m =45mm

取45mm

3. 按刚强度条件选择直径

由θ=M n 180⨯≤[θ]及 GI p π

I p =πd 432得

D

0. 0569m =56. 9mm

取57mm

答：按强度条件需要取45mm ，刚度条件需要57mm ，所以取57mm

9-22． 图示矩形截面杆两端所受转矩M 0 = 0.5kN·m ，截面高h = 8cm，宽b = 3cm，切变模量G = 80GPa，试求：（1）杆内最大剪应力的大小、位置和方向；（2）单位长度的扭转角。

解：1. 计算扭矩 M n =M o =0. 5kN ⋅m =500N ⋅m

2. 计算截面几何参数 h 8==2. 67 b 3

h =2. 5时，α=0. 258 b

h =3. 0时，α=0. 267 b

用插值法计算 α=0. 258+τmax =

2. 67-2. 5⨯(0. 267-0. 258)=0.261 3. 0-2. 5M n 500==26. 6⨯106Pa =26. 6MPa 22αhb 0. 261⨯0. 08⨯0. 03