分块矩阵在行列式计算中的应用(1)

南 阳 理 工 学 院

本科生毕业设计（论文）

学院（部）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学 学 生： 童家祎 指导 教师： 宋苏罗

完成日期 2013 年 5 月

南阳理工学院本科生毕业设计（论文）

分块矩阵在行列式计算中的应用

The Application of Block Matrix in Computing Determinant

总计：毕业设计（论文）25页 表 格： 0 个 插 图： 0 幅

南 阳 理 工 学 院 本 科 毕 业 设 计（论文）

分块矩阵在行列式计算中的应用

The Application of Block Matrix in Computing Determinant

学 院 （系）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学 学 生 姓 名： 童家祎 学 号： 101109071 指 导 教 师（职称）： 宋苏罗（教授） 评 阅 教 师： 完 成 日 期： 2013.5

南阳理工学院

Nanyang Institute of Technology

分块矩阵在行列式计算中的应用

数学与应用数学 童家祎

[摘 要]分块矩阵是矩阵理论中的一个重要内容，在高等代数中有着很重要的应

用．矩阵分块的思想来源于对矩阵运算复杂度和储存思想的考虑，矩阵分块能降低矩阵的阶数，使矩阵条理更清晰并简化运算．本文从研究行列式以及分块矩阵的基本性质入手，在查阅了大量文献的基础上，给出了与行列式计算有关的分块矩阵相关定理．将分块矩阵降阶的思想应用在行列式计算过程中，推导出了借助分块矩阵进行行列式计算的多种方法，最后通过具体的例子对比说明，很多时候借助分块矩阵计算行列式比用行列式的常规方法计算更简单、直观、清晰．

[关键词]分块矩阵；行列式；初等变换

The Application of Block Matrix in Computing Determinant

Mathematics and Applied Mathematics Major TONG Jia-yi

Abstract: Block Matrix is an important content of Matrix theory, which has a significant usage in Advanced Algebra. The idea of Block Matrix comes from the consideration of the memory storage and the complexity of Matrix Manipulation. Block Matrix can reduce the exponent number of Matrix to make the consecution of Matrix clearer and the operation of Matrix easier. This article starts with basic properties of Matrix, and gives some main conclusions of Block Matrix on the basis of accessing a lot of literature. And then, we use the reduction thoughts of Block Matrix in process of determinant calculation to derive multiple methods of determinant calculation with the block matrix. At last, we use object lessons to compare, shows that computing the determinant by means of block matrix is often more simple, intuitive and clear than conventional methods of determinant calculation.

Key words: determinant; block matrix; elementary transformation

目 录

0 引言.................................................................... 1 1 分块矩阵的概念.......................................................... 1 1.1 分块矩阵的定义...................................................... 1 1.2 分块矩阵的运算...................................................... 2 1.3 特殊的分块矩阵...................................................... 4 2 分块矩阵的初等变换...................................................... 5 3 分块矩阵的相关定理及其证明.............................................. 6 4 利用分块矩阵计算行列式................................................. 10 4.1 利用定理1计算行列式............................................... 10 4.2 利用定理2计算行列式............................................... 11 4.3 利用定理3计算行列式............................................... 13 4.4 利用定理4计算行列式............................................... 18 4.5 利用定理5计算行列式............................................... 19 4.6 利用定理6计算行列式............................................... 21 结束语................................................................... 23 参考文献................................................................. 24 致谢..................................................................... 25

0 引言

矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[1]．

行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势．

1 分块矩阵的概念

1.1 分块矩阵的定义

有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[1]．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法．

定义1[2] 设A 是m ⨯n 矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含m 1m 2 m r 行，将

A 的列分割为s 段，每段包含m 1m 2 m s 列，则

⎛A 11

A 21A =

A ⎝r 1

A 12A 22 A r 2

A 1s ⎫

⎪

A 2s ⎪

， ⎪⎪

A rs ⎪⎭

就称为分块矩阵，其中A ij 是m i ⨯m j 矩阵（i =1, 2, , r , j =1, 2, , s ）．

注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块，

⎛1 -1A =

1 0⎝

其中

[1**********]1

0⎫⎪

2⎪⎛A 11

= A ⎪3

⎪⎝212⎪⎭

A 12⎫

⎪， ⎪A 22⎭

⎛10⎫⎛320⎫⎛10⎫⎛103⎫

⎪ ⎪ ⎪ ，，，A 11= A =A =A =122122 -12⎪ 012⎪ 01⎪ 012⎪⎪．

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

1.2 分块矩阵的运算

进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待． 加法运算 设A =(a ij ) m ⨯n 和B =(b ij ) m ⨯n 为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即

A m ⨯n =(A ij ) s ⨯t ，B =(B ij ) s ⨯t ，

其中A ij 、B ij 是m i ⨯n j 矩阵，i =1, 2, , s , j =1, 2, . t ，且∑m i =m ，∑n j =n ，则A 与B

i =1s

t

j =1

可直接相加，即

A +B =(A ij +B ij ) s ⨯t ．

数乘运算 设分块矩阵A m ⨯n =(A ij ) s ⨯t ，k 为任意数，则分块矩阵与k 的数乘为

kA =(kA ij ) s ⨯t ．

乘法运算 一般地说，设A =(a ik ) sn ，B =(b kj ) nm ，将矩阵A 、B 分块，

⎛A 11

A A = 21

A ⎝s 1

A 12A 22 A s 2

A 1t ⎫⎛B 11

⎪

A 2t ⎪ B 21

B =， ⎪⎪ ⎪ B A st ⎭⎝t 1

B 12

B 22 B t 2

B 1r ⎫

⎪

B 2r ⎪

， ⎪⎪B tr ⎪⎭

其中每个A ij 是s i ⨯n j 小矩阵，每个B ij 是n i ⨯m j 小矩阵，于是有

⎛C 11

C 21

C =AB =

C ⎝s 1

C 12C 22 C s 2

C 1r ⎫

⎪

C 2r ⎪

， ⎪⎪

C sr ⎪⎭

其中C ij 是m i ⨯k j 矩阵，C ij =

∑A B

ij i =1

n

ij

．

应该注意，在进行乘法运算求乘积AB 时，对矩阵A 、B 分块要求，矩阵A 的列的分法必须与矩阵B 的行的分法一致．

矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有AB =BA ．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．

根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：

(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同； (2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数； (3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．

在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵A 与矩阵B 相乘时，对B 的一个分块方式，A 可以有几种分块方式都可与B 相乘，同样对A 的一个分块方式，B 也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．

例如，已知

⎛100⎫⎛1010⎫ ⎪ ⎪A = 010⎪，B = 0101⎪，

002⎪ 0110⎪⎝⎭⎝⎭

我们把B 分块为

⎛1010⎫ ⎪⎛E 2 0101⎪= B 0110⎪⎝21⎝⎭

E 2⎫

⎪， B 22⎪⎭

其中E 2为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A 可以分块为

⎛100⎫⎛100⎫⎛100⎫

⎪ ⎪ ⎪

010⎪、 010⎪或 010⎪， 002⎪ 002⎪ 002⎪

⎭⎝⎭⎝⎭⎝

我们可以看到第一种分法中有单位块，而

⎛E 2

A = O

⎝

对于乘法运算显然更加简便，即

O ⎫⎪， ⎪A 22⎭

⎛100⎫⎛1010⎫

⎪ ⎪⎛E 2

AB = 010⎪ 0101⎪=

002⎪ 0110⎪⎝O ⎝⎭⎝⎭

O ⎫⎛E 2

⎪ A 22⎪⎭⎝B 21E 2⎫

⎪ B 22⎪⎭

⎛E 2

= A B ⎝2221

设

⎛1010⎫

⎪E 2⎫

⎪=0101 ⎪． ⎪A 22B 22⎭ ⎪⎝0220⎭

⎛A 11 A 21A =

A ⎝s 1

A 12A 22 A s 2

A 1t ⎫

⎪

A 2t ⎪

⎪⎪

A st ⎪⎭

是一个分块矩阵，那么它的转置为

'⎛A 11

' A 12

A '=

A '⎝1t

' A s '1⎫A 21

⎪

''A 22 A s 2⎪

．

⎪

⎪

't A st '⎪A 2⎭

分块矩阵的转置应遵守如下规则： (1) A 的每一块都看成元素，对A 转置； (2) 对A 的每一块都转置．

1.3 特殊的分块矩阵

形式如

⎛A 1

O ⎝

A 2

O ⎫⎪⎪⎪

⎪A l ⎪⎭

的矩阵，其中A i 是n i ⨯n i 矩阵(i =1, 2, , l ) ，通常称为准对角矩阵．

准对角矩阵具有如下性质： (1) 设

⎛A 1

A =

O ⎝

A 2

O ⎫⎪⎪⎪ ，

⎪A l ⎪⎭

则有

A =A 1A 2 A l ；

(2) A 可逆⇔A i 可逆(i =1, 2, , l ) ，且

⎛A 1-1

A -1=

⎝

-1A 2

⎫⎪⎪⎪； ⎪-1⎪A l ⎭

(3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵

⎛A 1 A =

O ⎝

A 2

O ⎫⎛B 1

⎪ ⎪

B =，⎪

⎪ ⎪ O A l ⎭⎝

B 2

O ⎫

⎪⎪⎪，

⎪B l ⎪⎭

⎫

⎪⎪ ⎪

⎪A l +B l ⎪⎭

O

如果它们相应的分块是同级的，那么显然有

⎛A 1B 1

AB =

O ⎝

A 2B 2

O ⎫⎛A 1+B 1

⎪ ⎪

A +B =，⎪

⎪ ⎪ O A l B l ⎭⎝

A 2+B 2

它们还是准对角矩阵．

2 分块矩阵的初等变换

与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种： (1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；

(2) 用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）； (3) 将分块矩阵某一块行（列）的k （矩阵）倍加到另一块行（列）． 定义2[3] 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵． 现将某个单位矩阵如下进行分块，

⎛E m O ⎝O ⎫⎪， E n ⎪⎭

对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵P ；某一行（列）乘以矩阵Q 加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：

(1) 分块初等对换阵

⎛O E ⎝m

(2) 分块初等倍乘阵

E n ⎫⎪； ⎪O ⎭

O ⎫

⎪； ⎪P ⎭

⎛P O ⎫⎛E m

O O E ⎪⎪，

⎝n ⎭⎝

(3) 分块初等倍加阵

⎛E m

O ⎝Q ⎫⎛E m

⎪， ⎪E n ⎭ ⎝Q O ⎫

⎪． ⎪E n ⎭

与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵

⎛A B ⎫ C D ⎪⎪， ⎝⎭

只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：

⎛O E m ⎫⎛A

⎪(1) E ⎪

⎝n O ⎭⎝C ⎛P O ⎫⎛A (2) O E ⎪⎪

n ⎭⎝C ⎝

⎛E m O ⎫⎛A (3) P E ⎪⎪

n ⎭⎝C ⎝B ⎫⎛C D ⎫

； ⎪⎪= ⎪ ⎪D ⎭⎝A B ⎭

B ⎫⎛PA PB ⎫

； ⎪⎪= ⎪ ⎪D ⎭⎝C D ⎭

B ⎫⎛A B ⎫⎪= C +PA D +PA ⎪⎪． D ⎪⎭⎝⎭

同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果．我们通过验证，当用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换．

分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值．

3 分块矩阵的相关定理及其证明

定义3[2] 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(k ≤n ) ．位于这些行和列的交点上的k 2个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式．当k

引理（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k (1≤k ≤n -1) 个行．由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D ．

定理1 设A 是m 阶方阵，B 是m ⨯n 阶矩阵，C 是n 阶矩阵，则

A B

=A C ． O C

证明 利用拉普拉斯定理，只要将行列式

A B

O C

按后n 行展开，在其所有的n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为A ，且C 位于整个矩阵的第m +1, m +2, , m +n 行，第

m +1, m +2, , m +n 列，即可得

A B

=A C ． O C

类似地行列式的形式为

A O B C

时，由行列式的转置值不变，因此仍有

A 'O

=A 'C '=A C ． ''B C

通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式

A B

O C

换成

A B

C O

又会有怎样的结论，它的值等于C B 吗？

定理2 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则

A B 2

=(-1) n C B ． C O

证明 将拉普拉斯定理应用于上式的后n 行， 在其所有n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为B ，且C 位于整个矩阵的第

n +1, n +2, , n +n 行， 第1, 2, , n 列，因此

A B

=(-1) s B C ， C O

其中s =(n +1)(n +2) +⋅⋅⋅+(n +n ) +(1+2+⋅⋅⋅+n ) =n 2+偶数，即

A B 2

=(-1) n C B ． C O

⎡A B ⎤

定理3 P =⎢⎥是分块n 阶矩阵，其中A 为r 阶方阵，B 为r ⨯s 阶阵，C 为s ⨯r C D ⎣⎦阶阵，D 为s 阶方阵．

(1) 若A 可逆，则P =A D -CA -1B ； (2) 若D 可逆，则P =D A -CD -1B ． 证明 (1) 当A ≠0时，有

O ⎫⎛A B ⎫⎛A B ⎛I ⎫

⎪ ⎪ = -CA -1I ⎪ C D ⎪ O D -CA -1B ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭

两边取行列式可得

P =A D -CA -1B ．

(2) 当D ≠0时，有

⎛I -BD -1⎫⎛A B ⎫⎛A -BD -1C ⎪ ⎪= ⎪ O ⎪I ⎭⎝C D ⎭ C ⎝⎝

O ⎫

⎪ D ⎪⎭

两边取行列式可得

P =D A -CD -1B ．

将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．

推论1 设A 、B 、C 、D 分别是r ，r ⨯s ，s ⨯r ，s 矩阵，则有 (1) (2)

E r C

B D

=D -CB ；

A B

C E s

=A -BC ．

证明 (1) 只需在定理3中令A =E r ，即有

E r

C B E r

=D O B

=D -CB ．

D -CB

(2) 只需在定理3中令B =E s ，即有

A C E r C

B E s

=

A -BC C

O E s

=A -BC ．

推论2 设B 、C 分别是r ⨯s ，s ⨯r ，则有

B E s

=E s -CB =E r -BC ．

证明 只需在定理3中令A =E r ，B =E s ，则有

E r C

B E s

=E s -CB =E r -BC ．

定理4[4, 5] 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，则

A B

(1) 当A ≠0且AC =CA 时，=AB -CD ；

C D A B

(2) 当A ≠0且AB =BA 时，=DA -CB ；

C D A B

(3) 当D ≠0且DC =CD 时，=AD -BC ；

C D

(4) 当D ≠0且DB =BD 时，

A B

=DA -BC ． C D

证明 由A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，当A ≠0且AC =CA 时，利用定理3得

A B

C D

=A D -CA -1B =AD -ACA -1B =AD -CAA -1B =AD -CB ，

即

A B

C D

=AD -CB ， (2)、(3)、(4)类似可得．

定理5[6, 7] 设A 、B 都是n 阶方阵，则有

A B

B A

=A +B A -B ． 证明 根据分块矩阵性质有

A B A +B B A +B

B A =B +A A =B

O A -B

=A +B A -B ．

定理6[8] 设A 为n 阶可逆方阵，α与β均为n 维列向量，则

A +βαT =A (1+αT A -1β) ．

证明 因

⎛ E -αα ⎫⎛A

⎫⎛A +0⎫

⎝01⎪⎪⎭

⎝-βT 1⎪⎭= αβT

⎪ ⎝-βT 1⎪⎪， ⎭

⎛ E

0α ⎫⎫⎛A

⎝

βT A -1

1⎪⎪⎛⎭ A ⎝-β

T 1⎪⎪⎭= α ⎫

⎝01+βT A -1α⎪⎪， ⎭

(1)式、(2)式两边各取行列式，又

E -αE

01=

-βT

1

=1， 从而有

A α

-β

T

1

=A +αβT =A (1+βT A -1α) ．

(1) (2)

4 利用分块矩阵计算行列式

在行列式计算的过程中，若是该行列式的结构符合上述定理条件的要求，就可按照该定理进行矩阵分块，利用定理的结论计算行列式．其中的关键是如何对行列式进行分块，什么样的行列式能进行分块．我们在运用分块矩阵计算行列式时，要仔细观察行列式的结构，先确定运用哪个公式来进行计算，再对行列式进行相应的分块．在计算的过程中，也可能遇到可以运用分块矩阵计算的行列式，因此不仅要牢记公式，也要学会灵活运用．

4.1 利用定理1计算行列式

能够利用定理1求解的行列式的类型为

A B O C

下面给出具体例子．

例1 计算行列式

0200

或

A O B C

，

12-140121

123

2． 15

0000

H =-135

解 方法1（利用定理1） 对行列式H 分块，

H =

A B

， O C

⎛012⎫⎛-14⎫ ⎪ ⎪⎛21⎫

其中A = 201⎪，B = 21⎪，C = 35⎪⎪．

⎝⎭ -135⎪ 12⎪

⎝⎭⎝⎭

根据定理1，有

21

H =A C =201=7．

35

-135

12

方法2（化三角形法） 将行列式H 化为上三角形．

012-141-2-3-22

2012120121H =-1

3512=-13512 [***********]3

5

1-2-3-221-2-3-22

0476-30476

-=01214=001-1

133400021

00402210

3

5

000072

=7．

方法3（降阶法）

012-14

20121

1

2-1412-1H =-1

3512=-2⋅

3

[1**********]

021-1⋅0020

003

5

03500312-1412-14=-2⋅0-14-01210021-1⋅

0021 00350

03

5

-14-10121=-2⋅021-021 0

3

5035

=2⋅

212135

-

35

=7．

显然方法1更简单，利用定理1计算例1极大简化了计算．

4.2 利用定理2计算行列式

对于可以利用定理2计算的行列式，其结构特点是

A B C O

型．下面是利用定理2计算行列式的具体例子．

例2 计算行列式

4115

a 11a 21

a 31

H =

b

a 51a 61

解 方法1（利用定理2）

a 12a 22a 320b a 62

a 13a 23a 3300b

a a 1500000

a 0000

a 16a 26a ． 000

利用定理2结论，对行列式H 分块，

A B

， H =

C O

其中

⎛a 11 A = a 21

a ⎝31

a 12a 22a 32

a 13⎫⎛a a 15

⎪

a 23⎪，B = 0a

00a 33⎪⎭⎝a 16⎫⎛b

⎪ a 26⎪，C = a 51

a a ⎪⎭⎝61

0b a 62

0⎫

⎪0⎪， b ⎪⎭

因此H =(-1) 9C B =-a 3b 3．

方法2（降阶法）

a 11a 21

a 31

H =

b

a 51a 61

a 12a 22a 320b a 62

a 13a 23a 3300b

a 23a 330b

a a 1500000

a 0000

a 16a 26

a 21a 22a 320b a 62

a 23a 3300b

a a 260000

a 0 00

a 31

a

=-a b 0

a 51

a 61

a 22a =-ab 32

b

a 62

a a 26

a 23

0a

=-ab 2a 33

00

b

00

a a 2600

a 0

=-ab 3

a a 26

=-a 3b 3．

0a

方法3（定义法）

这是一个六阶行列式，在展开式中应有6! 项，但是由于其有很多零元素，所以不等于零的项就大大减少了，展开式中一般形式是

a 1j 1a 2j 2a 3j 3a 4j 4a 5j 5a 6j 6，

显然，如果j 1≠4，那么a 1j 1这一项就为零，因此只考虑j 1=4的那些项；同理，只考虑

而由于第五行只有非零元素a 51和b ，所以只考虑j 5=2，同理有j 2=5，j 4=1的那些项，

j 3=6，j 6=3．根据定义即可计算P ， 即

H =(-1) τ(456123) a 3b 3=(-1) 9a 3b 3=-a 3b 3．

从上面的例子我们看到，将方法2、3与方法1比较，方法2解题步骤更多更复杂，而方法3比较抽象，要有很好的观察力，显然利用分块矩阵来解题时，行列式的结构很清楚明了，解题过程也更简单．

4.3 利用定理3计算行列式

下面是利用定理3计算行列式的例子． 例3 计算2n 阶行列式

a

H =

c

a d c b

b

d

，

其中a ≠0．

解 方法1（利用定理3） 对行列式分块，令

H =

其中

A B

， C D

c ⎫d ⎫⎛a ⎫⎛b ⎫⎛⎛

⎪ ⎪ ⎪ ⎪A = ⎪，B = ⎪，C = ⎪，D = ⎪．

c ⎪ d ⎪a ⎪b ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，A =a n ≠0得A 可逆．

因为

⎛b -ca -1d ⎫

⎪-1

B -CA D = ⎪，

-1⎪b -ca d ⎭⎝

所以

H =A B -CA -1D =a n (b -ca -1d ) =(ab -cd ) n ．

方法2（降阶法）

a

H =

c

a d c b

b

d

a

a d

=a

c 0a

=ab

c

= =(ab -cd ) n ．

d c b

00a -c

a d c b

c a

-cd

a d c b

c

0d d

b 00b 2n -1d a d c b

b 2n -2

b d

02n -1

b 2n -2

方法3（化三角形法）

利用行列式的性质，将H 化为上三角形，即

a

H =

c a =

d a d c b

b =

a

a d c 0

d

b

d

b -cda -1

a d

b -cda -1

0d -cda -1

=a n (b -cda -1) n =(ab -cd ) n ．

从上面例子可以看到，行列式H 是一个高阶抽象行列式，比较上面三种方法，显然方法1更为简单，而且在利用定理3将行列式进行分块之后，该行列式的结构便十分清晰，计算过程也很简单明．

例4[9] 计算行列式

+a 1

D n =

11 1

1

1

1

111

1+a 21 111+a 3 1 1

1

，

11+a n

其中a 1≠0, i =1, 2, , n ．

解 方法1（利用定理3）

对该行列式先加边，再将加边后的行列式的第1行乘-1加到其余各行， 得

10

D n =

01-1-1 -1

令

111 1100 0

10

11

11

1 1

1111

01+a 1

1+a 21 111+a 3 1 1 1 0

1100

， 0

11+a n

-1a 1=

a 2 00 0 0

0a n

⎫⎪⎪， ⎪

⎪a n ⎪⎭

⎛a 1⎛-1⎫

⎪

-1⎪

A =(1) ，B =(1, 1, , 1) ，C = ⎪，D =

⎪ -1⎪

⎝⎝⎭

a 2

由于a 1≠0，且B 可逆，从而

n A B -1

D n ==A D -CA B =(a +∑a 1-1) a 1a 2 a n

C D i =1

=∏a i (1+∑

i =1

i =1

n n

1) ． a i

方法2（化三角形法）

先对行列式加边处理，再利用行列式的性质，将D n 化为三角形．

+a 1

1

D n =

1 10a 10=0 0

0a 20 011+a 2

1 1000a 3 0

011 10

000 0 1 1 0000 a n 0 111 0

111 1

1+a 3 1

11+a n 1

-1-1-1-1-1-110

=∏a i

n i =1

010 0-1a 2010 0-1a 2

n

001

000

000

0-1a 1100

0 0-1-1

a 3a n -1001

000

1-1

a n 000

000

=∏a i

i =1

n

0-1a 1

0 0-1-1

a 3a n -1

10

n

-11

1+∑a n i =1a i

=∏a i (1+∑

i =1

i =1

n

1

) ． a i

从上面的例子我们可以看到，在利用公式计算行列式时，并不一定在最开始时就进行分块．有时候，我们可以先对行列式进行变换，再使用公式计算行列式．同时，我们也认识到行列式的计算是十分灵活的，如上面的方法1就将加边法和定理3结合起来使用，所以在计算行列式时要学会灵活运用知识．方法2中运用矩阵的初等变换将行列式

化成三角形，计算过程比较繁琐且容易出错．

但是在什么样的情况下利用定理3求行列式值比较简便，还有待进一步讨论，下面将给出一类特殊的行列式的例子．

例5[10] 求形如

0-1M =-1

10

110

1 1 1

-1-1-1 0

的n 阶（n 为偶数）反对称行列式的值．

解 将M 按如下分块，

A B M ==A D -CA -1B ，

C D

其中

⎛-1-1⎫⎛01 1⎫ ⎪ ⎪

⎛01⎫⎛11 1⎫ -1-1⎪ -10 1⎪

⎪ ⎪，，，A = B =C =D = -10⎪ 11 1⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪

-1-1⎪ -1-1 0⎪⎝⎭⎝⎭因为A =1≠0，所以A 可逆．又有

⎛-1-1⎫

⎪

-1-1⎪⎛01⎫⎛11 1⎫

， ⎪ ⎪CA -1B = ⎪ ⎪⎪ ⎝-10⎭⎝11 1⎭

⎪ -1-1⎪⎝⎭

所以

M =D =M n -2=M n -4= =M 2=A =1．

从此例可以推广，形如

a a ⎛0

a -a 0

M = -a -a 0

-a -a -a ⎝

a ⎫

⎪ a ⎪

a ⎪(a ≠0)

⎪ ⎪ 0⎪⎭

的n 阶（n 为偶数）的反对称矩阵，其行列式的值为a n ．

上面总结了定理3在一类特殊行列式上的应用，当遇到这类问题时可直接使用上述结论．当然，在其他某些数字行列式的计算上也可直接运用定理3，也可先经过行列式

的某些变换使其数字更简单结构更明了，再使用定理3来计算．

4.4 利用定理4计算行列式

定理3虽给出了计算行列式的一种方法，但计算过程相对繁琐，计算中涉及到多次求逆和矩阵相乘，同时也不易记忆．而定理4可以说是定理3的推论，在实际应用中定理4更常用．

下面将给出相关例子．

例6 计算例3所给的2n 阶行列式． 解 A 、C 如例3所给，H =

A B

，而且AC =CA ，则有 C D

ab -cd

H =AB -CD =

ab -cd

ab -cd

=(ab -cd ) n ．

注意：（1）这里并不需要a ≠0这个条件；（2）在用定理4计算高阶行列式时，A 和

C 有一个是n 阶单位矩阵或是n 阶数量矩阵时，那么计算方法会更简便．

例7 计算行列式

1111

122-3

． H =

1025

012

解 方法1[11]（利用定理4） 对H 进行分块

1

⎛A B ⎫H = C D ⎪⎪，

⎝⎭

其中

⎛11⎫⎛11⎫⎛10⎫⎛25⎫

⎪ ⎪ ⎪ ，，，A = B =C =D = 12⎪ 2-3⎪ 01⎪ 21⎪⎪． ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

显然A 可逆且AC =CA ，故H =AD -CB ， 所以

H =

35

=10． 4

方法2（化三角形法)

利用行列式的性质，将行列式H 化为三角形．

[**************]-3011-4011-4

H ===

10250-1140020

012

1

1

2

1

001

5

1111011-4==10． 0020000

方法3（降阶法)

5

11H =

[1**********]-301

=250-1210111

11-4

1-4

=-114

14

121

21

11-4

=02

0=5

2015

=10．

01

我们可以看到利用定理4计算例2的过程比利用定理3和其他方法计算时更简单．

4.5 利用定理5计算行列式

对于能用定理5求解的行列式，我们往往很容易看出来，而且分块也很简单．下面给出具体例子．

例8 计算行列式

0a b c

a 0c b

P =

b c 0a

c b a 0

的值．

解 方法1（利用定理5) 将对行列式P 进行分块，

P =

其中

A B B

A

，

⎛0a ⎫⎛b c ⎫A = a 0⎪⎪，B = c b ⎪⎪，

⎝⎭⎝⎭

则由定理5可得

P =

A B b a +c -b a -c

=A +B ⋅A -B =

B A a +c b a -c -b

=(a +b +c )(a +c -b )(a +b -c )(a -b -c ) ．

方法2（降解法)

将行列式P 按第一行展开，可得

a c b

a 0b

a 0c

P =a ⋅b 0a +b ⋅b c a -c ⋅b c 0 c a 0c b 0c b a

=-a (ab 2+ac 2-a 3) +b (b 3-bc 2-ba 2) -c (a 2c +b 2c -c 3)

=a 4+b 4+c 4-2a 2b 2-2a 2c 2-2b 2c 2 =(a +b +c )(a +c -b )(a +b -c )(a -b -c ) ．

方法3（列归一法)

将行列式的第2、3、4列都加到第1列．

a +b +c a b c a b c

a +b +c 0c b 0c b

P ==(a +b +c )

a +b +c c 0a c 0a a +b +c b a 0b a 0

1a b c

-a c -b b -c

0-a c -b b -c

=(a +b +c ) c -a -b a -c =(a +b +c )

0c -a -b a -c

b -a a -b -c

0b -a a -b -c

-a +b +c c -b b -c

=(a +b +c )

-b

a -c -b

-a +b +c a -c

=(a +b +c )(-a +b -c ) 0

-b

1c -b b -c a -c

0a -c -b

=(a +b +c )(-a +b -c )[b 2-(a -c ) 2]

=(a +b +c )(a +c -b )(a +b -c )(a -b -c ) ．

此题看似简单，但若是计算方法不佳，计算起来也不会轻松．比较上面三种方法，可以看到，利用定理5计算此题极大的简化了计算过程．

4.6 利用定理6计算行列式

在利用定理6计算n 阶行列式时，要根据具体情况，把原来行列式的元素组成的矩阵分成两部分，其中一部分是n 阶可逆矩阵A ，该矩阵一般为对角矩阵，那么其行列式和逆矩阵比较容易求出；另一部分是n 维列向量α和β组成的乘积αβT ．这种分法是利用定理6计算n 阶行列式的难点，需要有较强的观察力．

下面列举两个具体例子加以说明． 例9 计算行列式

a 1+b

a 2

a 3

a n a n a n a n +b

a 1a 1 a 1

a 2+b a 3 a 2a 3+b a 2

a 3

D =

．

解 方法1（利用定理6) 令

⎛b ⎫

⎪ b ⎪T T

，，， β=(1, 1, ⋅⋅⋅, 1) α=(a , a , ⋅⋅⋅, a ) A = 12n ⎪

⎪ b ⎪⎝⎭

则

⎛a 1⎛1⎫

⎪

a 1⎪

βαT = ⎪(a 1, a 2, a n )= 1

⎪ a 1⎪

⎝1⎝⎭

T

a 2 a n ⎫

⎪

a 2 a n ⎪

，

⎪

⎪

a 2 a n ⎪⎭

-1

而且D =A +βα，又由于A =b ，并且αA β=b

D =A +βα=A (1+αA β) =b (1+b

T

T

-1

n

-1

n T -1

∑a

i =1

n

i

，从而由定理4知，

n -1

∑a ) =b

i i =1

n

(b +∑a i ) ．

i =1

n

方法2（利用方阵特征值与行列式的关系) 令矩阵

a 2a 3⎛a 1+b

a 2+b a 3 a 1

A = a 1a 2a 3+b

a a 2a 3⎝1

a n ⎫

⎪

a n ⎪ a n ⎪，

⎪ ⎪ a n +b ⎪⎭

则

⎛a 1 a 1

A =bE n +

a ⎝1

a 2 a n ⎫

⎪

a 2 a n ⎪

=bE n +A n ．

⎪

⎪

a 2 a n ⎪⎭

n

显然，bE n 的n 个特征值为b , b , , b ，A n 的n 特征值为∑a i , 0, 0, , 0，故A 的特征值为

i =1

n

b +∑a i , b , b , , b ，由方阵特征值与对应行列式的关系知

i =1

D =b

n -1

n

(∑a i +b ) ．

i =1

方法3（化三角形法)

a 1+b

a 2a 3

a n a 1a 2+b a 3 a n

D =

a 1a 2a 3+b a n

a 1

a 2

a 3

a n +b

a 1+1a 2a 3

b b

a n =b n 1b 10 b 010

1 0

100 1∑n a i a 2a 3i =1b b b a n b =b n

10 0001 0

1

n

n

n

=b (∑a i b +1) =b n -1

(∑a i +b ) ．

i =1i =1

例10 计算行列式

x +a 1b 1

a 1b 2

a 1b n D =

a 2b 1x +a 2b 2 a 2b n

(n >1) ．

a n b 1

a n b 2

x +a n b n

解 当x =0时，D =0；当x ≠0时，设

⎛x A =

⎝

由此可得

⎫⎪

x ⎪T T

，， α=(a , a , , a ) , β=(b , b , , b ) 12n 12n ⎪ ⎪x ⎪⎭

⎛a 1⎫⎛a 1b 1

⎪ a 2⎪ a 2b 1

，αβT = ⎪(b 1, b 2, , b n ) =

⎪

a b a ⎪

⎝n 1⎝n ⎭

-1

a 1b 2a 2b 2 a n b 2

D =A +αβT

a 1b n ⎫

⎪

a 2b n ⎪

， ⎪ ⎪

a n b n ⎪⎭

再因A =x ，且βA α=x

n T -1

∑a b ，由定理6可得

i i i =1

n

D =A +αβ

T

=A (1+βA α) =x

T -1n -1

(x +∑a i b i ) ．

i =1

n

容易看出，运用定理6计算行列式也有一定的规律可循，计算这类行列式时一定要弄清它的结构，对行列式进行合理分块，这样计算过程会得到很大简化．

结束语

本文通过对分块矩阵性质及相关结论的研究，给出了部分运用分块矩阵计算行列式的方法．从上文的一些结论和给出的例子可以看出，分块矩阵在行列式计算中的应用很多，而且利用分块矩阵计算行列式，可以有效的简化计算．在实际运用的过程中，要根据行列式的结构特点，选择合适的方法，并对行列式合理的分块，将使该方法得到更广泛的应用．

参考文献

[1] 李师正. 高等代数解题方法现技巧[M].北京:高等教育出版社,2004

[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003

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[6] 高振兴. 矩阵分块与应用[J].辽宁师范大学学报,2011(06):157-160

[7] 王莲花，李念伟. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J].河南教育学院学报,2005(03):12-15 [8] 张燕. 分块矩阵行列式的性质及其应用[J].高等函授学报,2010(12):31-33

[9] 廖军. 分块矩阵求n 阶行列式的值[J].文山师范高等专科学校学报,2004(06):164-168 [10] 吕智颖，李晓红，石国庆. 分块行列式的第一降阶定理在行列式计算与证明中的应用[J].高师理科学刊,2005(2):11-13

[11] 彭丽清. 矩阵分块在行列式计算中的应用[J].忻州师范学院学报,2006(04):31-32

致谢

此论文完成之际，首先要感谢我的指导老师宋苏罗教授，从选题到完成论文的整个过程，宋老师倾注了大量心血，给予我极大的关心和帮助，无微不至的关心着我的论文进展程度，自始至终，论文都在宋老师的指导下不断完善． 毕竟“经师易得，人师难求”，希望借此机会向宋老师表示最衷心的感谢！也祝宋老师工作顺利，身体健康，万事如意！

此外，我还要向在我学习和生活中给予关心、支持和鼓励的所有老师、同学们表示衷心的感谢！ 最后感谢论文评审组的各位老师对我论文的评阅和提出宝贵的建议；感谢国内外学者的著作和论文给我的教导和启发！向所有关心、爱护和帮助过我的人表示衷心的感谢！