2015北京海淀高三上期中数学理(含答案)
海淀区高三年级第一学期期中练习
数学（理科）2014．11
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1}，B ={x ∈R -1≤x ≤2}，则A 1．设集合A ={x ∈R x ＞
B =（ ）
A ．⎡⎣-1, +∞) B ．(1, +∞) C ．(1,2] D ．⎡⎣-1,1) 2．已知向量a =(2, -1)，b =(3, x )，若a b =3，则x =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
3．若等比数列{a n }满足a 1+a 3=5，且公比q =2，则a 3+a 5=（ ） A ．10 B ．13 C ．20 D ．25
π⎫⎛
4．要得到函数y =sin 2x +⎪的图象，只需将函数y =sin 2x 的图象（ ）
3⎭⎝
ππ
个单位 B ．向左平移个单位 36ππ
C ．向右平移个单位 D ．向右平移个单位
36
A ．向左平移
1⎫，b =log 1，c =log 3，则（ ） 5．设a =⎛22 ⎪3⎝2⎭
1
3
A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．a ＞c ＞b D ．c ＞b ＞a 11
6．设a , b ∈R ，则“ab ＞0且a ＞b ”是“＜”的（ ）
a b
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
⎧⎪-x , x ＜0,
7．已知函数f (
x )=若关于x 的方程f (x )=a (x +1)有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围
x ≥0, 是（ ）
11
A ．[, +∞) B ．(0, +∞) C ．(0,1) D ．(0,)
22
8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，在同一个坐标系中，a n =f (n )及S n =g (n )的部分图象如图所示，则（ ）
A ．当n =4时，S n 取得最大值 B ．当n =3时，S n 取得最大值 C ．当n =4时，S n 取得最小值
D ．当n =3时，S n 取得最小值
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
i
，则z =________． 1-i
10．已知函数y =2x +a 的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是________．
9．设复数z =
11．⎰
n
-n
(x +sin x )dx =________．
20t
，则经过________h 后池水中药品的浓度达到最大． t 2+4
12．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg/L）随时间
t （单位：h ）的变化关系为C =
13．C =m A B n A +D mn 如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD =2DC ，若A ________．
(, ∈R )，则m -n =
A
B D C
14．已知函数f (x )=A sin (ωx +ϕ)（A ，ω，ϕ是常数，A ＞0，ω＞0）的最小正周期为π，设集合 M ={直线l |l 为曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0)) 处的切线, x 0∈[0,π]}，若集合M 中有且只有两条直线互相垂直，
则ω=________；A =________．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
已知函数f (x )=sin x -sin(x +) ．
3⎛π⎫
（Ⅰ）求f ⎪的值；
⎝2⎭
π
（Ⅱ）求f (x )的单调递增区间． 16．（本小题满分13分）
已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1=（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a n -n }的前n 项和S n ． 17．（本小题满分13分）
如图所示，在四边形ABCD 中，∠D =2∠B ，且AD =1, CD =3,
A
D
1
，且a 1，a 3，-a 2成等差数列． 2
cos B =
． （Ⅰ）求∆ACD 的面积；
（Ⅱ）若BC =，求AB 的长． 18．（本小题满分14分） 已知函数f (x )=2a In x -x 2+1．
（Ⅰ）若a =1，求函数f (x )的单调递减区间； +∞) 上的最大值； （Ⅱ）若a ＞0，求函数f (x )在区间[1，
+∞) 上恒成立，求a 的最大值． （Ⅲ）若f (x )≤0在区间[1，
19．（本小题满分13分） 已知数列{a n }的前n 项和S n =（Ⅰ）求a 1的值；
（Ⅱ）求证：(n -2)a n +1=(n -1)a n -1(n ≥2)； （Ⅲ）判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由． 20．（本小题满分14分）
11
y =f x C ) 处的切线． ()，为曲线：在点L
5x 2+16x +2312
（Ⅰ）求L 的方程；
n (1+a n )2
(n =1, 2,3, ⋅⋅⋅)．
设函数f (x )=
11
（Ⅱ）当x
512
（Ⅲ）设x 1, x 2, x 3∈R ，且满足x 1+x 2+x 3=-3，求f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)的最大值．
海淀区高三年级第一学期期中练习
数学（理）答案及评分参考 2014．11
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）D （3）C （4）B （5）B （6）A （7）D （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9
（10）0 （11）0 1 2
（12）2 （13）-2 （14）2；三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）f () =sin
π
2πππ11
-sin(+) =1-=． ……………… 3分 22322
（Ⅱ）f (x ) =sin x -sin(x + =sin x -(sinx cos
π
) 3
ππ
+cos x sin ) ……………… 5分 33
=sin x -(sin x +
1
21πx ) =sin x x =sin(x -) ． 23
ππ
, 2k π+](k ∈Z ) ， 22
……………… 9分 函数y =sin x 的单调递增区间为[2k π- 由2k π- 得2k π-
πππ
≤x -≤2k π+(k ∈Z ) ， ……………… 11分 232
π5π≤x ≤2k π+(k ∈Z ) ． 66
π5π
, 2k π+](k ∈Z ) ． ……………… 13分 66
所以 f (x ) 的单调递增区间为[2k π-
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 a 1, a 3, -a 2成等差数列，
所以 2a 3=a 1-a 2． ……………… 2分
设数列{a n }的公比为q (q >0) ，由a 1=
1
可得2
111
2⨯q 2=-q ， ……………… 4分
222
即2q 2+q -1=0． 解得：q =
所以 a n =
1
或q =-1（舍）． ……………… 5分 2
11n -11
⨯() =n ． ………………7分 222
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a n -n = 所以 S n = =
1
-n ． n 2
+
1
-n ………………8分 n 2
-n ………………9分
111
-1+2-2+3-3+222
+
111+2+3+2221
-1-2-3-n 2
11(1-n )
-n (n +1) =1-1-n (n +1) ． ……………… 13分 =n 2221-2
（
17）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 ∠D =2∠B ，cos B =
1
．
……………… 3分
3
2
所以 cos D =cos 2B =2cos B -1=-
因为 ∠D ∈(0,π) ， 所以 sin D ==因为 AD =1, CD
=3， 所以 △ACD 的面积S =
……………… 5分
3
11AD ⋅CD ⋅sin D =⨯1⨯3⨯= 223
……………… 7分
222
（Ⅱ）在△ACD 中，AC =AD +DC -2AD ⋅DC ⋅cos
D =12．
所以 AC =
……………… 9分 因为 BC =AC AB
=， ……………… 11分 sin B sin ∠ACB
所以
AB AB AB ====
sin(π-2B ) sin 2B 2sin B cos B 所以 AB =4． ……………… 13分 （18）（共14分）
解：（Ⅰ）当a =1时，f (x ) =2ln x -x 2+1．
2-2(x 2-1)
f '(x ) =-2x =，x >0． ……………… 2分
x x
-2(x 2-1)
x
因为 x >0，
所以 x >1． ……………… 3分 所以 函数f (x ) 的单调递减区间是(1,+∞) ． ……………… 4分
2a -2(x 2-a )
（Ⅱ）f '(x ) =, x >0． -2x =
x x
令f '(x ) =0，由a >
0，解得x 1=
x 2=． ……………… 5分 ①
当1，即0
所以 函数f (x ) 在区间[1,+∞) 上的最大值为f (1)=0； ……………… 7分 ②
当>1，即a >1时，x 在[1,+∞) 上变化时，f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表
所以 函数f (x )
在区间[1,+∞) 上的最大值为f =a ln a -a +1．
……………… 10分 综上所述：当0
) 上的最大值为f (1)=0； 当a >1时，函数f (x ) 在区间[1,+∞) 上的最大值为f =a ln a -a +1． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0
……………… 11分
当a >1时，由于f (x ) 在区间[1, a ]上是增函数， 所以 f (a ) >f (1) =0, 即在区间[1, +∞) 上存在x =
f (x ) >0．
……………… 13分 综上所述，a 的最大值为1． ……………… 14分
（19）（共13分）
（Ⅰ）解：由题意知：S 1=
1+a 11+a 1
，即a 1=． 22
解得：a 1=1． ……………… 2分 （Ⅱ）证明：因为 S n = 所以 S n -1=
n (1+a n )
(n =1, 2,3, ) ， 2
(n -1)(1+a n -1)
（n ≥2）． ……………… 4分
2
因为 a n =S n -S n -1（n ≥2）． ……………… 6分 所以 a n =
na n +1-(n -1) a n -1
，即(n -2) a n +1=(n -1) a n -1(n ≥2) ．
2
……………… 7分
（Ⅲ）数列{a n }是等差数列．理由如下： ……………… 8分 又S n -2=
(n -2)(1+a n -2)
（n ≥3），由（Ⅱ）可得：
2
(n -1) a n -1+1-(n -2) a n -2
（n ≥3）． ……………… 9分
2
a n -1=S n -1-S n -2=
所以 a n -a n -1=
na n -2(n -1) a n -1+(n -2) a n -2
，
2
即(n -2) a n -2(n -2) a n -1+(n -2) a n -2=0． ……………… 11分 因为 n ≥3，
所以 a n -2a n -1+a n -2=0，即a n -a n -1=a n -1-a n -2（n ≥3）．
所以 数列{a n }是以1为首项，a 2-1为公差的等差数列． ……………… 13分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）f '(x ) =-所以 f '(-1) =-
10x +16
．
(5x 2+16x +23) 2
1． 24
11
所以 L 的方程为y -1=-1(x +1) ，即y =-x +． ……………… 3分
24241224
11
（Ⅱ）要证除切点(-1, ) 之外，曲线C 在直线L 的下方，只需证明∀x ∈(-∞, -1) (-1, -) ，
125
111
恒成立．
5x 2+16x +232424
因为 5x 2+16x +23>0，
132
(-1, -) ，5x +11x +7x +1
5
……………… 5分
1
设g (x ) =5x 3+11x 2+7x +1 (x ≤-).
5
则g '(x ) =15x 2+22x +7=(x +1)(15x +7) ．
7
令g '(x ) =0，解得x 1=-1，x 2=-． ……………… 6分
15
1
当x 在(-∞, -]
上变化时，g '(x ), g (x )的变化情况如下表
所以 只需证明∀x ∈(-∞, -1)
所以 ∀x ∈(-∞, -1)
132
(-1, -) ，5x +11x +7x +1
5
111
（Ⅲ）（ⅰ）当x 1
555
由（Ⅱ）可知：f (x 1) =
111
≤-x +， 1
5x 12+16x 1+232424
111111
f (x 2) =≤-x +，． f (x ) =≤-x +233
5x 22+16x 2+2324245x 32+16x 3+232424
三式相加，得f (x 1) +f (x 2) +f (x 3) ≤-因为 x 1+x 2+x 3=-3，
11
(x 1+x 2+x 3) +． 248
1
所以 f (x 1) +f (x 2) +f (x 3) ≤，且当x 1=x 2=x 3=-1时取等号． ……………… 11分
4
1
（ⅱ）当x 1, x 2, x 3中至少有一个大于等于-时，
5
18511851
不妨设x 1≥-，则5x 12+16x 1+23=5(x 1+) 2+≥5(-+) 2+=20，
555555
8515185151
因为 5x 22+16x 2+23=5(x 2+) 2+≥，5x 32+16x 3+23=5(x 3+) 2+≥，
5555551551
所以 f (x 1) +f (x 2) +f (x 3) ≤++
2051514
1
综上所述，当x 1=x 2=x 3=-1时f (x 1) +f (x 2) +f (x 3) 取到最大值．……………… 14分
4