概率统计试题及答案(本科完整版)
填空题（每题2分，共20分）
A1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . A3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，
ABC ABC ABC
。
P (A ⋃B ) =_0. 65__,P (B |A ) =_0. 5__
A4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 A5、若随机变量
X
在区间
(a , b )
上服从均匀分布，则对
a
以及任意的正数
e >0
，必有概率
⎧e
, ⎪⎪b -a
P {c
⎪b -c , ⎪⎩b -a
A6、设
c +e
c +e >b
X
服从正态分布
2
N (μ, σ) ，则Y =3-2X ~
2 A7、设X
~B （n , p ), 且E X ＝12，D X ＝8，则n =_36_,p =__
A8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码。则X
的数学期望
E (X ) =
。
A9、设随机变量(X , Y ) 的分布律为
则条件概率
P {X =3|Y =2}=
2/5 .
2
2
2
A10、设
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
X 1, , X 12来自正态总体N (0, 1) , Y = ∑X i ⎪+ ∑X i ⎪+ ∑X i ⎪
⎝i =1⎭⎝i =5⎭⎝i =9⎭
4812
, 当常数k
时，kY 服从
χ
2
分布。
A 二、计算题（每小题10分，共70分）
A1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率 （2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率
解：以A j 表示“第j 台机器需要人看管”，j =1，2，3，则:
P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得
(1)P (A 1A 2A 3)=P (A 1)⋅P (A 2)⋅P (A 3)=0. 9⨯0. 8⨯0. 85=0. 612
(2)P (A 1⋃A 2⋃A 3)=1-P (A 1A 2A 3)=1-0. 1⨯0. 2⨯0. 15=0. 997
(3)P (A 1A 2A 3 A 1A 2A 3 A 1A 2A 3 A 1A 2A 3)
=P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)=0. 1⨯0. 8⨯0. 85+0. 9⨯0. 2⨯0. 85+0. 9⨯0. 8⨯0. 15+0. 9⨯0. 8⨯0. 85=0. 068+0. 153+0. 108+0. 612=0. 941
A2、甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？
解：以W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”， W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”，
则所求概率为
P (W 乙)=P (W 甲W 乙 R 甲W 乙)=P (W 甲W 乙)+P (R 甲W 乙)
=P (W 甲)P (W 乙甲)+P (R 甲)P (W 乙R 甲
)
C 1
1
1
1
=n N +1C
1
⋅
C n +m C
1
+
C m N +M +1
C
1⋅
C N n +m
C
1
N +M +1
=
n (N +1)+m N
n +m )N +n
(n +m )(N +M +1)
=
((n +m )(N +M +1)
⎧
A3、设随机变量X 的概率密度为
f (x ) =⎪
⎨A cos x , |x |
, 试求（1）常数A ;
⎪⎩
0 , 其它(2) 分布函数
F (x ) ; (3) 概率P { 0
4 }。
+∞π
解：（1） 由归一性可得：1=
⎰
f
-∞
(x )dx
=
⎰
2A cos xdx =2A
，从而
A =-
π
2
2
⎧x
⎪⎰-∞f (x )dx , x
-∞
f (x )dx =⎪
x ⎨⎰-
πf (x )dx ,
-π
x
⎪2
2
≤2
⎪x
⎪⎩⎰πf (x )dx , x ≥π
2
⎧⎪0,
x
2(sin x +1), -π
⎪2
≤x
2
⎪⎩
1, x ≥π
2
(
3).P { 0
A4、（1）已知X 的分布律为
π
4
}=
⎰
4
12
cos xdx =
4
计算
2
（5分） D (1-2X ) 。
解：
D (1-2X ) =4D (X
2
2
E X )⎤)=4{E (X )-⎡⎣(⎦
4
2
2
}
⎛115225⎫235
=4 -⎪=
16
⎭4⎝4
（2）、设
X ~N (0, 1) ，求Y =X
⎧
f (y ) =⎩
2
的概率密度. （5分）
y 2
0,
-
, y >0
解：Y 的密度函数为：
y ≤0
A5、设(X
, Y ) 的概率密度为
⎧e -(x +y ) , x >0, y >0
f (x , y ) =⎨
0 , 其它⎩
由
.
(1) 试求分布函数(2) 求概率
F (x , y ) ；
X
轴, Y 轴以及直线
P {(x , y ) ∈G }其中区域G
x +y =1所围成.
x >0, y >0其他
解:
(1).F (x , y )=
⎰⎰
-∞
x y -∞
⎧x y e -(x +y ) dxdy ,
⎪
f (x , y )dxdy =⎨⎰0⎰0
⎪0, ⎩
-x -y
⎧⎪e -1e -1, =⎨
0, ⎪⎩
()()
x >0, y >0其他
(2).P {(x , y ) ∈G }=
A6、设二维随机变量(X 论随机变量
⎰⎰
G
f
(x , y )dxdy =
⎰
10
⎡1-x e -(x +y ) dy ⎤dx =1-2e -1
⎢⎥⎣⎰0⎦
⎧k (1-x ), 0
, 求常数k , Y ) 的概率密度为f (x , y ) =⎨
0, 其它⎩
+∞
+∞-∞
及边缘概率密度. 并讨
X , Y
的相互独立性。
解：由归一性知：1=
⎰⎰
-∞10
f (x , y ) dxdy =
x 0
⎰⎰
0
k (1-x )dxdy
=k ⎰dx ⋅⎰
(1-x )dy
=
16
k
∴k =6
f X (x )=
⎰
+∞-∞
⎧6x 1-x dy ，0
()⎪
=⎨f (x , y ) dy =⎨⎰0
0，其他⎩⎪0，其他⎩
f Y
(y )=⎰-∞
+∞
2⎧611-x dx ，0
)⎪⎰y (⎪3(y -1)，0
f (x , y ) dx =⎨=⎨
0，其他⎪⎪⎩0，其他⎩
显然 A7、设总体
f (x , y ) ≠f X (x )⋅f Y
(y )，故X 与Y 不相互独立。
1
X
的概率密度为
f (x ) =, 0≤x ≤1, 其中θ>0
为未知参数. 若
X 1, , X n
是来自母
⎪⎩0
,
其它
体的简单子样，试求θ的矩估计与极大似然估计.
1解：（1） 令
X =E X =⎰
1
d x 0
⎛ θˆ= X ⎫
2
解得θ的矩估计为
⎝1-X ⎪
⎭
n
n
n
（2）似然函数
L (
θ)=
∏
1
)=θ2∏x
1
i =1
i =1n
对数似然函数
ln L (
θ)=
n 2
ln θ+
1
)∑ln x
i
i =1
∂ln L -1n
令
(θ)
n 2
∂θ
=
2θ
+
12
θ
∑ln x
i
=0
i =1
2
解得θ的极大似然估计为
θˆ=
n
n
2
⎛ ln x ⎫
⎝∑i ⎪i =1⎭
A 三、证明题（每题5分，共10分） A 1、
X 1, X 2为来自总体X 的样本，证明当a +b =1时，aX 1+bX 2为总体均值E (X ) 的无偏估计。
证明：设总体均值
E (X ) = μ，由于X 1, X 2为来自总体X 的样本，
因此 E (X 1)=E (X 2)=μ
而 aX 1
+bX 2为总体均值E (X ) 的无偏估计，故应该有
E (aX 1+bX 2)=aE (X 1)+bE (X 2)=(a +b )μ=μ
从而 a +b =1
A 2、设
X , Y
是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为λ1, λ2的泊松分布，证明
Z =X +Y
服从参数为λ1+λ2的泊松分布。
证明：由题知 X ~P (λY ~P (λ-λ1
λm
n
1
λ2
λ2
1), 2)，即 P {X =m }=e
m !
, P {Y =n }=e
-n !
令Z
=X +Y ，且由
X , Y
的相互独立性可得：
k
k
i
k -i
P {Z =k }=P {X +Y =k }=
∑P {X
=i , Y =k -i }=
∑e
-λ1
λ1
⋅e
-λ2
λ2
m =0
i =0
i !
(k -i )!
=
即 Z
e
-λ1
e
-λ2
k
k !
∑i !
i =0
k !
(k -i )!
λ1λ2
i k -i
=
(λ1+λ2)
k !
k
e
-(λ1+λ2)
, k =0, 1,...
=X +Y
服从参数为λ1+λ2的泊松分布
B 一、填空（每小题2分，共10分）
B1. 若随机变量
的概率分布为
，，则__________。
B2. 设随机变量
B3. 设随机变量
B4. 设随机变量
B5. 若随机变量
，且
, 则
，则
的概率分布为
，则__________。
__________。
__________。
则 __________。
B 二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分) B1. 设 与 分别是两个随机变量的分布函数，
为使
量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（
）。
是某一随机变
(A ) (B
)
(C ) (D )
B2. 设随机变量的概率密度为，则（ ）。
(A )
(B ) (
D )
(C )
B3. 下列函数为随机变量分布密度的是( ) 。
(A )
(B )
(C ) (D )
B4. 下列函数为随机变量分布密度的是( ) 。
(A ) (B )
(C )
B5. 设随机变量
的概率密度为
(D ) ，
，则
的概率密度为（ ）。
(A )
(B )
(C )
(D )
B6. 设
服从二项分布，则（ ）。 (A )
(B )
(C )
(D
)
B7. 设
，则
（ ）。
(A )
(B )
(C )
(D )
B8．设随机变量
的分布密度为
, 则（ ）。
(A ) 2 (B ) 1 (C ) 1/2
(D ) 4
B9．对随机变量来说，如果
，则可断定
不服从（ ）。
(A ) 二项分布 (B ) 指数分布 (C ) 正态分布 (D ) 泊松分布
B10．设
为服从正态分布的随机变量，则 ( ) 。
(A ) 9 (B ) 6 (C ) 4 (D ) -3
B 三、计算与应用题（每小题8分，共64分）
B1. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。 求抽取次数的概率分布。
B2. 车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。 求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？
（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？
B3. 某种电子元件的寿命
是随机变量，其概率密度为
求（1）常数；
（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。
B4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且
。
求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；
（2），使电池寿命在
内的概率不小于0.9。
B5. 设随机变量。 求
概率密度
。
B6. 若随机变量服从泊松分布，即，且知
。
求
。
B7. 设随机变量的概率密度为。
求
和。
B8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，
求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
求（1）
的概率分布；
（2）
。
B 四、证明题（共6分） 设随机变量服从参数为2的指数分布。
证明：在区间
上，服从均匀分布。
试卷二 参考答案
一、填空 1. 6
由概率分布的性质有
即
，
得
。
2.
，则
3. 0.5
4.
5. 0.25
由题设，可设
即
则
二、单项选择 1. (
)
由分布函数的性质，知
则
，经验证只有
满足，
选
2. (
)
由概率密度的性质，有
3. (
)
由概率密度的性质，有
4. (
)
由密度函数的性质，有
5. (
)
是单减函数，其反函数为
，求导数得
由公式，
的密度为
6. (
) 由已知
服从二项分布
，则
又由方差的性质知,
7. (
)
于是
8. (A ) 由正态分布密度的定义, 有
9. (D )
∴如果时, 只能选择泊松分布. 10. (D )
∵ X 为服从正态分布N (-1, 2), EX = -1 ∴ E (2X - 1) = -3 三、计算与应用题 1. 解：
设
为抽取的次数
的可能取值为：
只有个旧球, 所以由古典概型，有
设 表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，
，于是
（1）（2）
的最可能值为 ，即概率
达到最大的
3. 解：
（1）由
可得
（2
）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用
表示“线路正常工作”，则
而
故
4. 解：
（1）
（查正态分布表）
（2）由题意
即
5. 解
:
查表得
。
对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，
又由题设知
故由公式知：
6. 解
:
，则
而由题设知
即
可得
故
查泊松分布表得，
7. 解:
由数学期望的定义知,
而
故
8. 解:
（1）
的可能取值为
且由题意, 可得
四、证明题 证明：
由已知
则
又由
得
连续，单调，存在反函数
且
当时，
则
故
即
试卷三
C 一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分） C1. 设二维随机变量
则
__________，
__________.
C2. 设随机变量和
则 __________. C3. 若随机变量
与
相互独立，且
，
，
则 服从__________分布. C4. 已知
与
则 __________. C5. 设随机变量
的数学期望为
、方差
，则由切比雪夫不等式有
__________.
C 二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)
C1. 若二维随机变量
则系数
（ ）.
的联合概率密度为
，
(A )
(B )
(C )
C2. 设两个相互独立的随机变量
和
分别服从正态分布
(D )
和
，则下列结论正确的是（ ）.
(A )
(B )
(C )
(D )
C3. 设随机向量(X , Y) 的联合分布密度为, 则（ ）.
(A ) (X , Y) 服从指数分布 (B ) X 与Y 不独立
(C ) X 与Y 相互独立 (D ) cov(X , Y) ≠0 C4. 设随机变量
(A
) (C )
相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（ ）.
(B )
(D )
C5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布, 且
, 则下列各式中成立的是（ ）.
(A )
C6．设随机变量
(A )
(C )
C7. 若随机变量系数
(A ) C8. 设
(A )
(B )
(C )
(D )
C9. 设
是
(B )
(C )
(D )
的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（ ）.
的线性函数，
(B )
(D )
且随机变量
存在数学期望与方差，则
与
的相关
（ ）. (B )
(C )
(D )
与
是
个相互独立同分布的随机变量，
，
不相关的充要条件是（ ）.
是二维随机变量，则随机变量
则对于，有（ ）.
(A )
(B )
(C )
C10. 设
(D )
, 为独立同分布随机变量序列，且X i ( i = 1,2,„) 服从参数为λ的指数分布，正态分布N ( 0, 1 )
的密度函数为, 则（ ）.
C 三、计算与应用题（每小题8分，共64分） C1. 将2个球随机地放入3个盒子，设求二维随机变量C2. 设二维随机变量
表示第一个盒子内放入的球数，
表示有球的盒子个数.
的联合概率分布. 的联合概率密度为
（1）确定（2）求
C3. 设
的联合密度为
的值；
.
（1）求边缘密度（2）判断C4. 设
与
和
是否相互独立. 的联合密度为
；
求C5. 设求（1）（2）
的概率密度.
，
的联合概率密度；
；
，且
与
相互独立.
（3）.
C6. 设
的联合概率密度为
求及.
C7. 对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5. 求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.
C8. 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.
问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.
C 四、证明题（共6分） C 设随机变量的数学期望存在，证明随机变量
与任一常数
的协方差是零.
试卷三 参考解答
一、填空
1.
由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得
2.
3.
相互独立的正态变量之和仍服从正态分布
且
，
，
∴
4.
5.
二、单项选择
1. (B )
由
即
∴选择(B ) .
2. (B )
由题设可知，
故将
标准化得
∴选择(B ) .
3. (C )
∴选择(C ) .
4. (C ) ∵随机变量
相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布, 则
∴选择(C ) .
5. (A )
∴选择(A ) . 6. (A )
∵由期望的性质知
∴选择(A ) .
7. (D )
∴选择(D ) .
8. (B )
与
不相关的充要条件是
即
则
∴选择(B ) . 9. (C )
∴选择(C ) .
10. (A )
X i ( i = 1,2,„) 服从参数为λ的指数分布，则
故
∴选择(A ) . 三、计算与应用题 1. 解
显然
的可能取值为；的可能取值为
注意到将
个球随机的放入
个盒子共有
种放法, 则有
即
的联合分布律为
2. 解
（1）由概率密度的性质有
可得
（2）设
，则
3. 解
（1）
即
即
，
（2）当
时
故随机变量与
不相互独立.
4. 解
先求的分布函数显然，随机变量
的取值不会为负，因此
当
时，
，
当
时，
故
的概率密度为
5. 解
（1）
与
相互独立
的联合密度为
（2）
（3）
解
于是
由对称性
6.
故
.
7. 解
设
表示第次炮击命中目标的炮弹数，
由题设，有
， 则次炮击命中目标的炮弹数
，
因
相互独立，同分布，则由中心极限定理知
近似服从正态分布
于是
21