2011年中考数学压轴题精选汇编:一元二次方程
一元二次方程
1.已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x-(2k+3)x+k+3k+2=0的两个实数根,第三边长为5.
(1)当k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形;
(2)当k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周长.
22
2.已知△ABC的三边长为a、b、c,关于x的方程x-2(a+b)x+c+2ab=0有两个相等的
2实数根,又sinA、sinB是关于x的方程(m+5)x-(2m-5)x+m-8=0的两个实数根.
(1)求m的值;
(2)若△ABC的外接圆面积为25π,求△ABC的内接正方形的边长.
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3.已知关于x的方程x-(m+n+1)x+m=0(n≥0)的两个实数根为α、β,且α≤β.
(1)试用含有α、β的代数式表示m和n;
(2)求证:α≤1≤β;
(3)若点P(α,β)在△ABC的三条边上运动,且△ABC顶点的坐标分别为A(1,2),B 215(,1),C(1,1),问是否存在点P,使m+n=?若存在,求出点P的坐标;若不存24
在,请说明理由.
4.请阅读下列材料:
问题:已知方程x+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍. 2
y解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=. 2
把x=
yy2y代入已知方程,得()+-1=0. 222
化简,得y+2y-4=0.
2故所求方程为y+2y-4=0.
2
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式);
(1)已知方程x+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,
则所求方程为:___________________; 2
(2)已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
225.已知关于x的一元二次方程x-2x-a-a=0(a>0).
(1)证明这个方程的一个根比2大,另一个根比2小;
(2)如果当a=1,2,3,„,2011时,对应的一元二次方程的两个根分别为α1、β1,α2、
11111111β2,α3、β3,„,α2011、β2011,求 ++++++„++的值. α1β1α2β2α3β3α2011β2011
2
6.已知关于x的一元二次方程x-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0,且a>b>c>0.
(1)若方程有实数根,求证:a,b,c不能构成一个三角形的三边长;
(2)若方程有实数根x0,求证:b+c<x0<a; 2
(3)若方程的实数根为6和9,求正整数a,b,c的值.
7.已知方程x+2ax+a-4=0有两个不同的实数根,方程x+2ax+k=0也有两个不同的实
2数根,且其两根介于方程x+2ax+a-4=0的两根之间,求k的取值范围.
28.已知关于x的方程x-4|x|+3=k.
(1)当k为何值时,方程有4个互不相等的实数根?
(2)当k为何值时,方程有3个互不相等的实数根?
(3)当k为何值时,方程有2个互不相等的实数根?
(4)是否存在实数k,使得方程只有1个实数根?若存在,求k的值和方程的根;若不存在,请说明理由.
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9.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x+4(m-1)x+m=0的两个非零实数根,则x1与x2能否同号?若能同号,请求出相应的m的取值范围;若不能同号,请说明理由. 22
10.已知α、β为关于x的方程x-2mx+3m=0的两个实数根,且(α-β)=16,如果关于x
2的另一个方程x-2mx+6m-9=0的两个实数根都在α和β之间,求m的值.
22
11.已知a为实数,且关于x的二次方程ax+(a+1)x-a=0的两个实数根都小于1,求这两个实数根的最大值.
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12.求实数a的取值范围,使关于x的方程x+2(a-1)x+2a+6=0
(1)有两个实根x1、x2,且满足0<x1<1<x2<4;
(2)至少有一个正根.
213.已知x1、x2是方程x-mx-1=0的两个实数根,满足x1<x2,且x2≥2.
(1)求m的取值范围;
x+mx+m(2)若+=2,求m的值. x1-mx2-m
22m14.已知关于x的方程x-(m-2)x-=0(m≠0) 4
(1)求证:这个方程总有两个异号实根;
(2)若这个方程的两个实根x1、x2满足|x2|=|x1|+2,求m的值及相应的x1、x2. 2
15.已知△ABC的一边长为5,另两边长恰是方程2x-12x+m=0的两个根,求m的取值范围.
2
16.已知:α,β(α>β)是一元二次方程x-x-1=0的两个实数根,设s1=α+β,s2=α
2+β,„,
nn2222sn=α+β.根据根的定义,有α-α-1=0,β-β-1=0,将两式相加,得(α+β)-(α+β)-2=0,于是,得s2-s1-2=0.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)利用配方法求α,β的值,并直接写出s1,s2的值;
(2)猜想:当n≥3时,sn,sn-1,sn-2之间满足的数量关系,并证明你的猜想的正确性; 22
1+581-58
(3)根据(2)中的猜想,求()+(2)的值. 2
17.已知方程(x-1)(x-2x+m)=0的三个实数根恰好构成△ABC的三条边长.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当△ABC为直角三角形时,求m的值和△ABC的面积.
2