有关重复的排列组合问题
有关重复的排列组合问题
我们常见的排列、组合问题,其中的元素通常是不可重复的,下面我们看几类可重复的排列、组合问题。
一. 有重复排列–––分步计数原理
例1. 4个同学争夺3项竞赛冠军,冠军获得者共有几种可能情况?
解:完成这件事情可分三步:(1)第一项冠军有4种可能;(2)第二项冠军有4种可能;(3)第三项冠军有4种可能。所以可能情况有:4×4×4=64(种)。
一般地,从n 个不同元素里取出允许重复的m 个元素,按一定顺序排成一列,那么,第1、第2、…、第m 个位置上选取元素的方法都有n 种。由分步计数原理得每次从n 个不同元素里取出允许重复的m 个元素的排列数为: m m * N =n ⋅n ⋅n ⋅ ⋅n =n (m , n ∈N , m ≤n )
相关练习:
用0,1,2,…,9这10个数字可组成多少个8位数字的电话号码?(108)
二. 不尽相异元素的排列–––组合法
例2. 小麦、大麦品种各1种,种在5种不同土质的试验田里,3块种小麦,2块种大麦,有多少种种法?
解:这5个不尽相异的元素有3个相同,另2个相同,所以共有:C 5=C 5=10(种)种法。
一般地,在n 个不尽相异的元素里,如果有m 1个元素相同,又有m 2个元素相同,并且m 1+m 2=n ,那么这n 个元素的不同排列种数N =C n 1=C n 2。
三. 相同元素分组––––隔板法
例3. 5个相同小球放到4个不同盒子里,每盒至少有1个,共有多少种放法? 解法1:每盒先放入1球,剩下1球任选1盒,共有:C 4=4(种)放法。 解法2:(第一隔板法)
5个小球可形成6个空隙,由于每盒至少放1个小球,所以除去两边空隙还剩4个空,只要在这4个位置上隔进3个板,即可满足要求。所以有:C 4=4(种)放法。
例4. 将5个相同小球放到4个不同盒子里(盒子可空),共有多少种放法?
解法1:(分类法)
第一类:全部放入1个盒子里,有:C 4=4(种)放法;
第二类:放入2个盒子里,有:C 4⨯4=24(种)放法;
第三类:放入3个盒子里,有:C 4⨯6=24(种)放法;
第四类:放入4个盒子里,有4种放法。
所以,共有:4+24+24+4=56(种)放法。
解法2:(第二隔板法)
将4个盒子与5个小球看成9个相同元素,除去两边形成8个空隙,将这8个空隙隔进3个板,即有:C 8=56(种)放法。
332131m m 32
一般地,相同元素分组,可用隔板法。如果每组至少一个元素可用第一隔板法,如果没有要求可用第二隔板法。
相关练习:
1. 某校准备参加2006年全国数学联赛,把10个名额分给高三8个班,每班至少1人,不同的分配方案有几种?(C 9=36)
2. 某校准备参加2006年全国数学联赛,把10个名额分给高三8个班,不同的分配方案有几种?(C 17=19448)
四. 平均分组问题––––平均分给几组,除以几的阶乘
例5. 将6个同学平均分成3组有多少种分法?
错解:分法有:C 6⨯C 4⨯C 2=90(种)
分析:若将6个同学编号,假如分组情况如下:1、2;3、4;5、6。先挑出1、2与后挑出1、2是同一情况,没有先后顺序差别,上面的解法产生了重复。 22277
C 62⋅C 42⋅C 22 正解:分法有:=15(种) 3!
一般地,把不同的元素平均分成几组,就除以几的阶乘。
相关练习:
将5个不同礼品分成3组,则有几种分法?
1C 53⋅C 2C 52⋅C 32 (+=25) 2! 2!