广东2012语文数学高考答案

2012广语文解析卷（参考版）

1．【答案】B

【解析】本题重点考察考生识记现代汉语普通话常用字字音的能力。A 项wéi／wéi、guō／tián、mú／mó；B 项q īng ／j īng 、y ī／q ǐ、ch ù／ch ǔ；C 项q í／j ī、g ǎn ／k àn 、j üé／j üé；D 项y àn ／y īng 、 x ùn ／x ùn 、 c ān ／c ēn 。 2. 【答案】A 21世纪教育网

【解析】本题重点考察考生正确辨析和使用成语的能力。A 项“泾渭分明”比喻界限清楚或是非分明。

可改为“一清二楚”；B 项“肆意”意思为纵情任意，不受拘束。后多含贬意，谓不顾一切，由着自己的性子。用于此处，符合句意； C 项“忤逆”，指违抗；冒犯。D 项“颐养天年”，指保养年寿，安享晚年。语段对人类的描述使用“堕落”“坟墓”直至“不能安享晚年”，保持手法的连贯性，使用合理。 3．【答案】B

【解析】本题重点考察考生正确辨析病句的能力。A 项句式杂糅，研究发现的是后文的三种情况，而“引起广泛关注”的主语是前文的中的三种情况，此“三种情况”既已经作为“研究发现”的宾语，则不

可再作引起的主语，可去掉最后一句；C 项关联词语使用不当，本句主语为“茶汤”，前一个分句的主语是“茶叶”，将“即使”调至“茶叶”的前面，使之成为让步状语；D 项逻辑顺序错误，“排查在前、排险在前、预警在前”应该改为“预警在前、排查在前、排险在前”。 4．【答案】C

【解析】本题重点考察考生语言表达连贯和文段逻辑顺序安排的能力。作此题宜结合排除法，先通读

语段，大致了解材料信息中心思想，再根据结构以及语意关系判断其先后顺序。④提出“人们的习见如何”总观点，①单独解释“艺术家”，乃“分说”的一部分，语段为“先总后分”的结构，所以，④应为最先；④先提及“艺术”后提及“科学”，所以，在分说“人们的习见”的部分，需要先阐明“艺术家”，后阐明“科学家”，因此①紧跟④；而这种观点是被反对的，因此，“这种观点”指的是④①⑥，接②顺理成章；接下来再按顺序分述艺术家与科学家的共同点；所以排序最恰当的是④①⑥②⑤③。 5．【答案】C

【解析】本题考察考生理解常见文言虚词在文中的含义的能力。做题时需要根据上下文，并结合语境来确定实词义项，力求做到“信达雅”。举，兴起，发动。 6．【答案】A

【解析】本题考察考生理解常见文言虚词在文中的含义的能力。A 项第一个“为”均是动词，成为；B 项第一个“之”是助词，的，第二个“之”是代词，沙洲阻水；C 项第一个“所”是名词，处所，第二个“所”是所字结构，不译；D 项第一个“以”是连词，表修饰，第二个“以”是介词，把。21世纪教育网

7．【答案】D

【解析】本题考察考生筛选和整合文中的信息的能力。在解答时，先要准确理解题干的要求，再用排除法；①表现陶澍政治操守；②表现陶澍应对水灾所采用的策略；⑤表现陶澍见义勇为的性格特征。 8．【答案】C

【解析】本题考察考生对浅易文言文的理解和筛选文中的信息能力。由原文“先是洪泽湖决，漕运梗阻，协办大学士英和陈海运策，而中外纷议挠之”可知，首先倡导了以海运代漕运的是协办大学士英

和而非陶澍。

9．【答案】（1）收成不好（就把粮食储存起来）以备赈灾，等到丰年再捐出粮食，此法大略像“社仓法”，但是去除了“社仓法”的弊端。

（2）（陶澍）创作编辑了《安徽通志》一书，表彰忠臣孝子节妇烈女，以此来勉励人们崇尚好的风气和沿袭好的习俗。

（3）（陶澍）晚年的时候打算在淮南推行淮北的政策，后来生病且中风麻痹，没有能实施这政策。 【解析】本题考察考生对浅易文言文的理解能力。翻译时要结合上下句读懂大意，抓住古汉语特殊句

式及重点实词和虚词等。（1）“歉”，粮食歉收；“乐岁”，丰年；“去”，除去；（2）“旌表”，用表彰；“以”，目的连词，用来；翻译时需要补充被省略主语；（3）“已”，后来，“风”，中风，“竟”，完成。此句中“于淮南”句为倒装句，翻译时需要调整到正常语序。

文言文参考译文

陶澍，字云汀，是湖南安化人。嘉庆七年进士，被选任庶吉士（官名），传授编纂修书知识，后升任御史、给事中。陶澍弹劾治河的工人不合格而被滥予任用，以及外省吏治的诸多积久相沿的弊病。视察南漕时，革除不好的惯例，招工疏浚京口运河。二十四年，出任川东的道台（官名）。总督蒋攸铦推荐陶澍的治理能力为四川第一。

道光三年，陶澍被提拔为巡抚。安徽公库款项，经过五次清查，都没有头绪。陶澍从任藩司开始，就核实档案，分别给他们弹劾的弹劾，赔偿的赔偿，豁免的豁免，于是三十多年的纠缠不清的事情，一下子就被厘清了。江边发生水灾，陶澍买了十万石的粮食赈灾，仔细核对赈灾的细目，受灾民众因此而受益。又怀远初次出现涨水，水流被沙洲堵塞，陶澍一并将它们凿开，并引导水流入淮河。淮河流经的地方，陶澍告诫民众修筑堤坝贮存河水，用来保障农业用水。每个县都在乡村设立储备粮仓，命令民众秋收后量力捐出公粮，捐粮不经过官吏之手，粮食不能出售，不能与别的商品交换，也不能借贷给别人，收成不好（就把粮食储存起来）以备赈灾，等到丰年再捐出粮食，此法大略像“社仓法”，但是去除了“社仓法”的弊端。

陶澍创作编辑了《安徽通志》一书，表彰忠臣孝子节妇烈女，以此来勉励人们崇尚好的风气和沿袭好的习俗。

道光五年，陶澍被调任到江苏任职。一开始洪泽湖决堤，漕运不通，协办大学士英和上书提出海运策略，但是朝廷内外纷纷议论并阻挠他。陶澍毅然承受了这个重任，亲自去上海筹措雇佣商船，他能体恤商家的艰难，所以得到了商人的热烈支持。海运开通之后，被皇帝重赏赐予花翎。

由于太湖水流不畅通，江苏多次遭遇水灾。陶澍上书说：“太湖下游在吴淞江和刘河、白茆河，其中吴淞江是最重要的。治理吴淞江又是以通海口为最重要。”于是把海运节省下来的二十余万的银两用于治理吴淞江，选择贤能之人来负责事务，到了道光八年竣工。陶澍当初巡视南漕时，就条分缕析陈述利害上奏皇帝，到这里就先疏通徒阳河，要依次发起刘河、白茆、练湖、孟渎这些工程。后来在总督任上，和巡抚林则徐戮力同心疏浚诸河，吴中人称他们做了利在数十年的好事，此语在《则徐传》中有详细记载。

陶澍晚年的时候打算在淮南推行淮北的政策，后来生病且中风麻痹，没有能实施这政策，后来咸丰年间才最终施行。道光十九年，逝世。临终奏表，皇帝下诏褒奖，称他“实心任事，不避嫌怨”。

陶澍见义勇为，胸无城府。用人能让他充分展示他的才能，在江南治理河水，漕运，管理盐铁贩卖上面成就斐然，也依赖王凤生、俞德源、姚莹、黄冕这些人的帮助。和左宗棠、胡林翼在未做官时就认识了，他们结为儿女亲家，他们后来全都成为一代名臣。

10．（1）诗的颔联在写景上用了多种表现手法，请指出其中一种并结合诗句简要分析．（3分）

【答案】①颔联运用了映衬（衬托，对比，烘托，渲染）、列锦的表现手法；②映衬类：朱、青，绿，白，颜色明丽喜人，相为映衬，烘托出一种清新的四月乡间独特的风貌，传达出诗人愉悦而闲适之情；或列锦类：颔联采用意象叠加的方式巧妙了将乡间独特物象樱桃，豆，草，鹅排列在一起，勾勒出一副生动的乡村春意盎然的图景，烘托静谧的气氛，表达了诗人的闲适而悠游的情怀。

【解析】本题考查考生对文学作品的表达技巧的鉴赏能力。考生要熟练掌握诗歌鉴赏中的各种表达技巧，答题时准确指出用了何种手法，并结合原诗分析答出此手法的表达效果及有效传递出作者怎样的情感，可采用“手法+分析+效果”的答题模式。

（2）“一晴生意繁”是什么意思？体现在诗中哪些地方？请简要分析．（4分）

【答案】①四月乍晴，万物复苏，争奇斗艳，一派生机，乡下进入农忙时节。②有樱桃绿草白鹅悦目，

有青豆配酒爽口，船行水上，轻快疾驰，有春风拂袖，诗人所见农户白天闭门，原是为了保养小蚕，由自然景物到社会场景，都呈现出欣欣向荣的“生意”（生机）。

【解析】本题考查考生文学作品的结构理解能力。首联点题并总领全诗，是对全诗的凝练的概括。 11．【答案】（1）有朋自远方来，不知而不愠；（2）是故弟子不必不如师，师不必贤于弟子； （3）大庇天下寒士俱欢颜，风雨不动安如山。（4）无从致书以观，每假借于藏书之家。

【解析】本题考查考生默写常见的名句名篇的能力。本题偏向于对初中诗歌的默写考查，考察范围广，考生需要在精准背诵的基础上，认真仔细地辨识形近字和易错字，如“愠”“是故”“庇”“假”“藏”等。只是难度较之往年高考，又低一档。 12．【答案】BD

【解析】A 项据原文第一段，“负起知识的责任”与“养成道德的勇气”均为“建立新的人生观”的前

提条件，而并非是后者的目的。C 项绝对化表述错误，原文是“体现负责”，并非“就是负责”；E 项是为了说明“对负责的思想负责”，根据当段中心句可知。 13．【答案】C

【解析】A 项在原文第二段，“知识是精神生活的要素，是指挥物质生活的原动力，是我们一切行为的

最高标准”，据此可知，知识分子的知识不完全是为了“指导物质生活”还有“精神生活”；B 项在原文第四段，“他们对从这种艰苦危难之中得来的思想，自然更觉得亲切而可以负责”是“可以”不是“是”，绝对化错误；D 项在原文最后一段，“必须有这种抱负，才配做知识分子”，选项丢了“有抱负”的条件，得出结论是不充分的。

14．【答案】①第一个 “负责”是形容词，在文中的意思是指 “有周密系统的精神结晶的”；② 第二个“负责”是动词，在文中的意思是指“推进和扩充”。

【解析】本题考查考生理解文中重要概念的含义的能力，根据题目关键词回溯原文，找到答题区域在

第四段以及第五段。

15．【答案】①有负责的思想，袁隆平经过长期试验与探索，培育出了高产杂交水稻稻种；

②对负责的思想去负责：袁隆平不满足已有的成绩，不断对自己提出更高的要求，提出杂交水稻超高产育种的新课题；

③负起更重大的责任：袁隆平不仅解决中国人的吃饭问题，还肩负着解决世界范围的粮食短缺问题的责任。

【解析】本题考查考生筛选并整合文中信息，归纳内容要点的能力。解答时要整体理解文章的内容，把握人物、事件以及作者的观点态度等内容，尤其是对选文中心句的理解，要将题目材料信息带入选文比对理解。

16．文章开头描写宏村秋景有什么作用？（4分）

【答案】①为下文写残荷作铺垫；②渲染典雅古朴的古徽州的气氛；③点明季节时间等。

【解析】本题考查对环境描写作用的分析能力。文章开头描写宏村秋景属于自然环境描写（本题需要结合段落在文中的作用），鉴赏环境描写要注意分析环境对主题思想的暗示，对写作形象的烘托，对文章氛围的创造以及对推动行文这四个方面的作用。

17．结合文意，分析“我”为什么喜欢夏日的新荷。（5分）

【答案】①光鲜洁净，赏心悦目，有无穷生机；②是孩子的“玩伴”；③妈妈做的荷叶粥让作者念念不忘。 【解析】本题考查考生归纳内容要点，概括中心意思的能力。做题时需要从总体上把握文章内容，梳理结构，再寻找目标语段，圈定筛选范围，最后提取要点组织语言表述。

18．在第②段和第③段中，“我”都见到了残荷，感受有什么不同？你认为造成不同感受的原因是什么？请结合文意进行分析．（6分）

【答案】①林黛玉见到残荷想起飘摇零落的经历，有身世之痛；②“我”见到残荷想起“新荷”，觉得残荷无诗意可言；③造成不同感受的原因是二者身世、阅历（经历）不同：林黛玉少年丧母，寄人篱下，身世凄凉，所以见到残荷犹见自己，将一腔哀怨寄予残荷之上；而“我”那时是初中学生，有着美好的童年，记忆中还有荷叶粥的香甜，二者感受自然迥然不同。

【解析】本题考查考生对作品进行个性化阅读和有创意的解读的能力。作答本题时需要有个前提，就是了解林黛玉这个人物形象以及这个人物形象产生的背景，其次从文章中得出二者的不同感受是什么，再次确定二者为何会感受不同，林黛玉的感受基于她的身世，作者的感受来自他的生活，最后分点表述。 20．秦绍德认为，学者“被媒体过分关注恰恰做不出学问”，根据文意，怎样理解这一观点？（4分） 【答案】①媒体过分关注会影响学者静心求实；②媒体过分关注学者的私生活会影响它们恰当地宣传学者的学术成果；③学者在与媒体互动中不能守住学术界限，降低了学术影响。

【解析】本题考查考生评价文本的主要观点和基本倾向的能力。本题在采访之初即提及，在采访末段专门讨论媒体与学者应有的关系，答题区域可以确定主要在末段，但是也不能忽视前文，媒体作为外部环境是对学者思想是有一定的影响的，这个影响点在于出学问必须“静”，如果媒体过分关注，无疑会打扰学者做学问。

21．如何理解文中所说的“这种倡导，关乎复旦，又不止于复旦；关乎教师，也不止于教师”？结合全文，请谈谈你的理由。（6分） 【答案】①这种倡导是复旦大学发出的，所以“关乎复旦”，同时这种倡导又是推而广之而向所有学术界同仁倡导的，所以，“不止于复旦”。②倡导是向复旦全体教师的，所以“关乎教师”，而在各行各业都有学者，他们“做学问”都需要“寂寞”，所以，这种倡导“不止于教师”。 【解析】本题考查考生探究文本中的某些问题，提出自己的见解的能力。这题的答案有一定的开放性，作答时也应该紧密结合文章作答，言之成理即可。

五、本大题2小题，每小题6分，共12分。

22．以下是一家公司发布的招聘信息，请将这一信息改写成正式的招聘启事（以“本公司”开头），要求内容准确、层次清晰、表达得体。不超过75个字（含标点符号，电话号码占两格）。

帅哥靓女，你大学本科毕业不？办公室软件使用熟练不？英语交流顺溜不？有没有驾照？会不会粤语？快来看哦，我这儿找人啦！这是个中日韩三国合资公司，马上要在“2010亚运会”举办的地方广州开业咯。现需要行政秘书3名。机不可失，时不再来哦！要是有意，可以电话168168，8月31日面试，海心大厦908，不见不散哦。

【示例】本公司系合资公司，即将开业，现拟聘行政秘书3名，要求会操作办公软件和粤语，英语口语流畅，有驾照，本科，性别不限，待遇面谈，有意者请拨打168168。

【解析】本题考查考生对现有信息进行概括归纳提炼表达的能力。它要求把一段话的主要内容用简明的语言表达出来，本题设置为一则招聘启事，那么在上述要求的前提下还需要注意招聘启事的正确写法。招聘启事正文主要包括用人的单位、部门、业务、目的、对象、条件、待遇、询问事宜、联系办法、联系时间等项内容，要有实事求是的态度，特别是介绍本单位情况和应聘待遇等事项，不要言过其实。一般为表示诚意，待遇最好写清楚，以便应聘者自我衡量。所给材料用语不够庄重，口语化过于明显，宜改为较正式的书面语表达。因为材料未提供待遇问题，且有字数限制，所以，做题时仅需将口语改为书面语并适当调整内容顺序即可。

23．为活跃校园文化生活，华南七中学生会举办了一个“四季花卉”摄影作品展，请你为作品展写一段前言，要求语言鲜明、生动，语意连贯，至少使用两种修辞手法，不少于60个字（含标点符号）。 【示例】“四季花卉”摄影作品展是由华南七中学生会主办的旨在活跃校园文化生活的活动， 这些展出的作品着重表现岁月流转而美人依旧的自然美，它们凝聚了同学们的汗水与智慧，相信一定会给观众带来叹为观止的艺术感受。（比喻和借代）

【解析】本题考查考生语言的简明、连贯、得体及准确、鲜明、生动等综合语言运用能力。材料要求写前言，做题时注意要开门见山，直接提示作品展的基本信息；言简意赅，围绕标题介绍作品展功能、目的及意义。字数控制在要求范围内。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题

1. D.

5-6i i

=-6-5i .

2. C.C U M ={3,5,6}.

3.A. BC =BA -C A =(-2, -4).

4. A.y =ln (x +2)在(-2, +∞)上是增函数.

⎧y =2⎩y =x -1

5. B. 画出可行域，可知当代表直线过点A 时，取到最大值. 联立⎨

，

解得⎨

⎧x =3⎩y =2

，所以z =3x +y 的最大值为11.

6. C. 该几何体下部分是半径为3，高为5的圆柱，体积为

V =π⨯3⨯5=4π5，上部分是半径为3，高为4的圆锥，体积为

V =

13

⨯π⨯3⨯4=12π，所以体积为57π.

2

2

7. D. 两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为

a ⋅b b ⋅b

a b

545

=

19

.

b a

8. C.a b ==cos θ=

k 12

，b a =cos θ=

k 22

，两式相乘，可

得cos 2θ=

12

k 1k 24k 1k 24

. 因为θ∈ 0,

⎝

⎛

π⎫

⎪，所以k 1、k 2都是正整数，于是

4⎭

32

2

0，所以k 1=3，k 2=1，于是a b =

.

9. 解析： -∞, -⎥. x +2-x 的几何意义是x 到-2的距离与x 到0的距离的差，画出数轴，先找出

2

⎝

⎦

1

⎛1⎤

临界“x +2-x =1的解为x =-

”，然后可得解集为 -∞, -⎥.

2⎦2⎝

k

⎛1⎤

6-k ⎛1⎫⎛21⎫k 2

T =C x x +10. 解析：20. ) x ⎪=C 6k x 12-3k ，令12-3k =3，解得k =3，6(⎪的展开式通项为k +1

x ⎭⎝⎭⎝

6

⎛21⎫

所以 x +⎪的展开式中x 3的系数为C 63=

20.

x ⎭⎝

6

11. 解析：2n -1. 设公差为d （d >0），则有1+2d =(1+d )-4，解得d =2，所以a n =2n -1. 12. 解析：2x -y +1=0. y '|x =1=3⨯12-1=2，所以切线方程为y -3=2(x -1)，即2x -y +1=0. 13. 解析：8. 第一次循环，s =⨯(1⨯2)=2，i =4，k =2；第二次

11

2

循环，s =

12

⨯(2⨯4)=4，i =6，k =3；第三次循环，s =

13

⨯(4⨯6)=8，

i =8，k =4. 此时退出循环，输出s 的值为8.

14. 解析：(1,1). 法1：曲线C 1的普通方程是y 2=x （y ≥0），曲线C 2

的普通方程是x 2+y 2=2，联立解得⎨

⎧⎪t ==

c o θs s i θn

2

⎧x =1⎩y =1

，所以交点坐标为(1,1).

法

2：联

立，可

得c θo =s

2

2θs ，

i n 即

2c o θs +

2

2θ-c o =

s ，解得2cos 0θ=

或cos θ=

，所以

⎧⎪t =1

，交点坐标为(1,1). =1

15.

解析：. 连接O A ，则∠AO C =60︒，∠O AP =90︒，因为

2π

=10π，所以ω=

15

O A =

1，所以PA =

16. 解析：（Ⅰ）T =

ω

.

（Ⅱ）

⎡1⎛5⎫5⎫π⎤π⎫6⎛⎛

f 5α+π⎪=2cos ⎢ 5α+π⎪+⎥=2cos α+⎪=-2sin α=-

3⎭3⎭6⎦2⎭5⎝⎝⎣5⎝56

⎫⎭

⎡1⎛⎣5⎝

，所以

s

αi =. f 5β-

5

⎝

3

⎛

π⎪=2cos ⎢ 5β-

45

56

π⎪+

⎭

⎫

π⎤

816⎡π⎤

β∈αcos β=，所以. 因为、=2cos β=⎥⎢0, 2⎥，176⎦17⎣⎦

s

sin β=所

c

以

c α==1，8

1

151715-

s 7

，

⨯1i

所

38=n

以

-s

i

(α

+o

)

βs =αc

4

-o 5

α=.

7

3

o ⨯β5

1

s

5

17. 解析：（Ⅰ）由(0.006⨯3+0.01+0.054+x )⨯10=1，解得x =0.018.

（Ⅱ）分数在[80, 90)、[90,100]的人数分别是50⨯0.018⨯10=9人、50⨯0.006⨯10=3人. 所以ξ的取值为0、1、2.

P (ξ=0)=

C 3C 9C 12

20

2

=

3666

=

611

，P (ξ=1)=

C 3C 9C 12

2

11

=

2766

=

922

，P (ξ=2)=

C 3C 9C 12

2

20

=

366

=

122

，所以ξ的数

学期望是E ξ=0⨯

611

+1⨯

922

+2⨯

122

=

1122

=

12

.

18. 解析：（Ⅰ）因为P C ⊥平面BD E ，BD ⊂平面BD E ，所以PC ⊥BD . 又因为PA ⊥平面ABC D ，BD ⊂平面ABC D ，所以PA ⊥BD . 而PC PA =P ，P C ⊂平面P A C ，PA ⊂平面P A C ，所以BD ⊥平面P A C .

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BD ⊥平面P A C ，而AC ⊂平面P A C ，所以BD ⊥AC ，而ABCD 为矩形，所以ABC D 为正方形，于是AB =AD =2.

法1：以A 点为原点，AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系A -BD P . 则P (0, 0,1)、C (2, 2, 0)、B (2, 0, 0)、D (0, 2, 0)，于是BC =(0, 2, )0，PB =(2, 0, -1). 设平面P B C 的一个法向量为

⎧⎧2y =0⎪n ⋅BC =0则⎨1 ，从而⎨，令x =1，得n 1=(1, 0, 2n 1=(x , y , z )，

⎩2x -z =0⎪⎩n 1⋅PB =0

).

而平面P A C 的一个法向量为n 2=B D =(-2, 2, 0). 所以二面角B -PC -A 的余弦值

为

n 1⋅n 2n 1n 2

10

cos =

==，于是二面角B -PC -A 的正切值为3.

法2：设A C 与BD 交于点O ，连接O E . 因为P C ⊥平面BD E ，O E ⊂平面BD E ，BE ⊂平面BD E ，所以PC ⊥O E ，PC ⊥BE ，于是∠O EB 就

O E ⊂平面P A C ，是二面角B -PC -A 的平面角. 又因为BD ⊥平面P A C ，所以∆O E B 是直角三角形. 由∆O E C ∽∆PAC 可得

A B =A D =

2，所以AC =

OC =

O E O C

=

P A P C

，而

PA =1，所以PC =3，于

是O E =

P A P C

⨯O C =

13

⨯=

3

，而OB =B -PC -A 的正切值为

O B O E

=3.

⎧2a 1=a 2-3

⎪

19. 解析：（Ⅰ）由⎨2(a 1+a 2)=a 3-7，解得a 1=1.

⎪

⎩2(a 2+5)=a 1+a 3

（Ⅱ）由2S n =a n +1-2n +1+1可得2S n -1=a n -2n +1（n ≥2），两式相减，可得2a n =a n +1-a n -2n ，即

a n +1=3a n +2，即a n +1+2

n

n +1

=3(a n +2

n

)，所以数列{a

n

+2

n

}（n ≥2）是一个以a

2

+4为首项，3为公比

的等比数列. 由2a 1=a 2-3可得，a 2=5，所以a n +2n =9⨯3n -2，即a n =3n -2n （n ≥2），当n =1时，a 1=1，也满足该式子，所以数列{a n }的通项公式是a n =3n -2n .

n 1-n 1

=2⋅3（Ⅲ）因为3n -3-

≥2⋅2

-n 1

=，2所以3-2≥

n n n

3，所以

-1n

1a n

≤

13

n -1

，于

是

1a 1

+

1a 2

+ +

1a n

≤1+

13

+ +

13

n -1

⎛1⎫1- ⎪

3⎡⎝3⎭

==⎢1-

12⎢⎣1-3

n

⎛1⎫ ⎪⎝3⎭

n

⎤3⎥

n

3⎡⎛1⎫⎤

点评：上述证法实质上是证明了一个加强命题++ +≤⎢1- ⎪⎥，该加强命题的思考过

a 1a 2a n 2⎣⎝3⎭⎦⎢⎥

111

程如下.

考虑构造一个公比为q 的等比数列{b n }，其前n 项和为T n =

b 1(1-q 1-q

n

b 1(1-q 1-q

n

)

，希望能得到

1a 1

+

1a 2

+ +

1a n

≤

)

32

，考虑到

b 1(1-q 1-q

n

)

b 11-q

，所以令

b 11-q

=

321

即可. 由a n 的通项公式的形

式可大胆尝试令q =

13

，则b 1=1，于是b n =

12

13

n -1

，此时只需证明

34

1a n

32

≤b n =

3

n -1

就可以了.

13

当然，q 的选取并不唯一，也可令q =

1a n

1a n

，此时b 1=，b n =

n +1

，与选取q =不同的地方在于，当

n =1时，

>b n ，当n ≥2时，

的再放缩，下面给出其证法.

当n =1时，

1a 11a n

=1

32

；当n =2时，

1a 1

+

1a 2

=1+

15

32

；当n =3时，

1a 1

+

1a 2

+

1a 3

=1+

15

+

119

32

.

当n ≥4时，

n -3

3⎡⎛1⎫⎤⎢1- ⎪⎥32⎝2⎭⎥111111133⎢⎣⎦

++ +

1a 1a 2a n 5195191621-

2

综上所述，命题获证.

下面再给出

1a 1

+1a 2

+ +

1a n

的两个证法.

法1：（数学归纳法） ①当n =1时，左边=

1a 1

=1，右边=

32

，命题成立.

k

②假设当n =k （k ≥2，k ∈N ）时成立，即∑

i =1

13-2

i

i

32

成立. 为了证明当n =k +1时命题也成立，

我们首先证明不等式：

13

i +1

-2

i +1

1

33-2

⋅

1

i

i

（i ≥1，i ∈N ）.

要证

-2

i +1

13

i +1

-2

i +1

1

33-2

⋅

1

i

i

，只需证

13

i +1

-2

i +1

13

i +1

-3⋅2

13

i +1

i

，只需证3i +1-2i +1>3i +1-3⋅2i ，只需证

i

i

>-3⋅2，只需证-2>-3，该式子明显成立，所以

k +1

1

-2

k

i +1

33-2

i

⋅

1

i

i

.

32=32

于是当n =k +1时，∑

i =1

13-2

i

i

=

13-2

k +1

+

∑3

i =2

1

i

-2

i

13

∑3

i =1

-2

13

⨯

，所以命题在n =k +1

时也成立.

综合①②，由数学归纳法可得，对一切正整数n ，有

1a 1

+1a 2

+ +

1a n

.

备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一个错误的认识.

法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供） 当n =1时，

1a 1

=1

32

显然成立. 当n =2时，

1a 1

+

1a 2

=1+

15

32

显然成立.

122n -1n -1n n 当n ≥3时，a n =3n -2n =(1+2)-2n =1+C n ⋅2+C n ⋅2+ +C n ⋅2+2-2

n

=1+C n ⋅2+C n ⋅2+ +C n

122n -1

⋅2

n -1

>C n ⋅2=2n (n -1)，又因为a 2=5>2⨯2⨯(2-1)，所以a n >2n (n -1)

2

2

（n ≥2），所以

1a n

12n (n -1)

=

1⎛11⎫

，所以 - ⎪（n ≥2）

2⎝n -1n ⎭

1a 1

+

1a 2

+

1a 3

+ +

1a n

1⎛11111⎫1⎛1⎫3

-⎪=1+ 1-⎪

2⎝234n -1n ⎭2⎝n ⎭2

综上所述，命题获证.

20. 解析：（Ⅰ）因

为e =

，所以

c a

22

=

23

，于是a 2=3b 2. 设椭圆C 上任一点P (x , y )，则

PQ

2

=x +(y -2)

2

2

2

⎛y ⎫222

=a 1-2⎪+(y -2)=-2y -4y +4+3b （-b ≤y ≤b ）.

b ⎭⎝

2

当0

当b ≥1时，PQ 在y =-1时取到最大值，且最大值为3b 2+6，由3b 2+6=9解得b 2=1. 于是a 2=3，椭圆C 的方程是

x

2

2

2

3

+y =1.

2

（Ⅱ）圆心到直线l 的距离

为d =

，弦

长AB =，所以∆O A B 的面积

为

S =

12

A B ⋅d =，于是S =d

22

(1-d )

2

1⎛21⎫

=- d -⎪+. 而M (m , n )是椭圆上的点，所以

24⎝⎭

2

m 3

2

222

+n =1，即m =3-3n ，于是d

2

=

1m +n

2

2

=

13-2n 14

2

，而-1≤n ≤1，所以0≤n 2≤1，1≤3-2n 2≤3，

12

所以

13

≤d ≤1，于是当d

22

=

12

时，S 2取到最大值

⎛

，此时S 取到最大值，此时n 2=

12

，m 2=

32

.

综上所述，椭圆上存在四个点

⎝2

⎛⎛⎫、、、，使得直线与---⎪ 2 2⎪22222⎭

⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

圆相交于不同的两点A 、B ，且∆O AB 的面积最大，且最大值为

21. 解析：（Ⅰ）考虑不等式2x 2-3(1+a )x +6a >0的解.

12

.

因为∆=⎣⎡-3(1+a )⎦⎤-4⨯2⨯6a =3(a -3)(3a -1)，且a

13

2

②当a =

时，∆=0，此时B ={x x ≠1}，D =(0,1) (1, +∞).

时，∆>0，此时2x 2-3(1+a )x +6a =0有两根，设为x 1、x 2，且x 1

4

4

③当a

13

x 1=

x 2=

，于是

B ={x x x 2}.

当0

3

1

x 2=

32

(1+a )>0，x 1x 2所以x 2>x 1>0，此时D =(0, x 1) (x 2, +∞)；=3a >0，

，此时D =(x 2, +∞).

13

, ∞)；当0

当a ≤0时，x 1x 2

综上所述，当

13

=3a ≤0，所以x 1≤0，x 2>0

13

时，

1

D =(0, x 1) (x 2, +∞)；当a ≤0时，D =(x 2, +∞). 其中

x 1=

4

-

，

x 2=

4

.

（Ⅱ）f '(x )=6x 2-6(1+a )x +6a ，令f '(x )=0可得(x -a )(x -1)=0. 因为a

①当

13

所以f (x )在D 内有极大值点1，极小值点a . ②当a =

1

时，D =(0,1) (1, +∞)，此时f '(x )=0在D 内只有一根m 1=a=

1，列表可得

所以f (x )在D 内只有极小值点a ，没有极大值点. ③当0

13

时，D =(

0, x 1) (x 2, +∞)，此时0

D 内只有一根m 1=a ，列表可得

所以f (x )在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.

④当a ≤0时，D =(x 2, +∞)，此时x 2>1，于是f '(x )在D 内恒大于0，f (x )在D 内没有极值点. 综上所述，当

13

13

时，f (x )在D 内只

有极小值点a ，没有极大值点. 当a ≤0时，f (x )在D 内没有极值点.