逻辑回归模型分析见解

1.逻辑回归模型 1.1逻辑回归模型

考虑具有p个独立变量的向量

,设条件概率

为根据观测

量相对于某事件发生的概率。逻辑回归模型可表示为

（1.1）

上式右侧形式的函数称为称为逻辑函数。下图给出其函数图象形式。

其中

。如果含有名义变量，则将其变为dummy变量。

一个具有k个取值的名义变量，将变为k-1个dummy变量。这样，有

（1.2）

定义不发生事件的条件概率为

（1.3）

那么，事件发生与事件不发生的概率之比为

（1.4）

这个比值称为事件的发生比(the odds of experiencing an event),简称为odds。因为0

0。对odds取对数，即得到线性函数，

（1.5）

1.2极大似然函数

假设有n个观测样本，观测值分别为

设

为给定条件下

得到的概率。在同样条件下得到的条件概率为。于是，

得到一个观测值的概率为

（1.6）

因为各项观测独立，所以它们的联合分布可以表示为各边际分布的乘积。

（1.7）

上式称为n个观测的似然函数。我们的目标是能够求出使这一似然函数的值最大的参数估计。于是，最大似然估计的关键就是求出参数对上述函数求对数

（1.8）

上式称为对数似然函数。为了估计能使对此函数求导，得到p+1个似然方程。

（1.9）

，j=1,2,..,p.

上式称为似然方程。为了解上述非线性方程，应用牛顿－拉斐森(Newton-Raphson)方法进行迭代求解。

1.3 牛顿－拉斐森迭代法 对

求二阶偏导数，即Hessian矩阵为

取得最大的参数

的值。

，使上式取得最大值。

（1.10）

如果写成矩阵形式，以Ｈ表示Hessian矩阵，Ｘ表示

（1.11）

令

（1.12）

则。再令然方程的矩阵形式。 得牛顿迭代法的形式为

（1.13）

注意到上式中矩阵Ｈ为对称正定的，求解对Ｈ进行cholesky分解。

(注：前一个矩阵需转置)，即似

即为求解线性方程ＨＸ＝Ｕ中的矩阵Ｘ。

最大似然估计的渐近方差（asymptotic variance）和协方差(covariance)可以由信息矩阵（information matrix）的逆矩阵估计出来。而信息矩阵实际上是

二阶导数的负值，

表示为。估计值的方差和协方差表示为

和

，也就是说，估计值的

方差为矩阵Ｉ的逆矩阵的对角线上的值，而估计值

值。然而在多数情况，我们将使用估计值

的协方差为除了对角线以外的

的标准方差，表示为

，for j=0,1,2,…,p （1.14）

２.显著性检验

下面讨论在逻辑回归模型中自变量＝0（表示自变量可能性依赖于2.1 Wald test

对回归系数进行显著性检验时，通常使用Wald检验，其公式为

（2.1）

是否与反应变量显著相关的显著性检验。零假设

：

对事件发生可能性无影响作用）。如果零假设被拒绝，说明事件发生

的变化。

其中

, 为的标准误差。这个单变量Wald统计量服从自由度等于１的

：

＝0,计算统计量

分布。

如果需要检验假设

（2.2）

其中，

为去掉

所在的行和列的估计值，相应地，

为去掉

所在的行和列的标

准误差。这里，Wald统计量服从自由度等于p的

（2.3）

分布。如果将上式写成矩阵形式，有

矩阵Ｑ是第一列为零的一常数矩阵。例如，如果检验，则。

然而当回归系数的绝对值很大时，这一系数的估计标准误就会膨胀，于是会导致Wald统计值变得很小，以致第二类错误的概率增加。也就是说，在实际上会导致应该拒绝零假设时却未能拒绝。所以当发现回归系数的绝对值很大时，就不再用Wald统计值来检验零假设，而应该使用似然比检验来代替。

2.2 似然比（Likelihood ratio test）检验 在一个模型里面，含有变量

与不含变量

的对数似然值乘以-2的结果之差，服从

分布。这一检验统计量称为似然比(likelihood ratio)，用式子表示为

（2.4）

计算似然值采用公式（1.8）。 倘若需要检验假设

：

＝0,计算统计量

（2.5）

上式中，

表示

＝0的观测值的个数，而

表示

＝１的观测值的个数，那么n就表示

表示

所有观测值的个数了。实际上，上式的右端的右半部分只含有

的似然值。统计量G服从自由度为p的

分布

2.3 Score检验 在零假设计量的公式为

：

＝0下，设参数的估计值为

，即对应的

＝0。计算Score统

（2.6）

上式中，在

表示在

＝0下的对数似然函数（1.9）的一价偏导数值，而

表示

＝0下的对数似然函数（1.9）的二价偏导数值。Score统计量服从自由度等于１的

分布。

2.4 模型拟合信息

模型建立后，考虑和比较模型的拟合程度。有三个度量值可作为拟合的判断根据。

(1)-2LogLikelihood

(2.7)

(2) Akaike信息准则（Akaike Information Criterion,简写为AIC）

(2.8)

其中Ｋ为模型中自变量的数目，Ｓ为反应变量类别总数减１，对于逻辑回归有S=2-1=1。-2LogL的值域为0至，其值越小说明拟合越好。当模型中的参数数量越大时，似然值也就越大，-2LogL就变小。因此，将２(K+S)加到AIC公式中以抵销参数数量产生的影响。在其它条件不变的情况下，较小的AIC值表示拟合模型较好。 (3)Schwarz准则

这一指标根据自变量数目和观测数量对-2LogL值进行另外一种调整。SC指标的定义为

(2.9)

其中ln(n)是观测数量的自然对数。这一指标只能用于比较对同一数据所设的不同模型。在其它条件相同时，一个模型的AIC或SC值越小说明模型拟合越好。 3.回归系数解释 3.1发生比 odds=[p/(1-p)]

，即事件发生的概率与不发生的概率之比。而发生

比率(odds ration),即(1)连续自变量。对于自变量

，每增加一个单位，odds ration为

(3.1)

(2)二分类自变量的发生比率。变量的取值只能为0或1，称为dummy variable。当值为1，对于取值为0的发生比率为

取

(3.2)

亦即对应系数的幂。 (3)分类自变量的发生比率。

如果一个分类变量包括m个类别，需要建立的dummy variable的个数为m-1,所省略的那个类别称作参照类(reference category)。设dummy variable为对于参照类，其发生比率为3.2 逻辑回归系数的置信区间 对于置信度１-，参数

的100%（１-）的置信区间为

。

，其系数为

，

（3.3）

上式中，为与正态曲线下的临界Ｚ值（critical value）

, 为系数估计的标

准误差，较大时，

和

＝0.05水平的系数

（3.4）

两值便分别是置信区间的下限和上限。当样本

的95%置信区间为

4.变量选择

4.1前向选择（forward selection）：在截距模型的基础上，将符合所定显著水平的自变量一次一个地加入模型。 具体选择程序如下

（1） 常数（即截距）进入模型。

（2） 根据公式（2.6）计算待进入模型变量的Score检验值，并得到相应的P值。 （3） 找出最小的p值，如果此p值小于显著性水平

,则此变量进入模型。如果此变量

是某个名义变量的单面化(dummy)变量，则此名义变量的其它单面化变理同时也进入模型。不然，表明没有变量可被选入模型。选择过程终止。 （4） 回到(2)继续下一次选择。

4.2 后向选择（backward selection）：在模型包括所有候选变量的基础上，将不符合保留要求显著水平的自变量一次一个地删除。 具体选择程序如下 (1) 所有变量进入模型。

(2) 根据公式（2.1）计算所有变量的Wald检验值，并得到相应的p值。 (3) 找出其中最大的p值，如果此P值大于显著性水平名义变量的单面化变量，其最小p值大于显著性水平

，则此变量被剔除。对于某个，则此名义变量的其它单面化变

量也被删除。不然，表明没有变量可被剔除，选择过程终止。 (4) 回到(2)进行下一轮剔除。 4.3逐步回归(stepwise selection)

(1)基本思想：逐个引入自变量。每次引入对Ｙ影响最显著的自变量，并对方程中的老变量逐个进行检验，把变为不显著的变量逐个从方程中剔除掉，最终得到的方程中既不漏掉对Ｙ影响显著的变量，又不包含对Ｙ影响不显著的变量。 (2)

筛选的步骤：首先给出引入变量的显著性水平按下图筛选变量。

和剔除变量的显著性水平

，然后

(3)逐步筛选法的基本步骤

逐步筛选变量的过程主要包括两个基本步骤：一是从不在方程中的变量考虑引入新变量的步骤；二是从回归方程中考虑剔除不显著变量的步骤。 假设有p个需要考虑引入回归方程的自变量. ① 设仅有截距项的最大似然估计值为设有最小p值的变量为若

，且有

。对p个自变量每个分别计算Score检验值，

，对于单面化(dummy)变量，也如此。

，则此变量进入模型，不然停止。如果此变量是名义变量单面化(dummy)的变

量，则此名义变量的其它单面化变量也进入模型。其中② 为了确定当变量别与

为引入变量的显著性水平。

分

。设有最小p值

在模型中时其它p-1个变量也是否重要，将

进行拟合。对p-1个变量分别计算Score检验值，其p值设为

，且有

.若

的变量为，则进入下一步，不然停止。对于单面化

变量，其方式如同上步。 ③ 此步开始于模型中已含有变量

与

。注意到有可能在变量

与),

被引入后，变量

不

再重要。本步包括向后删除。根据(2.1)计算变量设

为具有最大p值的变量，即

=max(

的Wald检验值，和相应的p值。

.如果此p值大于

，则此

，

变量从模型中被删除，不然停止。对于名义变量，如果某个单面化变量的最小p值大于则此名义变量从模型中被删除。

④ 如此进行下去，每当向前选择一个变量进入后，都进行向后删除的检查。循环终止的条件是：所有的p个变量都进入模型中或者模型中的变量的p值小于的变量的p值大于

，不包含在模型中

。或者某个变量进入模型后，在下一步又被删除，形成循环。