产品无失效数据的可靠性分析
第12卷 第5期2003年10月运 筹 与 管 理
OPERAT IO NS RESEARCH AN D M ANA GEM EN T SCI EN CE
Vol. 12, No. 5Oct. , 2003
产品无失效数据的可靠性分析
韩明, 丁元耀
1
2
(11中国人民大学统计学系, 北京, 100872; 浙江海洋学院数学系, 浙江舟山, 316004; 21宁波大学管理系, 315211)
摘 要:本文对某型发动机的无失效数据, 给出了失效概率的多层Bayes 估计, 从而可以得到该型发动机可靠度的估计, 并结合该型发动机的实际问题进行了计算。关键词:运筹学; 可靠性; 失效概率; 无失效数据
中图分类号:O21312 文章标识码:A 文章编号:1007-3221(2003) 05-0019-05
Reliability Analysis of Zero -failu re Data of Products
HAN Ming , DING Yuan -yao
(1. Dep artment o f Statistics, Renmin Univer sity of China, Beijing 100872, China; Dep ar tment of Mathematics, Zhej iang Ocean University , Zhoushan 316004, China; 2. Dep ar tment of Manage -ment, N ingbo University , Ningbo 315211, China)
Abstract:In the paper, for zero -failure data of a certain model engine, the author g ives the hierarchical Bayesian estimation of failure probability, then the reliability estim ation of this model eng ine can be obtained. And for this model eng ine, calculation is performed concerning the practical problem. Key words:operations research; reliability; failure probability; zero -failure data
1
2
0 引言
对产品在可靠性试验中, 如果在规定的时间内有失效数据出现情形的可靠性评定, 已有一套相对成熟的方法(见文献[1]) 。但在可靠性试验中, 如果在规定的时间内没有失效数据出现(即/无失效数据0情形) , 对这种情形的可靠性评定是目前捆扰着我们的一个问题(见文献[2]) 。
无失效数据(zero -failure data ) 的研究, 对于建立在失效数据基础上的现有可靠性理论来说, 是一个有一定难度的问题, 也是近些年来遇到的一个新问题, 但在实际问题中迫切需要解决, 这项工作具有理论和实际应用价值。自从文献[3]发表以来算起, 对无失效数据的研究已有近二十多年的历史了, 现已引起国内外的重视, 并且已取得了一些成果。关于无失效数据的若干研究进展情况, 见文献[4]。
在文献[5]中, 提出了一种处理无失效数据的方法) ) ) 配分布曲线法, 是很有意义的, 其基本方法是:首先估计时刻t i 的失效概率p i =p {T
在文献[6]中, 在无失效数据情况下提出了构造先验分布的方法) ) ) 减函数法。按文献[6], 本文提出选取截尾对数分布作为p i 的先验分布, 其密度函数为p i 的减函数法, 它符合在无失效数据情况下, 失效概率p i 大的可能性小, 而p i 小的可能性大的要求。
收稿日期:2003-04-17
基金项目:浙江省自然科学基金资助项目(100026); 浙江省151人才工程基金资助项目(992071) 。
作者简介:韩明(1961-) , 男, 博士研究生, 副教授, 中国运筹学会可靠性专业学会理事, 入选浙江省/151人才工程0, 主要研究方向:可靠
20运 筹 与 管 理 2003年第12卷
对某产品进行m 次定时截尾试验, 截尾时间为t i (i =1, 2, , , m ) , t 1
1 p i 的变化范围
根据文献[7], 在产品的寿命分布函数F (t ) 为t 的凹函数时, 可得:
0
其中:K i =p m t i /t m , i =1, 2, , , m , p m 为p m =p {T
0
其中q >0。
由(1) 和(2) 可得p i 的变化范围为:
q
(t) 都是t 的凹函数(如正态分布N (L , R 2) , 当t
(3)
对几种常见的寿命分布, 如对数正态分布、Weibull 分布、正态分布等, 在一定的条件下其分布函数F
(2)
*
*
(1)
2 p i 的多层先验分布
若p i 的多层先验分布为截尾对数分布, 其密度函数为:
P (p i |a) =A ln (ap i ) , q
其中:A -1=C ln a +D, C =K i -q, D =K i (ln K i -1) -q(ln q -1) 。
那么如何确定先验参数a 呢? 文献[8]中提出了多层先验分布的想法, 即在先验分布中含有超参数时, 可对超参数再给出一个先验分布。根据文献[9], 超参数a 的先验分布取(b, l) 上的均匀分布, 其中
(b, l ) P (p i ) =
其中
E =
Q
b
l
P (p i |a) P (a) d a =
(F +E ln p i ) l -b
q
Q
l
, F =(l -b -ED) ,
C b C ln a +D
C =K i -q , D =K i (ln K i -1) -q (ln q -1) 。
3 p i 的多层Bayes 估计
在上一节中已给出了p i 的多层先验分布, 在此基础上本节将给出p i 的多层Bayes 估计。若p i 的多层先验密度P (p i ) 由(4) 给出, 由此可得:
定理 对无失效数据(t i , n i ) , s i =n i +, +n m (i =1, 2, , , m ) , 若p i 的多层先验密度P (p i ) 由(4) 给出, 则在平方损失下, p i 的多层Bayes 估计为p ^i =1-G (K i , q , s i )
其中:
G (K i , q , s i ) =g (K i , q , s i +1) /g(K i , q , s i ) ,
K
i
g (K i , q , s i ) =
q
(1-p i ) s i (F +E ln p i ) d p i ,
第5期 韩明, 等:产品无失效数据的可靠性分析21
E =
b
l
, F =(l -b -ED) ,
C ln a +D C
D =K i (ln K i -1) -q(ln q -1) 。
C =K i -q ,
出, 而在无失效情况下p i 的似然函数为[5]:
证明 对无失效数据(t i , n i ) , s i =n i +, +n m (i =1, 2, , , m ) , 若p i 的多层先验密度P (p i ) 由(4) 给
L (0|p i ) =(1-p i ) s i 。
根据Bayes 定理, 则p i 的多层后验密度为: h(p i |0) =
i
P (p i ) L (0|p i ) P (p i ) L (0|p i ) d p i
s
=
i
(1-p i ) s i (F +E ln p i ) (1-p i ) i (F +E ln p i ) d p i
s
Q
q
Q
q
(1-p i ) i (F +E ln p i ) =
g (K i , q, s i )
其中:q
K
g (K i , q, s i ) =
E =
Q
q
i
(1-p i ) s i (F +E ln p i ) d p i ,
b
l
, F =(l -b -ED) ,
C ln a +D C
D =K i (ln K i -1) -q (ln q -1)
K
C =K i -q ,
则在平方损失下, p i 的多层Bayes 估计为:
K
i
^i =p
Q
q K
p i h(p i |0) d p i =
p (1-p ) Q
i
i
q
i
s
i
(F +E ln p i ) d p i
g (K i , q , s i )
K
i
由于p i (1-p i ) s i =(1-p i ) s i -(1-p i ) s i +1, 代入上式得:
p ^i =
Q
q
i
(1-p i ) s i (F +E ln p i ) d p i
-
Q
q
(1-p i ) s i +1(F +E ln p i ) d p i
g(K g (K i , q, s i ) i , q , s i )
g(K g(K i , q , s i ) i , q , s i +1) =-=1-G (K i , q , s i ) g(K g(K i , q , s i ) i , q, s i )
其中:G (K i , q, s i ) =g(K i , q, s i +1) /g (K i , q , s i ) 证毕。
4 数值例
根据上一节的定理给出的p i 的多层Bayes 估计p ^i (i =1, 2, , , m ) , 然后再根据文献[5]中的配分布曲线法, 可以得到第二节中提到的几种常见寿命分布的分布参数估计以及可靠度的估计。
文献[5]中给出了某型号液压发动机的无失效数据, 见表1。其中试验时间单位为小时, 共有13组51个数据。
表1 无失效数据T able 1 Zero -failure data
i t i n i s i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
100. 18109. 93115. 01130. 15150. 00179. 94190. 36250. 15783. 00849. 94870. 03909. 771450. 30351
2148
227
125
324
821
113
112
411
37
14
13
22
22运 筹 与 管 理 2003年第12卷
根据文献[5], 此液压发动机的寿命服从Weibull 分布或正态分布, 文献[5]中给出了Weibull 分布和正态分布中分布参数的加权最小二乘估计。
对Weibull 分布, 其分布函数为F (t) =1-ex p {-(t /G ) }, 其中G 和m 为未知参数, 时刻t i 处的失效概率为p i =p {T
^G =ex p {(BC -AD) /(B -A 2) }, m ^=(B -A 2) /(D -AC ) ,
其中:
A = C =
i=1
m i =1
m
6
m
X i ln ln (1-p ^i ) X i ln t i ,
-1
, B =
D =
6
i=1
m i =1
6
m
X i [ln ln (1-p ^i ) -1]2, X i ln t i [ln ln (1-p ^i ) -1],
6
^i 为p i 的多层Bayes 估计(i =1, 2, , , m ) 。p
^
则任意时刻t 的可靠度的估计为R ^(t ) =exp {-(t/^G ) m }。
对正态分布N (L , R 2) , L 和R 为未知参数, 其加权最小二乘估计为:
L =(BC -AD ) /(B -A ) , ^R =(D -A C) /(B -A ) ^
其中:
A = C =
i=1
22
6
m
m
X i 5
-1
(p ^i ) , B =
D =
i=1
6
m
X i [5-1(p ^i ) ]2, X i t i 5-1(p ^i ) ,
i=1
6
X i t i ,
i=1
6
m
^i 为p i 的多层Bayes 估计(i =1, 2, , , m ) 。p
则任意时刻t 的可靠度的估计为R ^(t ) =1-5{(t -^L ) /^R }。取不等权X i =n i t i /
i=1
6
m
n i t i (i =1, 2, , , m ) , 若根据专家经验确定p *m =0. 3, q =0. 00001(从计算中
我们发现, q 的不同取值对p ^i 的计算结果影响很小) 。根据本文所给的定理估计该型号发动机的失效概率p i =p {T
表2 p ^i 的计算结果(b =0. 01, l =1) T able 2 Result o f p ^i (b =0. 01, l =1)
i t i ^i p i t i ^i p
1100. 180. 00738250. 150. 0190
2109. 930. 00799783. 000. 0399
3115. 010. 009110849. 940. 0486
4130. 150. 010211870. 030. 0561
5150. 000. 011512909. 770. 0603
6179. 940. 0135131450. 300. 0841
7190. 360. 0151
表3 p ^i 的计算结果(b =0. 001, l =0. 6) T able 3 Result of p ^i (b =0. 001, l =0. 6)
i t i ^i p i t i ^i p
1100. 180. 00718250. 150. 0182
2109. 930. 00779783. 000. 0354
3115. 010. 008810849. 940. 0423
4130. 150. 009911870. 030. 0484
5150. 000. 011112909. 770. 0516
6179. 940. 0130131450. 300. 0592
7190. 360. 0146
第5期 韩明, 等:产品无失效数据的可靠性分析
表4 p ^i 的计算结果(b =0. 0001, l =0. 6) T able 4 Result of p ^i (b =0. 0001, l =0. 6)
i t i ^i p i t i ^i p
1100. 180. 00718250. 150. 0182
2109. 930. 00779783. 000. 0353
3115. 010. 008910849. 940. 0423
4130. 150. 009911870. 030. 0483
5150. 000. 011112909. 770. 0515
6179. 940. 0130131450. 300. 0589
7190. 360. 0145
23
根据表2~表4, 计算该型号发动机的寿命分布参数的估计和在1000小时处可靠度的估计, 计算结果分别列于表5和表6。
表5 Weibull 分布T able 5 Weibull distr ibut ion
b 0. 010. 0010. 00010. 0010. 0010. 0001
l 1110. 70. 60. 6
m ^0. 9044490. 9027130. 9025130. 8446100. 8040430. 802883
^G 22691. 5522937. 2922965. 9432988. 7143688. 5744070. 86
R ^(1000) 0. 9423420. 9425830. 9426100. 9491510. 9531510. 953266
表6 正态分布T able 6 Normal distribution
b 0. 010. 0010. 00010. 0010. 0010. 0001
l 1110. 70. 60. 6
L ^2974. 4622981. 3062282. 1033199. 3513355. 6423360. 187
^R 1230. 1501232. 8811233. 1971322. 5921385. 9221387. 723
R ^(1000) 0. 9457590. 9459790. 9460040. 9518810. 9554060. 955505
从表5可以看出, 对Weibull 分布, 当b I [0. 0001, 0. 01]和l I [0. 6, 1]时, m ^和^G 虽有些波动, 但从R ^(1000) 的极差为0. 010924看, 可靠度的估计R ^(1000) 是稳健的。从表6可以看出, 对正态分布, 当b I [0. 0001, 0. 01]和l I [0. 6, 1]时, ^L 和^R 虽有些波动, 但从R ^(1000) 的极差为0. 009746看, 可靠度的估计R ^(1000) 是稳健的。
R ^(1000) 的计算结果与文献[5]的结果接近程度较好, 并且符合文献[5]中的工程经验。参考文献
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