三角形三条高线交于一点的证明
三角形三条高线交于一点的证明
证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。
已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。 求证：P、Q、O三点重合
证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠AEB = ∠AFC = 90°
又∵∠BAE = ∠CAF ∴△ABE ∽ △ACF ∴
FQA
EABAE
＝， 即AB·AF = AC·AE ACAF
D
C
又∵AD⊥BC∴△AEQ ∽ △ADC，△AFP ∽ △ADB B∴
AEADAFAP
＝＝，
ADAQADAB
即AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP
∵AB·AF = AC·AE，AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP ∴AD·AQ = AD·AP ∴AQ = AP
∵点Q、P都在线段AD上 ∴点Q、P重合 ∴AD与BE、AD与CF交于同一点 ∵两条不平行的直线只有一个交点
∴BE与CF也交于此点 ∴点Q、P、O重合。
证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。
已知：△ABC的两条高AD、BE相交于点O，第三条高CF交高AB于点F，连结CO交AB于点F。
求证：CF⊥AB。
证明:∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
D
C
A
∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠1＝∠ABE 同理∠2＝∠1 ∴∠2＝∠ABE
∵∠ABE+∠BAC＝90°，∴∠2+∠BAC＝90° 即CF⊥AB。
注：证法一和证法二是证明共点线的常用方法。
证法三：转化为证明另一个三角形的三条中垂线（或中线）交于一点。 已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。 证明：过点A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线ML、MN、NL ∵AM∥BC，MB∥AC ∴四边形AMBC是平行四边形 ∴AM＝BC
同理，AL＝BC ∴AM＝AL ∵AD⊥ML ∴AD是ML的垂直平分线
同理，BE、CF分别是MN、NL的垂直平分线 而三角形的三条垂直平分线相交于一点
∴AD、BE、CF相交于一点。
注：三角形的三条中线（可中垂线、角平分线）相交于一点，这事实学生容易理解，也不难证明，把证明三角形的三条垂线相交于一点的问题转化为另一三角形的三条中线（中垂线）相交于一点，这种化陌生为熟悉、化难为易的转化方法必须让学生理解掌握。
证法四：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。
证明：如图6，以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),
由两条直线垂直的条件
kBE则三条高的直线方程分别为：
N
B
D
C
F
A
E
L
1kAC
c,kCFaAD：x0
c
BE：y(xb)
ab
CF：y(xc)
a
解（2）和（3）得
(1)(2) (3)
cb
(xb)(xc),(bc)x0 aa
∴x0
bc(b0,c0)
这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点。 注：有时候考虑直角坐标系这一有力的数形结合工具可以有效地解决问题。
证法五：运用锡瓦（Ceva）定理证明。 已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高。 求证：AD、BE、CF相交于一点。
证明：如图，∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E
∴△ABD ∽ △CBF ∴
B
F
A
E
O
D
C
BDAB
＝ （1） BFCB
同理，由△ADC ∽ △BEC得
CECB＝， （2） CDCA
由△AFC ∽ △AEB
AFAC＝ （3） AEAB
BDCEAFABCBAC
1 三式相乘得
BFCDAECBCAAB
BDCEAF
1 即
DCEAFB
∴AD、BE、CF相交于一点。
注：锡瓦定理是证明共点线的有力工具，虽然中学不作要求，但对于学有余力的学生不妨引导他们自己研究，激发他们的学习兴趣。
锡瓦定理可以用梅涅劳（Menelaus）定理证明，而梅涅劳定理可以由平行线分线段成比例定理轻松得到。在适当情况下适当的启发有利于学生思维的扩散，有利于培养学生的创新能力。