探索用平面截正方体所得截面形状
探索用平面截正方体所得截面形状
黄山学校 陆荣
高二上学期黄山市期末质量检测理科有一道平面截正方体所得截面形状的问题，这一块具有一定的抽象性，现将此类问题做一个归纳总结。
一：问题背景
在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。而在普通高中课程标准试验教科书《数学（必修2）》中，第一章 立体几何初步中的第7节简单几何体的面积和体积中探讨了简单几何体。于是我们想到了若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？
二：研究方法
先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究，再利用计算机进行模拟实验。证明，得出结论。
三：结果呈现
当平面经过正方体三个面时，所得截面形状是三角形。可能是锐角三角形，等腰三角形，等边三角形。
当平面经过正方体四个面时，所得截面形状是四边形——长方形，正方形，梯形。
当平面经过正方体五个面时，所得截面形状是五边形。。
当平面经过正方体六个面时，所得截面形状是六边形。
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况.下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状.
我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过三个面，最多经过六个面.所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.
一、截面是三角形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形（如图1）；等腰三角形（如图2）；等边三角形（如图3）.其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点
.
图1 图2 图3
已知：OA比OD=OC比OF=OB比OE
求证：三角形ABC是正三角形
证明：因为OA比OD=OC比OF=OB比OE
所以AC比DF=AB比DE=于 BC比EF
又因为DF=DE=EF
所以三角形ABC是正三角形
二、截面是四边形
用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面可能是正方形、长方形、梯形. ①用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图4方式得到的截面是正方形
.
图4
②按图5或图6或图7的方式切截，得到的截面是长方形
图5 图6 图7
已知：OA比OE=OB比OH；DN比FN=CN比NG；AD，AB都分别垂直于OE，OH 求证：四边形ABCD为矩形
证明：因为OA比OE=OB比OH
所以AB 平行CN
因为EH平行且垂直于FG
所以EFGH为平行四边形
所以AB平行平面EF； GH平行 ABDC
因为DN比FN=CN比NG
所以DC平行FG
所以AB平行DC
所以四边形ABCD为矩形
③按图8的方式所得截面为梯形
.
图8
已知：OD比OG=OC比OF；AN比HN=NB比NE；且AB不=DN
求证：四边形ABCD是梯形
证明：因为OD比OG=OC比OF
同理AB平行HE
因为GF平行HE
所以AB平行DC
又因为AB不=DC
所以AD，BC一定不平行
所以四边形ABCD是梯形
三、截面是五边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形.如图
9.
图9
四、截面是六边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六边形，如图
10.
图10
总结：用一个平面截正方体，由于正方体共有六个面，所以截面不可能是七边形.