介值定理的一些应用
介值定理的一些应用
摘要:介值定理是连续函数的一个很重要的定理。本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。介值定理不但可以证明方程根的存在性,而且可以判断方程根的个数,还能判断方程根的范围。文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。最后举例说明介值定理在生活中的应用。 关键词:介值定理 方程 不等式 应用
介值定理是一个简单的定理,但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。此外,我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一,了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。
介值性定理:设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续。并且函数f (a )与函数f (b )不相等。如果μ是介于f (a )和f (b )之间的任何实数f (a )
>f (b ),则至少存在一点x 0∈(a , b )使得f
或f (a )
>μ
(x .0)=μ.
推论:根的存在定理 如果函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续,并且f (a )和
f (b )满足f (a )f (b )
即是方程f (x )=0在(a , b )内至少有一个根。
1. 介值定理在方程根的问题上的应用
利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。可以利用此定理来解决方程根是否存在,根的个数和根的范围等的问题。 1.1介值定理证明方程根存在性
证明类似方程f (x )=g (x )在区间至少存在一个根的问题总是可以转化为连续函数F (x )=f (x )-g (x )的零点问题,一般可以利用根的存在定理来解决这类的问题。
例1 证明:函数f (x )在区间[0, 2a ]上连续并且函数f (0)=f (2a )。那么方
程f (x )=f (x +a )在[0, a ]内至少有一个根。 证明: 设
F (x )=f
(x )-f (x +a ),
函数F (x )在区间[0, a ]上面连续,并且
F (0)=f (0)-f (a ),
F (a )=f (a )-f (2a )=f (a )-f (0),
如果f (0)-f (a )=0,那么x=0就是方程f (x )=f (x +a )的一个根; 如果f (0)-f (a )≠0,那么F (0)F (a )
(a , b )内至少存在一点c ,使得
c )a =0, F (c )=f ()c -(f +
所以方程f (x )=f (x +a )在[0, a ]至少存在一个根。
例2 证明:任一实系数奇次方程至少有一个实根。 证明: 设
f
(x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n ,
则
⎛a n a n ⎫
l i m f (x )=l i x m a 0++ +⎪=-∞x →-∞x →-∞x x n ⎭⎝
n
x →+∞
l i m f
(x )=
⎛a a ⎫n
l i x m a 0+n + +n ⎪=+∞x →+∞x x n ⎭⎝
x →+∞
lim f
(x )=+∞可得任给M >0,存在N >0,当X >N 时,f (x )>M >0,
x →-∞
lim f (x )=-∞可得任给M
'
0,
'
⎤上连续,并且f (N ' -1)0。 又f (x )在⎡N -1, N +1⎣⎦
根据根的存在定理即存在一点x 0∈(N ' -1, N +1),使得
f (x 0)=0,
所以f (x )至少有一个实根。 1.2介值定理推断方程根个数
利用介值定理我们已经解决了方程根是否存在的问题,我们不但能判断存在性的问题,我们还可以利用这个定理来推断出方程根的个数的问题。 例3 证明:方程x 3+px +q =0, p >0,有且只有一个根。 证明: 设
f
(x )=x 3+
px +q =0,
则
x →+∞
lim =+∞,所以∃b >0. 使得f (b )>0. lim =-∞,所以∃a
x →-∞
根据介值定理,∃c ∈(a , b ),使得f (c )=0,即c 3+pc +q =0。在由p >0,对
∀x 2>x 1,有
33
f (x 2)-f (x 1)=x 2-x 1+p (x 2-x 1)
=(x 2-x 1)(x 22+x 1x 2+x 12)+p (x 2-x 1)
222
⎛⎛x 12+x 2⎫x 1+x 2⎫
+p ⎪>0, x 1x 2≥- ≥(x 2-x 1) ⎪,
22⎝⎭⎝⎭
又函数f (x )是单调递增的,所以只有一个根。 例4 证明:方程x 3-9x -1=0,恰好有3个实根。 证明: 设
f
(x )=x 3-9x -1,
计算可以得到
f (-3)=-10,f (0)=-10,
[-2, 0],[0, 4]分别对连续函数f (x )用根的存在定理,在区间[-3, -2],推断出f (x )
在这3个区间(-3, -2),(-2, 0),(0, 4)个有一个零点,但是f (x )是3次多项式,最多有3个零点。所以方程x 3-9x -1=0,恰好有3个实根。
1.3介值定理推断方程根的范围
根据介值定理我们已经能够判断出方程根的存在性和根的个数,而且还可以根据这一定理推断出方程根的范围。
例5 a 1, a 2, a 3为正数,λ1
f
a 2x -λ1
a 3x -λ3a 1x -λ1
→+∞
a 1x -λ1
+
a 2x -λ2
+
a 3x -λ3
=0
,
a 2x -λ2
和
a 3x -λ3
有界。
(x )
→+∞
,
同理当x →λ-∞时,所以
和有界。
f
(x )→-∞,
于是存在充分靠近λ1的x 1>λ1和充分靠近λ2的x 20, f (x 2)
由介值定理可以推出f (x )=0,在(x 1, x 2)有一个根,从而在(λ1, λ2)有一个根。同理可以证明(λ2, λ3)有一个根。 例6 证明:方程围。
证明: 在方程两端同时乘以(x -1)(x -2)(x -3)可以得
(x -2)(x -3)+2(x -)1(x -)3(+x )-(1x )-2, =0
设
F (x )=(x -2)(x -3)+2(x -1)(x -3)+(x -1)(x -2),
1x -1
+
2x -2
+
3x -3
=0
有两个实根,并判断这两个根的范
则F (x )在(-∞, +∞)连续。取F (1)>0, F (2)
得,在(1, 2)至少存在一点x 1使得
F (x 1)=0,
取F (2)0由介值定理可以得到。在(2, 3)内至少存在一点x 2,使得
F (x 2)=0 ,
又x 1≠x 2,F (x )=0是一元二次方程. 因为一元二次方程至多有两个实根,
x 1≠x 2,
所以x 1, x 2就是方程的两个实根,分别在(1, 2)与(2, 3)内。
2. 介值定理在不等式方面的应用
介值定理也能够解决不等式问题方面。首先,来看一个利用介值性定理证明的一个命题。
例7 如果对于所有x ∈[a , b ]都有f (x )≠0,则f (x )在[a , b ]恒正或是恒负。 证明: 反证法, 如果存在两点x 1, x 2∈[a , b ],使得
f (x 1)0,
设
x 1
在区间[x 1, x 2]对于连续函数f (x )用介值定理。推出存在ε∈(x 1, x 2)⊆[a , b ], 使得
f (ε)=0,
这与题目条件不符,所以得证。
这个证明说明了连续函数的一个整体性质,区间上不等于零的连续函数必然保持恒定的符号,现在设函数f (x )在区间I=(a , b )内有定义且连续。 如果函数f (x )=0在(a , b )内无实根, 则f (x )在(a , b )内恒正或是恒负; 如果函数f (x )=0在(a , b )内有n 个实根,x 1
内恒正或是恒负。 例8 解不等式sin 解:设
F (x )=sinx-
cosx=
>
cosx.
x -
⎝
⎛
π⎫
⎪4⎭
,
则
T =
2π134
=2π
,
F (x )=0在(0, 2π)上解为x 1=
π
4
和x 2=
π.
⎛π⎫⎛π3π⎫⎛π3π⎫
x 1, x 2把(0, 2π)分成 0, ⎪, , ⎪, , ⎪ 这3个区间,每个区间取特值
⎝4⎭⎝44⎭⎝44⎭
a =
π
6
,b =π,c =
3π2
,
,
F (a )=F
⎛π⎫⎛3π⎫
⎪0,F (c )=F ⎪
⎛π
3π⎫
⎪,整个实数域上的解集为 ⎝44⎭
所以函数F (x )>0的解为
π3π⎫⎛
2k π+, 2k π+ ⎪.
44⎝⎭
3. 介值定理在生活中的应用
介值定理在解决方程的根的问题和解不等式根的问题上有一定的作用,在生活中,同样可以利用介值定理解决一些问题。
例9 某人第一天早上7点从甲地出发,晚上5点到乙地,第二天早上9点从乙地出发,沿原路返回晚上8点回到甲。问,能否在两天中该人恰好在同一时刻经过同一地点?
解:设甲乙两地相距为a ,a >0,时间为x ,24小时制。
该人第一天从甲地到乙,在x 时刻距甲距离为f (x ), x ∈[7,17], 第二天从乙到甲在x 时刻距甲距离为g (x ), x ∈[9, 20],
00F (X )=f (x )-g (x );x ∈[9, 17] ,
F (9)=[f (9)-g (9)]0,
根据f (x ),g (x )连续由介值定理则存在x 0∈(9,17) 使
F (x 0)=f (x )-g (x )=0,
得证。
文章讨论了介值定理在方程根上面的应用,在解不等式方面的应用和在生活中的应用。解方程根的问题和一些应用题时注意构造合适的辅助函数,会使解题变得十分轻松。利用定理解不等式,应充分理解是如何运用定理来解题的。介值定理除了本文所举出的在证明方程根,不等式和生活中的应用外,此定理还有很多其它方面的的应用。本文主要讨论了这个定理在连续函数中的应用,对于在不连续函数中的应用,不做讨论。
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Some applications of intermediate value theorem
Name:Li Qi Number:[1**********]4 Advisor:Ge Xin-tong
Abstract :Intermediate value theorem is vevy important contluous function theorem .This
paper discusses the use of intermediate value theorem of the Roots of the problem. Intermediate value theorem can be proved not only the existence of the root equation, and can determine the root of the number of equations, but also to determine the scope of the Roots. Article also discusses the use of intermediate value theorem dealing with inequalities. Intermediate value theorem of the last examples of the application in life.
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