华理概率论07-7-A(答案)

华东理工大学2006–2007学年第一学期

《概率论与数理统计》课程考试试卷 A 2007.7

开课学院： 理学院 ，专业：大面积 ，考试形式：闭卷 ， 所需时间：120分钟 考生姓名： 学号： 班级： 任课教师：

一、选择题：（每题4分,共32分）

1、加工一种零件需经过三道独立工序，各道工序的废品率分别为p1,p2,p3，则加工 该种零件的成品率为 （ B ） （A）1p1p2p3 （B）(1p1)(1p2)(1p3) （C）1p1p2p3 （D）1p1p2p3p1p2p3

2、现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3

张，则此人所得奖金的数学期望为 （ C ）

（A）6.5 （B）12 （C）7.8 （D）9 3、设随机变量和相互独立，其分布函数分别为F(x) 与F(y)，则＝max(,) 的分布函数F(z) 等于 （ B ） （A）max{F(z),F(z)} （B）F(z)F(z)

1

（C）[F(z)F(z)] （D）F(z)F(z)F(z)F(z)

2

4、随机变量~N(0,4)，则P{1} （ D ）

1118

edx （B）e4dx （A）02204

1

x2

x

（C）

1e2



12

（D）

12

1e2



x22

dx

5、设(,)的联合概率分布如下：



012

00.100.2

10.050.10.1

20.250.20

则有 （ A ） （A）与不独立且相关 （B）与独立

（C）与不相关 （D）与不独立且不相关

6、设(X1,X2,,Xn)是取自正态总体N(0,2)的简单随机样本，则2的无偏估计量是 （ D ）

1n21n21

（A）Xi （B）Xi （C）2n1i1n1i1n

1n2

X （D）Xi ni1i1

2in

11

7、设总体和相互独立，分别服从N0,和N0,，n和m是自然数，且

nm

nm. X1,X2,,Xk和Y1,Y2,,Yl分别是和的样本，要使统计量

X1X2XkYYl

2

1

22

2

服从t 分布，k,l应满足条件 （ C ） （A）kl （B）klnm （C）

knkm

 （D） lmln

8、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在0.05下接受H0:0，那么在0.01下，下列结论中正确的是 （ A ） （A）必接受H0 （B）可能接受也可能拒绝H0 （C）必拒绝H0 （D）不接受也不拒绝H0

二、填空题：（每格3分，共27分）

1、已知P(AB)0.6,P(B)0.7，则P(AB)

2、已知二维随机变量(,)的联合分布函数F(x,y)P{x,y}，则事件 {1,0}的概率是1F(1,)F(,0)F(1,0).（用F(x,y)表示） 3、设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从一批由A和B的产品

分别占60%和40%的产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是工厂A生产的概率是__3 / 7___.

4、从一批子弹中任意抽取5发试验，如果没有一发子弹落在靶心2m以外，则整批子弹将被接受，设弹着点与靶心的距离的概率密度为

Axex

p(x)

0

2

x0x0

则A＝__2___ ，这批子弹被接受的概率为(1e4)5.

5、设二维随机变量(,)~N(1,4;1,4;0.5)，，则cov(,) .

12

x33

6、设~U(0,1)，则的概率密度p(x)3

0

0x1. 其他

7、设来自正态总体的容量为10的简单随机样本的样本方差为11，则的方差的 置信度为0.95.

2222

( 已知0.025(9)2.700,0.975(9)19.023，0.025(10)3.247,0.975(10)20.483 )

8、设X1,X2,,Xn,是独立同分布的随机变量序列，且Xi~U(0,a)(i1,2,)，

aa21n

,则当n充分大时，XXi近似服从N. ni1212n

三、（11分）两台同样（独立工作）的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从指

数分布E(5)，先开动一台，当其发生故障时再启动另一台，试求两台记录仪无故 障工作总时间T的概率密度、数学期望和方差. 解：设和分别为两台记录仪无故障工作的时间，

则T，且和相互独立，由卷积公式得 （2分）；

t

25e5xe5(tx)dx25te5t

pT(t)p(x)p(tx)dx0



0



t0t0

（5分）

11

EE,DD

525

（4分）

22

ETEE,DTDD

525

四、（10分）甲乙两个戏院在竞争1000名观众，假定每个观众完全随意地选择一个戏

院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院应该设有多少个座位才能保证 因缺少座位而使观众离去的概率小于1%. ((2.3263)0.99，(2.5758)0.995) 解：用表示到甲（或乙）戏院的人数，则显然~B(1000,0.5) （4分） 设甲（或乙）戏院应设x个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1% 则由中心极限定理可得：

x500x500

0.992.3263x536.8 P{x}

50.50.5

取x537即可. （6分）

五、（10分）设总体的概率分布为 

P{k}

0122

13

1

其中0是未知参数，利用总体的如下样本观测值：1、0、1、2、1, 求

3

的矩法估计值和极大似然估计值. 解：

（1）E0(13)1225,x

10121

1

5

1

解方程5Ex1，得的矩法估计值 （5分）

5

（2）似然函数

L()P{xi}(13)13(2)12(13)4

i15

lnL()ln2ln(13)4ln，

dlnL4154

解方程 （5分） 0得的极大似然估计值

d(13)15

六、（10分）对加工前后的羊毛分别测量含脂率，测得数据如下：

2

设加工前后的羊毛含脂率分别服从正态分布N(1,12)和N(2,2)，在显著水平

0.05时，利用Excel软件得到输出表格如下：

t-检验: 双样本等方差假设

平均 方差 观测值 合并方差 假设平均差 df t Stat P(T

变量 1（代表加工前） 变量 2（代表加工后）

0.428 0.01127

5

0.013383

0 7

2.680295 0.015763 1.894578 0.031526 2.364623

0.22 0.0162

4

（1）检验加工前后羊毛含脂率的方差是否有显著差异. 写出假设内容、检验统计 量及其分布和对应的拒绝域. 并利用Excel软件输出表中的数据作出结论；（5分） （2）若(1)的结论为无显著差异，则进一步对“加工前后羊毛的平均含脂率是否有显著差异” 进行假设检验，此时假设内容和检验统计量及其分布是什么？对应的拒绝域又是什么？并利用Excel软件输出表中的数据作出结论.（5分） （F0.975(4,3)15.1，F0.975(3,4)9.98，t0.975(7)2.3646，t0.95(7)1.8946）

22;H1:122解：(1) H0:122

2

Sx

选用统计量为：F2~F(m1,n1)

Sy

拒绝域是：FF(m1,n1)F0.025(4,3)0.1002或FF

2

1



2

(m1,n1)

结论：接受H0.

（2）H0:12;H1:12 选用统计量为：T

XY

~t(mn2)；拒绝域是：Tt(mn2)；

1112

Sw

mn

结论：拒绝H0.