微波技术基础第四章课后答案杨雪霞

4-1 谐振腔有哪些主要的参量？这些参量与低频集总参数谐振回路有何异同点？

答：谐振腔的主要特性参数有谐振频率、品质因数以及与谐振腔中有功损耗有关的谐振电导，对于一个谐振腔来说，这些参数是对于某一个谐振模式而言的，若模式不同，这些参数也是不同的。谐振频率具有多谐性，与低频中的回路，当其尺寸、填充介质均不变化时，只有一个谐振频率是不相同的。在谐振回路中，微波谐振腔的固有品质因数要比集总参数的低频谐振回路高的多。一般谐振腔可以等效为集总参数谐振回路的形式。 4-2 何谓固有品质因数、有载品质因数？它们之间有何关系？

答：固有品质因数是对一个孤立的谐振腔而言的，或者说，是谐振腔不与任何外电路相连接（空载）时的品质因数。当谐振腔处于稳定的谐振状态时，固有品质因数Q0的定义为

Q02

W

，其中W是谐振腔内总的储存能量，WT是一周期内谐振腔内损耗的能量。 WT

有载品质因数是指由于一个腔体总是要通过孔、环或探针等耦合机构与外界发生能量的耦合，这样不仅使腔的固有谐振频率发生了变化，而且还额外地增加了腔的功率损耗，从而导致品质因数下降，这种考虑了外界负载作用情况下的腔体的品质因数称为有载品质因数Ql。 对于一个腔体，Ql

Q0

，其中k为腔体和外界负载之间的耦合系数。 1k

4-4 考虑下图所示的有载RLC谐振电路。计算其谐振频率、无载Q0和有载QL。

1800

谐振器

负载

解：此谐振电路属于并联谐振电路，其谐振频率为：

f0

Rw0L



356MHz

无载时，

Q

17.9

有载时，

Qe

RL40.25

w0L

根据有载和无载的关系式

111得： QLQeQ

QL

1e

140.2517.9

12.5

4-5 有一空气填充的矩形谐振腔。假定x、y、z方向上的边长分别为a、b、l。试求下列情形的振荡主模及谐振频率：（1）abl；（2）alb；（3）lab；（4）abl。 解：对于Tmnp振荡模，由TE型振荡模的场分量知p不可为0，所以主模可能为TE011或TE101，这取决于a与b间的相对大小。其谐振频率为

f0

对于Tmnp振荡模，由TM型振荡模的场分量知，m、n皆不能为0，而p可为0，故其主模应为TM110，其谐振频率与上式相同。

对TE101模

f0

对TE011模

f0

对TM110模

f0

可见，（1）对abl情况，TM110是主模；（2）对alb情况，TE101是主模；(3)对lab情况，TE101是主模；（4）对abl情况，上列三式值相同，故出现三种振

荡模式的简并，其振荡频率为f0

，谐振波长为0。 7

b3cm，4-6 设矩形谐振腔由黄铜制成，其电导率1.4610S/m， 尺寸为a5cm，l6cm ，试求TE101模式的谐振波长和无载品质因数Q0的值

解: 谐振波长为

0

7.68cm

矩形谐振腔的表面电阻为

Rs

0.1028 4802a3l3b1

无载品质因数为 Q02125 33333

0Rs2ab2blalal

4-7用 BJ-100 波导做成的TE102模式矩形腔，今在 z=l 端面用理想导体短路活塞调谐，其频率调谐范围为 9.3GHz-10.2GHz，求活塞移动范围。假定此腔体在运输过程中其中心部分受到挤压变形，Q 值会发生什么变化？为什么？(BJ-100: a=22.86mm,b=10.16mm) 解：由矩形腔的谐振频率公式得：

cf

2

c122



2alal

2222

9.3GHzf10.2GHza0.02286m



因为：Q

0.0384ml0.455m

V

，体积V变小，而表面积S几乎不变，所以Q值变小。 S

7

4-8 一个空气填充的矩形谐振腔，尺寸为abl3cm，用电导率1.510s/m的

黄铜制作，试求工作于TE111模的固有品质因数。

77

解：TE111模，正方形腔 abl3cm。铜制，1.510s/m，410H/m。

空气填充，310cm/s。故

10

fr

8.66GHz， r2fr

54.41GHz r

3.464cm，

0.1396105m

正方形腔TE111模的无载Q0为

Q0

r

5.372103 

4-9 一矩形腔中激励TE101模，空腔的尺寸为3cm5cm5cm，求谐振波长。如果腔体是铜制的，其中充以空气，其Q0值为多少？铜的电导率为5.710S/m。

7

解：根据矩形腔的谐振波长公式求得：

0



5.15cm

3108

所以谐振频率为 f05.825GHz

00.0515

c

表面电阻为

Rs20.07103 2b(a2l2)3/2

固有品质因数为 Q01.56122972

4Rsal(a2l2)b(a3l3)4Rs



4-10试以矩形谐振腔的TE101模式为例，证明谐振腔内电场能量和磁场能量相等，并分别求其总的电磁储能。

解：对矩形谐振腔的TE101模而言，其场分量为：

EyE0sin

x

a

sin

z

l

, Hx

jE0jE0xxxz

, Hzcossin sincos

kaalZTEal

TE101模式的电场储能为 We

qabl2*

EEdE0 yy416

*

x

*z

1x2

而磁场储能为 Wm(HxHHzH)dE(2222)

416ZTEka

abl

2

其中 ZTE

k



，10

总电磁能为 WWeWm

abl

8

2 E0

4-11两个矩形腔，工作模式均为TE101，谐振波长分别为r3cm和r10cm，试问那一个腔的尺寸大？为什么？

解：矩形腔TE101模式的谐振波长为

r

可见，r与a、l成正比。当腔的横截面尺寸（a、b）不变时，TE101模的r只与l成正

比，故r10cm的尺寸大；当腔的长度l不变，则r10cm时，ab尺寸大，即腔的横向尺寸大（a的尺寸大）。

4-12 铜制矩形谐振腔的尺寸为：al20mm，b10mm。铜的电导率为

1.5170sm/。当腔内（1）充以空气，（2）填充聚四氟乙烯介质时，分别为谐振腔的

主模谐振频率、谐振波长及Qc、Qd和Q0。介质的r2.1，损耗角正切tan0.0004。 解：由题意知该谐振腔的主模为TE101 （1）空气填充情况

f0



10.6GHz Rs24.67103

2b(a2l2)3/21

Q011300

4Rsal(a2l2)b(a3l3)4Rsab4Rs3



（2）介质填充情况

f0

7.319GHz，

R22.3103

sQ0c

112500 4426， Q0d

tan0.0004s同时考虑导体损耗和介质损耗时的Q值时

Q0

Q0cQ0d44262500

1600

Q0cQ0d44262500

b10.16mm的矩形波导，4-13横截面尺寸为a22.86mm ，传输频率为10GHz的H10波，

在某横截面上放一导体板，试问：在何处再放导体板，才能构成震荡模式为H101的矩形谐振腔？若包括l 在内的其他条件不变，只是改变工作频率，则上述腔体中可能有哪些振荡模式？若腔长l加大一倍，工作频率不变，此时腔体中的振荡模式是什么？谐振波长有无变化？

解：（1）波导波长

g

(

00

2a

)2

(

33

)2

22.286

3.98cm

第二块导体板应放在相邻的波节处，故两板的距离为

l

（2）矩形谐振腔的谐振波长

g

2

1.99cm

0

2

mnpabl

2

2

2

若a,b,l的尺寸不变，频率改变，则谐振波长0随之改变，因m,n,l不同，故谐振腔是多谐的。如果当频率改变，在矩形波导中不激起其他模式，只传输TE10模式，则可能产生的振荡模式为TE10p（p为大于1的正整数）；若因某种原因激起其他模式，则可能产生

TEmnpTMmnp等模式。

（3）若腔长增大一倍，设l2l，则

'

(0)H102

212'al

2

2



211al

2

2

由此可见，振荡模式改为H102，但谐振波长不变。

4-14 一个矩形波导腔由一段铜制WR-187H波段波导制成，有a4.755cm 和

b2.215cm，腔用聚乙烯(r2.25和tan0.004)填充。若谐振产生在f5GHz处，

求出所需长度d 和l1和l2谐振模式引起的Q。 解：波数k是

k

157.08m1 谐振时所需的长度d（当m=1,n=0时）为

d

l1,

d

2.20cm

l2, d2(2.20)4.40cm

在5GHz时铜的表面电阻为Rs1.84102。本征阻抗是



导体损耗引起的Q是

377

r

251.3

l1, Qc8403

l2, Qc11898

得出的仅由电介质损耗引起的Q（l1和l2）是

Qd

所以，得出的总Q是

11

2500 tan0.0004

111

)1927 84032500111

)3065 l2, Q(

118982500

l1, Q(

4-15圆柱形谐振腔中的干扰波型有哪几种？ 答：一般有四种干扰波型。

自干扰型，就是场结构在腔的横截面内与所选定的工作波型具有相同的分布规律，但纵向场结构和谐振频率并不相同的波型。

一般干扰型，就是在工作方块内，其调谐曲线与所选定的工作波型调谐曲线相平行的波型。 交叉型，就是在工作方块内，其调谐曲线与所选定的波型的调谐曲线相交的波型，它的场结构与工作波型的场结构完全不同。

简并型，就是其调谐曲线与所选定的工作波型的调谐曲线完全重合、谐振频率完全相同、但场结构完全不同的波型。

4-16一个圆柱形谐振腔，其直径为4cm，长为4cm，工作模式为TM010，求其谐振频率f0。 解：因为l2.1

D

1.05D，所以圆柱谐振腔工作模式为TM010，此时谐振波长为 2

r2.62R2.6225.24cm

3108

所以求得谐振频率f0为：f05.725GHz 2

r5.2410

c

4-17一个圆谐振腔，其d2a,设计在5GHz谐振，用TE011模。若腔是由铜制成的，用聚四氟乙烯r2.08和tan0.004，求腔的尺寸和Q。

k

解：

2f011r

c2(5109)2.081

151.0m8

310

得出TE011模的谐振频率是

f011

'用p013.832。又因为d2a，

c2r

'

p01 ad

2

2

2f011r

c

对a求解可得

'p01k ad

2

2

a

则d5.48cm。

'

(p01)2/22

k

(3.832)2/22.74cm

151.0

2

在5GHz时，铜的表面电阻Rs0.0184。用n0,ml1和d2a，得出导体损耗引起的Q是

(ka)3ad1ka

Qc29390 '22'2

4(p01)Rs[ad/2(/p01)]2Rs

为了简化这个表达式，得出由介质损耗引起的Q是

Qd

所以腔的总Q是

11

2500 tan0.0004

1

11

Q2300 Q

cQd

4-18有两个半径为5cm，长度分别为10cm和12cm的圆柱腔，试求它们工作于最低振荡模式的谐振频率。

解：对于圆柱形腔，当l2.1R，最低模式为TE111；当l2.1R，最低模式为TM010。 所以，对于a5cm，l110cm的腔，由于l2.1R，故最低模式为TM010，其谐振波长

r2.62R，其谐振频率fr为（空气填充）

fr

31010

2.29GHz

r

对于a5cm，l212cm的腔，由于l2.1R，故最低模式为TE111，其谐振波长r为

r

， 111.841

所以其谐振频率

fr

31010

r

3102.157GHz 4-19有一半径为5cm，腔长为10cm的圆柱形谐振腔，试求其最低振荡模式中的品质因数。(腔体为铜，其1.510cm) 解： 腔长

4

l10cm2.05a10.25cm

故谐振腔的最低振荡模式是E010模 谐振波长和谐振频率为：

02.61a13.05cm

f0

谐振腔的品质因数为

c

0

2.29GHz

Q0

0

2.405

2.22104

g2(1a/l)

4-20求半径为5cm，长度为15cm的圆柱腔最低振荡模式的谐振频率和无载Q值。（用

1.5107s/m的黄铜制作）

解：a5cm，l15cm, l2.1a，最低振荡模式为TE111。

f111

2.02GHz c

0.1483m f111

322

所以， 0

Q0

7

r0.806[1.37(D/l)]

32

210.728(D/l)0.215(D/l)(1D/l)

1s0m/的黄铜，对于1.5

D/l2R/l0.667，则

r2fr12.692109，4107H/m，



0.289105m，Q01.25104

4-21有一半径为5cm，腔长为10cm的圆柱谐振腔，试求其最低振荡模式的谐振频率和品质因数。（腔体为铜，其1.510cm） 解： 腔长： l10cm2.1a10.5cm 故谐振腔的最低振荡模式是E010模式。

谐振波长和频率为： 02.61a13.05cm， f0

4

c

0

2.29GHz

谐振腔的品质因数为： Q0

02.405

2.22104 2(1)

7

4-22一个半径为5cm，腔长为10cm的圆柱谐振腔，若腔体用电导率1.510s/m的黄铜制作，试求腔体的无载品质因数；若在腔体的内壁上镀一电导率6.1710s/m的银，试求腔体的无载品质因数；若腔的内壁上镀一电导率4.110s/m的金，试求腔的无载品质因数。

解：圆柱形腔半径R5cm，腔长l10cm，因此，l2.1R，最低模式为TM010，所以其的固有品质因数Q0为 Q0

7

7

R

1l

7



1

，



04107H/m。

（1）若腔体用电导率1.510s/m的黄铜制成，其趋肤深度由上式计算得



所以 Q0

R1

2.71106m 1.235104

1l

7

（2）若腔内壁镀电导率6.1710s/m的银，其趋肤深度为



所以，其固有品质因数为 Q0

R1

1.34106m 2.49104

1l

7

（3）若腔内壁镀电导率4.110s/m的金，其趋肤深度



所以，其固有品质因数为 Q0

R1

1.64106m 2.03104

1R

l

4-23有一圆柱式谐振波长计，工作模式H011，空腔直径D3 ，直径与长度之比的可变范围为2－4，试求波长计的调谐范围。

解：对于模式H011，xni013.832，因此有

3.832212D2

(f0D)910

2l

2

20

当D/l2时

2

3.8321220

(f1D)9104

4

得

f115.8GHz

当D/l4时

3.83221

(f1D)91016 

4

2

20

得

f223.4GHz

故调谐范围为15.8～23.4GHz

4-24 一个充有空气介质，半径为1cm的圆波导，现在其中放入两块短路板，构成一个谐振腔，工作模式为TM021，谐振频率为30GHz，试求两短路板之间的距离。 解：圆柱形谐振腔TMmnp振荡模式的谐振波长公式为：

r

对于TM021模，025.520，p1。谐振频率fr30GHz，空气填充，其谐振波长为

31010

r1cm

30109

由于腔的半径R1cm，由谐振波长公式解出腔长l为

l

r

2

1.05cm

4-25 设计一个工作于TM010振荡模式的圆柱形谐振腔，谐振波长为3cm，若要求腔内不存在其他振荡模式，试求腔的直径与长度。

解：根据圆柱腔的谐振频率与振荡模式和腔体尺寸的关系式为

mn2p2D2

)()() 2l22

对于TM010模式（p0），有 (frD)(01)



(frD)2(

其中01

2.405，31010/s。因此圆形腔TM010模的直径D为

D10GHz，因此，腔的直径为

对于空气填充，r3cm，其中fr

31010

r

D2.296cm

TM010模式的谐振频率与腔长无关系，为保证单模工作，由 波形图可知，

D

()21 l

lD2.296cm

4-26 用一个工作于TE011振荡模的圆柱形谐振腔作为波长计，频率范围是2.84-3.2GHz，试确定腔体的尺寸。 解：（1）求频宽比F(

2

fmax23.22

)()1.2695 fmin2.84

2

（2）由工作模式TE011和F确定(D/l)2min

(D/l)

2

min

6(F21)0.5924 2

4F

220

（3）由波型图查到(D/l)2对应的模的TE0.5924(fD)1015.3，解出直011minmin

径D为

D13.77cm （4）由所确定的D和所给出的fmax3.2GHz，求得

(fmaxD)2102019.41

（5）由波形图，查出TE011模，(fmaxD)2102019.41对应的

(D/l)2max2.8

2

（6）由D13.77cm，(D/l)2，0.5924(D/l)minmax2.8计算

lmin



8.23cm lmax17.89cm

所以，腔直径D13.77cm，调谐范围为8.23~17.89cm。

4-27 设计一个工作于TE011振荡模式的圆柱形谐振腔，谐振波长为10cm，欲使其无载Q0尽量大一些，试求腔的直径和长度。 解：对于工作模式给定的腔而言，H比V/S成正比，即Q0A

2

/H是一个常数。故无载品质因数Q0与腔的体积

2

V

。因此，为了提高Q0值，应尽可能使V/S大些，且选用电S

导率大的材料制成。本着这一原则，有波型因数(Q0



)与D/l关系曲线可知，当

D/l1.3时，TE011模的Q0



0.67。 

由模式图，当D/l1.3，(D/l)21.69，对应的TE011模的(frD)2102017.5，因此

D

13.94cml10.72cm。 腔直径D，腔长

1.3

4-28 电容加载式同轴线腔的内外导体半径分别为0.5cm和1.5cm，终端负载电容为1nF，谐振频率为3000MHz，求腔长。 解：

Zc

b

65.92，r2fr18.85109 a

r10cm， C1nF

因此，腔长l为l

r1arctanpr(0.00135p)cm （p0,1,2,3...） 2rCZc2

4-29有一加载同轴线谐振腔，已知内导体直径为0.5cm，外导体直径为1.5cm，终端电容为1pF，要求谐振在3GHz，试确定该腔最短的两个长度。 解：同轴线的阻抗特性

Zc

D

66 d

由谐振条件 0C

1

cotl Zc

得 l当n=0 和1时，分别为

11

arctannCZc

(m0,1,2...)

l0

01

arctan1.08cm 20CZc

0

2

6.08cm

l1l0

4-30 有一个



同轴谐振腔，其内导体外直径为d，外导体内直径为D，用电导率为4

5.8107s/m的铜制成，填充介质为空气，若忽略短路板的损耗，试求：

（1）无载品质因数Q0的表达式。

（2）当D/d为何值时，无载品质因数最大。

解：（1）根据同轴谐振器中电磁场分量得出同轴谐振器的品质因数Q0

Q0

2

b

l



2

Vs

HdVHds

2

2

2

其中



2

V

HdV

2



a

2

EmEm(2p1)bjcos[z]rdrddz2lln rla



s

Hds

s1

Em(2p1)

cos[z]2adzrlraEm(2p1)

cos[z]2bdzrlrbEm(2p1)cos[z]rdrdbl

2

222

2



s2

s32

EEmlEmbm2lnlba

所以 Q0

2

lln

l(11)2lnb

aba

ln

b

b

2当l时，Q0为 Q0

4lnabrabD

ln

2D 若不考虑端壁损耗，则 Q0

1abd

ln

其中，D2b，同轴线外导体内直径；d

2a，同轴线内导体外直径；（3）令D/dx，故

Q0

Dlnx

1x

1

(1x)lnx

dQ0D[]0 求极值 dx(1x)2

即 xlnx1x 解得 x即当

D

3.6 d

D

3.6时，同轴线谐振腔在不考虑端壁损耗时，其无载品质因数有最大值。 d4

4-31 若在长度为l两端短路的同轴腔中央旋入一金属小螺钉，其电纳为 B；旋入螺钉后谐振频率如何变化?为什么? 求谐振频率表示式。 解：旋入螺钉后，谐振时有 lp



2

；

当p2n1时，对于场终端短路线，无论激励从哪一点馈入，皆对激励源呈并联谐振，旋

入螺钉后不影响谐振频率。0

设馈入点为

ll处， kyp 224

则对两端回路，输入阻抗均为 Zin

2

Z0

j(2n1)/0

则Z(

Z02

B)1

ZinlBZ0j(2n1)

/20



Z0(2n1)1

其中k，C，L2

40Z0lBZ00C4-32 由一根铜同轴线制成的/2谐振器，其内导体半径为1mm，外导体半径为4mm。若谐振频率是5GHz，对空气填充的同轴线谐振器和聚四氟乙烯填充的同轴线谐振器的Q进行比较。

解：我们必须首先计算同轴线的衰减，铜的电导率5.81310S/m，因此表面电阻是

7

Rs

1.84102 对于空气填充的同轴线，由导体损耗引起的衰减是

Rs1.841021111

c0.022Np/m

2lnb/aab2(377)ln(0.004/0.001)0.0010.004

对于聚四氟乙烯，r2.08和tan0.004，所以用聚四氟乙烯填充的同轴线，由导体损耗引起的衰减是

11

c0.032Np/m

0.0010.004

空气填充的介质损耗是零，但是聚四氟乙烯填充的同轴线的介质损耗是

dk0

最终计算得到的Q是

r

2

tan

(104.7)2.08(0.004)

0.030Np/m

2

Qair

104.72380 22(0.022)

QTeflon

104.72.081218 22(0.0320.030)

结果表明空气填充同轴线谐振Q值几乎是聚四氟乙烯的两倍。

4-33试举出电容加载同轴型谐振腔的两种调谐方法。并画出调谐机构的示意图。 解：电容加载的同轴腔有两种调谐方式，一种是电感调谐，即调同轴线长l；一种是电容调谐，即调间隙d。

4-34 工作在3GHz的反射调速管，需设计一个环形谐振腔，如腔长l1cm，半径

R3r01cm，试求两栅间的距离d为多少？ c3

108

解：谐振波长为00.1m10cm 9

f310

2lln

Rr0

所以，0r2ln30.024cm 10 得：d(0)2()2

r0

4-36 一个谐振器由一段50开路微带线制成，缝隙耦合到50的馈线，谐振频率为5GHz，有效介电常数是1.9，衰减是0.01dB/cm。求谐振器的长度、谐振器的Q及临界耦合时所需耦合电容的值。

解：第一个谐振频率将发生在谐振器的长度g/2 附近。所以忽略边缘场，近似谐振频率是

f0由上式可求出谐振器的长度为：

vp

g





vp

g



8

2.175cm 这不包含耦合电容的影响。然后求出谐振器的Q为

Q

(8.7dB/Np)628 2g22(0.02175m)(1dB/m)

求出归一化耦合电容的电纳为

bc

所以耦合电容的数值为

2Q



2(628)

0.05

C

bc0.05

0.032pF Z02(5109)(50)

这应该是谐振器到50馈线的临界耦合时的答案。

4-37考虑一个长度的/2的50开路微带线构成的微带谐振器。基片是聚四氟乙烯

r2.08和tan0.0004，厚度是0.159cm，导体是铜。计算是5GHz谐振时，微带线的

长度和谐振器的Q。忽略在微带线端口的杂散场。 解：由公式

8eA

,

We2A2W/d2



r10.61d2

[B1ln(2B1){ln(B1)0.39}],2W/d2rr

其中 A

377Z0r1r10.11

(0.23)， B

602r1r2Z0r

求得基片50微带线的宽度是

W0.508cm

有效介电常数是 r1.80

然后，计算出谐振长度为

l

传播常数是



2



vp2f



c2f

e

3108

2.24cm 9

2(510).80

2f2fe2(5109).80151.0rad/m

vpc3108

导体损耗引起的衰减是

Rs1.84102c0.0724Np/m

)Z0W50(0.00508

利用表面电阻Rs，得出由介质损耗引起的衰减是

d

k0r(e1)tan2e(r1)



(104.7)(2.08)(0.80)(0.0004)

0.024Np/m

2.80(1.08)

计算出Q是

Q

151.0783 22(0.07240.024)

4-38 谐振腔耦合分为哪几类？分别采取的方式是什么？

答：（1）电场耦合，即通过电场使谐振腔与外电路相耦合，有时又称为电容耦合，这类耦合结构有电容膜片或探针；

（2）磁场耦合，即通过磁场使谐振腔与外电路相耦合，故又称为电感耦合，这类耦合结构有电感膜片或耦合环；

（3）电磁耦合，即通过电场或磁场使谐振腔与外电路相耦合，这类耦合有耦合小孔等。