超对称理论简介
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SUSY Seminar
High Energy Theory Group at USTC
2011/5/12
内容概览
1
超对称的历史
2
超对称量子力学
3
超对称代数
4
超空间和超场
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超对称的历史
物理学中的进展
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1966年,H. Miyazawa在强子物理中第一次提出超对称的思想. 1971年,Y.A. Golfand和E.P. Likhtman构造出极小超Poincar´代数. e 1971年,P. Ramond, J. Schwarz和A. Neveu在玻色弦中引入超对称. 1972年,D.V. Volkov和V.P. Akulov构造出超对称自发破缺的作用量. 1974年,J. Wess和B. Zumino构造出四维时空中最简单的超对称场论. 1974年,A. Salam和J. Strathdee提出超空间以及超场的概念. 1975年,Haag-Lopuszanski-Sohnius定理构造出扩展的超Poincar´代数. e 1976年,S. Ferrara, D. Freedman和P. van Nieuwenhuizen构造超引力. 1981年,H. Georgi和S. Dimopoulos提出极小超对称标准模型. 2010年,LHC正式运行,发现超对称粒子是它的一个重要目标.
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超对称的历史
数学中的结果
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1967年,G.L. Stawraki第一次提出李超代数(称为K-algebras). 1970年,F.A. Berezin和G.I. Kats在数学中引入超群的概念. 1971年,V.G. Kac开始对单李超代数进行分类并于四年后完成. 1980年,L. Sch¨fer和F. Wegner将超对称方法引入到随机矩阵理论. a 1982年,E. Witten将超对称和微分拓扑中的Morse理论联系起来. 1983年,P. Windey利用超对称给出Atiyah-Singer指标定理的新证明. 1986年,V. Mathai和D. Quillen引入超联络并给出Thom类的构造. 1988年,E. Witten提出拓扑量子场论并给出Gromov–Witten不变量. 1994年,N. Seiberg和E. Witten利用对偶性研究N = 2的规范场论. 1994年,C. Vafa和E. Witten利用对偶性研究N = 4的规范场论.
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超对称的历史
Coleman-Mandula No-go Theorem (1967)
对于四维量子场论中的S矩阵,具有玻色对称性的生成元只能是[6]
1 2 3
时空平移变换Pµ = i∂µ ; Lorentz变换Lµν = i(xµ ∂ν − xν ∂µ ); 内禀对称荷Zi ,与Pµ 和Lµν 都可以对易.
这里我们采用的度规是(−, +, +, +).当粒子的质量非零时,其唯一可能的推广 就是超对称代数, 这被称为Haag-Lopuszanski-Sohnius定理;当质量为零时, 它还可以进一步推广到超共形代数, 其在二维的情形就是超Virasoro代数. 时空平移变换和Lorentz变换生成Poincar´代数: e [Pµ , Pν ] = 0 [Pρ , Lµν ] = i(ηρν Pµ − ηρµ Pν ) [Lµν , Lρσ ] = i(ηνρ Lµσ − ηµρ Lνσ + ηµσ Lνρ − ηνσ Lµρ )
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(1a) (1b) (1c)
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超对称的历史
超对称性
设(a, a† ), (b, b† )分别为玻色子和费米子的湮灭生
成算子: [a, a† ] = 1, {b, b† } = 1 (2)
其它对易子和反对易子全部为零.体系的Hamilton量可以写为 H = ωa a† a + ωb b† b = ωa Na + ωb Nb 其中Na 为玻色子的粒子数,Nb 为费米子的粒子数.定义费米型算符 Q = b† a + a† b 满足以下对易关系: [Q, a† ] = b† , {Q, b† } = a† (5) (4) (3)
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超对称的历史
如果|1
a
= a† |0 为一玻色态,则Q|1 a 为一费米态: Na |1
a
= |1
a
=⇒
Nb Q|1
a
= Q|1 a ,
Na Q|1
a
=0
(6)
反之,如果|1 b = b† |0 为一费米态,则Q|1 b 为一玻色态. 这种能够将费米态 变为玻色态或者将玻色态变为费米态的算子Q就称为超对称算符. 如果态空间 是完备的,则算子a的数目与b的数目相等,即玻色自由度与费米自由度相等, 这是超对称理论的第一个必要条件. 由(3)和(4)可以得到 [Q, H] = (b† a − a† b)(ωa − ωb ) (7) 如果ωa = ωb ,则体系是超对称不变的.于是,我们得到超对称理论的第二个 必要条件:费米态能量等于玻色态能量.此时我们有 {Q, Q† } = 2(a† a + b† b) = 2H/ω (8)
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超对称量子力学
超对称量子力学
我们只讨论一维定态的情形,设哈密顿量H1 为 H1 = − d2 + V1 (x), dx2 V1 (x) = W 2 (x) − W (x) (9)
其中W (x)称为超势,满足Riccati方程.设基态波函数为ψ0 (x),基态能量 为0, 则由定态方程H1 ψ0 (x) = 0可得 V1 (x) = 引入以下算符 A= d + W (x), dx A† = − d + W (x) dx (11) ψ0 (x) , ψ0 (x) W (x) = − ψ0 (x) ψ0 (x) (10)
则我们有H1 = A† A.定义H1 的超伙伴H2 = AA† ,即 H2 = −
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d2 + V2 (x), dx2
V2 (x) = W 2 (x) + W (x)
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(12)
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超对称量子力学
记哈密顿量H1 和H2 对应的Schr¨dinger方程分别为 o
(1) (1) (1) (1) H1 ψn = A† Aψn = En ψn , (2) (2) (2) (2) H2 ψn = AA† ψn = En ψn
(13)
容易看到上述两方程的解满足以下关系
(2) En = En+1 , (1) (2) ψn = En+1 (1) −1/2
Aψn+1 ,
(1)
(2) ψn+1 = En
(1)
−1/2
(2) A† ψ n
(14)
进一步引入以下矩阵表示 H= H1 0 0 H2 , Q= 0 0 A 0 , Q† = 0 0 A† 0 (15)
这样我们就得到超代数: [Q, H] = [Q† , H] = 0, {Q, Q† } = H, {Q, Q} = {Q† , Q† } = 0 (16)
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超对称量子力学
谐振子
如果取W (x) = x,则我们有 V1 (x) = x2 − 1, 于是,超伙伴H1 和H2 分别为 H1 = − d2 + x2 − 1, dx2 H2 = − d2 + x2 + 1 dx2 (18) V2 (x) = x2 + 1 (17)
设H1 = H2 − 2,则H2 = H1 + 2即为H1 的超伙伴,这样我们可以看出
(1) En = 2n, (1) ψn ∝ (−d/dx + x)n e−x
2
/2
(19)
引入费米子算符ψ使得Q = Aψ † 并且Q† = A† ψ,则我们有 H = QQ† + Q† Q = −d2 /dx2 + x2 − [ψ, ψ † ] (20)
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超对称量子力学
无穷深方势阱
考虑[0, 1]区间上的无穷深方势阱V (x),其基态波函数和基态能量分别为 ψ0 =
(1)
√
2 sin πx,
E0 = π 2
(21)
设H1 = H − E0 ,则对应的波函数和能量为
(1) ψn =
√
2 sin(n + 1)πx,
(1) En = n(n + 2)π 2
(22)
由(9)以及(12)求得超势和超伙伴 W (x) = −π cot πx,
(1)
V2 (x) = π 2 (2 csc2 πx − 1)
(23)
将算子A = d/dx + W (x)作用在ψn 上,我们就得到 ψ0 ∝ sin2 πx,
(2)
ψ1 ∝ sin2 πx cos πx,
(2)
ψ2 ∝ sin2 πx(2 + 3 cos 2πx)
(3)
(24)
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超对称量子力学
如果将ψ0 对应的基态能量取为0,则V2 (x)的超势和超伙伴为 W2 (x) = −2π cot πx, V3 (x) = π 2 (6 csc2 πx − 4) (25)
(2)
进而我们可以继续求出W3 , V4 , W4 , V5 , . . . ,即 Wm (x) = −mπ cot πx, Vm+1 (x) = π 2 m(m + 1) csc2 πx − m2 (26)
相应的能量谱和基态波函数分别为
(m) En = n(n + 2m)π 2 ,
ψ0
(m)
∝ sinm πx
(27)
任意的一维可解势,我们都可以通过设定基态能量为零把哈密顿量分解为两个 线性算子的乘积, 并利用超对称的思想构造同一等级的全部可解势.
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超对称量子力学
Factorization and the Hierarchy of Hamiltonians
对于一般情况,我们有 Hm = A† Am + E0 m 其中Am 和Wm 的表达式为 Am = d + Wm (x), dx Wm (x) = − d ln ψ0 dx
(m) (m)
=−
d2 + Vm (x) dx2
(28)
(29)
相应的能量谱、波函数以及势函数分别为
(m) En = En+1 (m) ψn = (m−1)
= · · · = En+m−1
(1)
(30a) (30b) (30c)
Vm (x) =
(m−1) (m−1) −1/2 (m−1) En+1 − E0 Am−1 ψn+1 d2 (1) (m−1) V1 (x) − 2 2 ln ψ0 · · · ψ0 dx
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超对称量子力学
Shape Invariant Potentials
如果互为超伙伴的两个势函数满足 V2 (x; a1 ) = V1 (x; a2 ) + R(a1 ) 其中a1 是参数并且a2 = f (a1 ),则(13)总是可解的[3] . 由(31)可以构造 Hm = − d2 + V1 (x; am ) + dx2
m−1
(31)
R(ak )
k=1
(32)
其中am = f m−1 (a1 ).容易看出,Hm 和Hm+1 是超伙伴并且
m−1
E0
(m)
=
k=1
R(ak )
(33)
从Hm 逆推到Hm−1 ,再到Hm−2 ,直至H2 和H1 ,最终我们得到
n (1) En (a1 )
=
k=1
R(ak ),
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E0
(1)
=0
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(34)
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设超势W (λ) = λ tanh x,则我们有 V1 (x) = λ2 − λ(λ + 1) sech2 x, 显然,它们满足形状不变性: V2 (x, λ) = V1 (x, λ − 1) + λ2 − (λ − 1)2 (36) V2 (x) = λ2 − λ(λ − 1) sech2 x (35)
此即为第II类型的P¨schl-Teller势函数,而第I类型的就是(23), 它们的参数都 o 满足a2 = a1 + α.在量子力学中,绝大多数的可解势都具有这种结构. 1993年,Khare和Sukhatme等人发现[3] 还有另外的一类可解势满足a2 = qa1 . 事实上,也并非所有的可解势都具有形
状不变性.
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超对称代数
Dirac Spinors
Dirac方程的协变形式以及相应的拉氏量为 (iγ µ ∂µ − m)ψ = 0, ¯ L = ψ(iγ µ ∂µ − m)ψ (37)
¯ 定义σ µ = (1, σ), σ µ = (1, −σ), 则Weyl表象下的Dirac矩阵为 γµ = 0 σµ ¯ σµ 0 (38)
将Dirac旋量ψ按手征分解为两个Weyl旋量的直积,即 ψ= χα ¯˙ , ξα ¯ ψ = (ξ α χα ), ¯˙ α, α = 1, 2 ˙ (39)
¯ 其中χ具有左旋手征性,ξ具有右旋手征性.于是,(37)等价为 ¯ iσ µ ∂µ ξ − mχ = 0,
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¯ i¯ µ ∂µ χ − mξ = 0 σ
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(40)
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超对称代数
Weyl Spinors
定义(39)中χα 和ξα 的对偶旋量分别为 ¯˙ χα = (χα )∗ , ¯˙ ¯˙ ξ α = (ξ α )∗ (41)
引入旋量度规 ,对任意的Lorentz变换M 都满足M M t = ,即
αβ
=
αβ ˙ ˙
=
0 1
−1 0
,
αβ
=
αβ ˙ ˙
=
0 −1
1 0
(42)
于是,我们可以实现上下指标的升降 χα =
αβ
χβ ,
¯˙ ξα =
αβ ξ ˙ ˙
˙ β
,
σ µαα = ¯ ˙
αβ αβ µ ˙ ˙ σβ β ˙
(43)
两个Weyl旋量的内积定义为 (χ, ξ) = χα ξα = ξ α χα , ¯˙ ¯ ˙ (χ, ξ) = χα ξ α = ξα χα ¯ ¯ ¯ ˙ ¯˙ (44)
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超对称代数
Majorana Spinors
取电荷共轭变换Λc = −iγ 2 ,相应的Dirac旋量为 ψc = Λc ψ ∗ = Lorentz协变性允许Majorana方程: iγ µ ∂µ ψ = mψc , 如果ψc = ψ,则ψ称为Majorana旋量 ψM = χα χα ¯˙ (47) iγ µ ∂µ ψc = mψ (46) −iσ 2 ξ α iσ 2 χα ¯˙ = ξα χα ¯˙ (45)
One Weyl equals one Majorana, and two Weyls equal one Dirac.
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超对称代数
阶化李代数
设复数域上的代数A可以分解为Z2 阶化空间 A = A0 ⊕ A1 其中A0 称为A的偶空间,A1 称为A的奇空间,其乘法满足 Ak Al ⊂ Ak+l , k, l ∈ Z2 (49) (48)
则A称为超代数.Lie超代数就是Z2 阶化Lie代数,满足阶化反对易性 x, y = −(−1)xy y, x 以及阶化Jacobi恒等式 (−1)zx x, y, z + (−1)xy y, z, x + (−1)yz z, x, y =0 (51) (50)
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超对称代数
一个简单的例子
设代数A的元素为四个2 × 2的实矩阵 e = σ0 , h= 1 (σ3 + σ0 ), 2 x= 1 (σ1 + iσ2 ), 2 y= 1 (σ1 − iσ2 ) 2 (52)
其中σi 为Pauli矩阵.将A分解为Z3 阶化空间 e, h ∈ A0 , x ∈ A1 , y ∈ A−1 (53)
定义 x, y = xy − (−1)xy yx,则我们有以下非零的超对易关系 h, x = x, h, y = −y, x, y = e (54)
于是,A构成Z3 阶化Lie代数.费米场的Jordan-Wigner量子化为 [N, b† ] = b† , [N, b] = −b, {b, b† } = 1, {b, b} = {b† , b† } = 0 (55)
进而我们可以给出(52)中阶化Lie代数的一个物理实现: e ∼ 1,
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h ∼ N,
x ∼ b† ,
y∼b
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(56)
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超对称代
数
超对称代数
超对称代数通常又称为超Poincar´ 代数,其偶空间仍由(1)中的Pµ 和Lµν 生成; e j ¯ ˙ 生成,并满足以下关系 其奇空间由4N 个超荷Qα 和Qjα
j µ ¯ ˙ {Qj , Qkα } = 2δk σαα Pµ , α ˙
{Qj , Qk } = α β
αβ Z
jk
,
¯ ˙ ¯ ˙ {Qj α , Qkβ } =
αβ Zjk ˙ ˙
¯
(57)
¯ 其中j, k = 1, . . . , N ,Z jk 和Zjk 称为中心荷,与其它生成元对易并且有 Z jk = −Z kj , ¯ Z jk = (Zjk )† (58)
N = 1的超代数称为极小超对称代数,不具有中心荷,而N > 1的超代数称为 ¯ ˙ 扩展的超对称代数. 超荷Qj 和Qj α 互为复共轭,它们都是Weyl旋量 α [Lµν , Qj ] = i(σµν )αβ Qj , α β 并且具有平移不变性 ¯ ˙ [Pµ , Qj ] = [Pµ , Qj α ] = 0 α
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˙ ¯˙ ¯ j˙ [Lµν , Qα ] = i(¯µν )αβ Qβ σ ˙ j
(59)
(60)
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超对称代数
˙ (59)中的(σ µν )αβ 和 (¯ µν )αβ 定义如下 σ ˙
(σ µν )αβ =
1 µ ν αβ ν ˙ ¯ σ ˙ σ ˙ − σαα σ µαβ , ˙¯ 4 αα
˙ (¯ µν )αβ = σ ˙
1 µαα ν σ ˙ σαβ − σ ν αα σαβ ¯ ¯ ˙ µ˙ ˙ 4
(61)
Poincar´群的不可约表示通常用Casimir算符Pµ P µ 和Wµ W µ 的本征值来区分, e 其中Pµ 为平移变换的生成元,Wµ 为Pauli-Lubanski算符 Wµ = 1 µνρσ ε Pν Lρσ 2 (62)
在超对称代数中,W 2 不再是Camisir算子,但我们可以构造 C 2 = P 2 Y 2 − (P · Y )2 = (Pµ Yν − Pν Yµ )(P µ Y ν − P ν Y µ ) 可以验证C 2 是Casimir算子,其中 1 αα ¯ ˙ Yµ = Wµ − σµ [Qi , Qiα ] ¯˙ α 8 (64) (63)
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超对称多重态
对于无质量态,我们总可以取标准坐标 Pµ = (E, 0, 0, E) 螺旋度算子J3 = L12 ,由(59)可以得到 1 [J3 , Qi ] = − Qi , 2 2 2 1¯ ¯ ˙ [J3 , Qi2 ] = Qi2 ˙ 2 (66) (65)
记螺旋度最低的态为|h ,则其它的多重态都可以构造为 ¯ ˙¯ ˙ ¯ ˙ Qi1 2 Qi2 2 · · · Qin 2 |h , 设定h Qi1 Qi2 · · · Qin | − h 2 2 2 (67)
−2,如果理论是自洽的,则我们有 h + N /2 −h =⇒ N 8 (68)
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超对称代数
Witten Index
算子(−1)F 作用在玻色态和费米态上的本征值分别为±1,则我们有 ¯ {(−1)F , Q} = {(−1)F , Q} = 0 定义Witten指数为tr(−1)F ,可以得到 ¯ ˙ ¯ ˙ ¯ ˙ tr (−1)F {Qj , Qkα } = tr − Qj (−1)F Qkα + (−1)F Qkα Qj = 0 α α α 另一方面,由(57)我们有
j µ ¯ ˙ tr (−1)F {Qj , Qkα } = 2δk σαα Pµ tr(−1)F α ˙
(69)
(70)
(71)
所以,tr(−1)F = 0,即同一多重态中的的玻色态和费米态的数目相等.
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超对称代数
The Wess-Zumino Model
取超对称变换参数为Weyl旋量,则(57)可以写成 [ξQ, η Q] = 2ξσ µ η Pµ , ¯¯ ¯ [ξQ, ηQ] = 0, ¯¯ ¯ ¯ [ξ Q, η Q] = 0 (72)
¯¯ 定义超对称变分δξ = ξQ + ξ Q,则我们有 ¯¯ ¯ [δξ , δη ] = [ξQ, η Q] − [ηQ, ξ Q] = 2i(ξσ µ η − ησ µ ξ)∂µ ¯¯ ¯ 对标量场φ变分,并引入旋量场ψ: δξ φ = √ 2ξψ, δξ φ∗ = √ ¯¯ 2ξ ψ (74) (73)
为了与(73)在标量场上的作用保持一致,我们可以取 √ µ ˙ √ ¯ δξ ψα = −i 2σαα ξ α ∂µ φ + 2ξα F, ˙ √ √ ˙ ¯˙ ¯ δξ ψ α = −i 2¯ µαα ξα ∂µ φ∗ + 2ξ α F ∗ (75) σ ˙
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超对称代数
为了与(73)在旋量场上的作用保持一致,我们可以取 √ ¯˙ ¯ ˙ δξ F = i 2ξα σ µαα ∂µ ψα , √ µ ¯˙ δξ F ∗ = i 2ξ α σαα ∂µ ψ α ˙ (76)
在自然单位制下,不同场量的质量量纲为: [∂] = [φ] = 1, ¯ [Q] = [Q] = 1/2, [ψ] = 3/2, [F ] = 2 (77)
多重态(φ, ψ, F )上的自由Wess-Zumino拉氏量为 ¯σ L = ∂ µ φ∗ ∂µ φ − iψ¯ µ ∂µ ψ + F ∗ F 它在超对称变换下是不变的: δξ L = √ ¯¯ ¯ 2∂µ (ξψ∂ µ φ∗ + ξ ψ∂ µ φ + σ ν σ µ ξψ∂ν φ∗ + iξσ µ ψF ) ¯ (79) (78)
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超空间和超场
Grassmann Numbers
Grassmann代数中的元素具有以下形式 Z = z0 + zi θi + zij θi θj + · · · + zi1 i2 ···in θi1 θi2 · · · θin 其中{θi , θj } = 0.相应导数的Leibnitz为 ∂ ∂Z1 ∂Z2 Z1 Z2 = Z2 + (−1)Z1 Z1 ∂θ ∂θ ∂θ 定义Grassmann积分满足以下两个性质: dθ = 0, dθ θ = 1 (82) (81) (80)
¯ ¯ 对于Z = z0 + z1 θ + z2 θ + z12 θθ,则我们有 ∂Z ¯ = z1 + z12 θ = ∂θ
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dθ Z,
∂Z ¯ = z2 − z12 θ = ∂θ
¯ dθ Z
(83)
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超空间和超场
Superspace and Superfields
超空间R3,1|4 为Lorentz群作用在超Poincar´群上的商空间,其坐标取为 e ¯˙ z A = (xµ , θα , θα ), z α = θα , ¯˙ zα = θα ˙ (84)
记θ2 = θα θα ,则超场的一般形式可以表达为 ¯ ¯¯ ¯ F (x, θ, θ) = φ(x) + θψ(x) + θχ(x) + θ2 m(x) + θ2 n(x) ¯ ¯ ¯ ¯ + θσ µ θAµ (x) + θ2 θλ(x) + θ2 θρ(x) + θ2 θ2 d(x) 超对称生成元在超场上的作用为 ¯¯ ¯˙ ¯ ˙ δξ F = (ξQ + ξ Q)F = (ξ α Qα − ξ α Qα )F 对于标量场φ(x),我们有 δξ φ(x) = δξ F
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(85)
(86)
¯ θ=θ=0
¯¯ = ξψ(x) + ξ χ(x)
(87)
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超空间和超场
超空间的平移群
将超空间的平移群元素记为 ¯ ¯˙ ¯ ˙ G(x, θ, θ) = exp(−ixµ Pµ − iθα Qα − iθα Qα ) 由Campbell-Baker-Hausdorff公式可以得到 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ G(0, ξ, ξ)G(xµ , θ, θ) = G(xµ + iθσ µ ξ − iξσ µ θ, ξ + θ, ξ + θ) 取以下变分对应关系 ¯˙ ¯ ˙ δξ = ξ α Qα + ξα Qα = δξ z A ∂A ¯ 则我们就可以得到超荷Q和Q的微分算子表示 Qα = ∂ µ ¯˙ ∂ − iσαα θα µ , ˙ α ∂θ ∂x ∂
∂ µ ¯˙ Qα = − ¯α + iθα σαα µ ˙ ˙ ∂x ∂θ (91) (90) (89) (88)
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超空间和超场
超协变微分算子
¯ ¯ 由{Q, Q} = {Q, Q} = 0,我们可以得到
µ µ ¯˙ {Qα , Qα } = 2iσαα ∂µ = 2σαα Pµ ˙ ˙
(92)
如下定义超协变微分算子 Dα = ∂ µ ¯˙ ∂ + iσαα θα µ , ˙ α ∂θ ∂x ∂ ∂ µ ¯˙ Dα = − ¯α − iθα σαα µ ˙ ˙ ∂x ∂θ (93)
µ ¯˙ 则我们有{Dα , Dα } = −2iσαα ∂µ ,并且 ˙
¯ ¯ ¯ ¯ {Q, D} = {Q, D} = {Q, D} = {Q, D} = 0 ¯ ¯˙ 如果Dα Ψ = 0,则称Φ为手征超场.设y µ = xµ + iθσ µ θ,则Φ具有形式 Ψ(y, θ) = φ(y) + √ 2θα ψα (y) + θ2 F (y)
(94)
(95)
SUSY (USTC)
超对称理论简介
2011/5/12
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参考文献
P. Argyres, An Introduction to Global Supersymmetry, http://www.physics.uc.edu/∼argyres/661/susy2001.pdf. J. Bagger, S. Duplij, W. Siegel, Concise Encyclopedia of Supersymmetry, Kluwer Academic Publishers (2004). F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme, Supersymmetry and Quantum Mechanics, arXiv:hep-th/9405029v2. C. S¨mann, Introduction to Supersymmetry, a http://www.christiansaemann.de/supersymmetry.html. S. Krippendorf, O. Schlotterer, F. Quevedo, Cambridge Lectures on Supersymmetry and Extra Dimensions, arXiv:hep-th/1011.1491v1. S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, vol. 3: Supersymmetry, Cambridge University Press (2000).
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