含参量的反常积分
§2 含参量的反常积分
(一) 教学目的:
掌握含参量反常积分的一致收敛性概念,含参量反常积分的性质,含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法,了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法. (二) 教学内容:
含参量反常积分的一致收敛性及其判别法;含参量反常积分的性质;含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法,狄里克雷判别法和阿贝尔判别法;含参量反常积分的连续性,可微性与可积性定理.
(1) 基本要求:掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法,含参量反常积分的性质,以及含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法. (2)掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法. (三) 教学建议:
(1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法.要求学生会用魏
尔斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性.
(2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性,可微性
与可积性定理的证明.对较好学生在这方面提出高要求,布置有关习题;另外,由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处,还可要求他们作比较与总结.
————————————————————
含参无穷积分: 函数f (x , y ) 定义在[ a , b ]⨯[ c , +∞ ) 上 ( [ a , b ]可以是无 穷区间 ) . 以 I (x ) =
⎰
+∞
c
f (x , y ) dy 为例介绍含参无穷积分表示的函数I (x ) .
含参无穷积分的一致收敛性:
逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: ∀x ∈[ a , b ], ∀ε>0 , ∃ M >c , 使 引出一致收敛问题 .
定义 (一致收敛性 ) 设函数f (x , y ) 定义在[ a , b ]⨯[ c , +∞ ) 上 . 若对
∀ε>0 , ∃ M >c , 使得
⎰
+∞
M
f (x , y ) dy
⎰
+∞
M
f (x , y ) dy
成立, 则称含参无穷积分⎰
+∞
c
f (x , y ) dy 在[ a , b ]( 关于x ) 一致收敛.
定理19.7 ( Cauchy收敛准则 ) 积分I (x ) =∀ε>0 , ∃ M >0 , ∀A 1, A 2>M , ⇒
+∞
⎰
+∞
c
f (x , y ) dy 在[ a , b ]上一致收敛, ⇔
⎰
A 2A 1
f (x , y ) dy
例1 证明含参量非正常积分⎰
sin xy y
dy 在[ δ , +∞ ) 上一致收敛 ,
其中δ>0. 但在区间( 0 , +∞ ) 内非一致收敛 .
3. 含参无穷积分与函数项级数的关系:
例1 计算积分 I =
⎰
1
ln(1+x ) 1+x
2
.
例2 设函数f (x ) 在点x =0的某邻域内连续 . 验证当|x |充分小时 , 函数
φ(x ) =
⎰(n -1)!
+∞
1
x
(x -t )
n -1
f (t ) dt
的n -1阶导数存在 , 且 φ(n ) (x ) =f (x ) .
定理19.8 积分I (x ) =
⎰
c
f (x , y ) dy 在[ a , b ]上一致收敛, ⇔ 对任一数列 {A n }
∞
(A 1=c ) , A n +∞, 函数项级数∑
n =1
⎰
A n +1A n
∞
f (x , y ) dy =
∑u
n =1
n
(x ) 在[ a , b ]上一致收敛.
( 证略 )
二. 含参无穷积分一致收敛判别法
1. Weierstrass M 判别法: 设有函数g (y ) , 使在[ a , b ]⨯[ c , +∞ ) 上有|f (x , y ) |≤g (y ) . 若
积分⎰
+∞c
g (y ) dy
+∞
+∞
c
f (x , y ) dy 在[ a , b ]一致收敛.
dx 在-∞
例2 证明含参无穷积分⎰
cos xy 1+x
2
Dirichlet 判别法和Abel 判别法:
三. 含参无穷积分的解析性质
含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质.
1. 连续性: 积分号下取极限定理.
定理19.9 设函数f (x , y ) 在[ a , b ]⨯[ c , +∞ ) 上连续 . 若积分I (x ) =
⎰
+∞
c
f (x , y ) dy 在
[ a , b ]上一致收敛, 则函数I (x ) 在[ a , b ]上连续. ( 化为级数进行证明或直接证明 )
2. 可微性: 积分号下求导定理.
定理19.10 设函数f 和f x 在[ a , b ]⨯[ c , +∞ ) 上连续. 若积分I (x ) =在[ a , b ]上收敛, 积分⎰且 I '(x ) =
+∞
⎰
+∞
c
f (x , y ) dy
c
f x (x , y ) dy 在[ a , b ]一致收敛. 则函数I (x ) 在[ a , b ]上可微,
⎰
+∞
c
f x (x , y ) dy .
3. 可积性: 积分换序定理.
定理19.11 设函数f (x , y ) 在[ a , b ]⨯[ c , +∞ ) 上连续. 若积分I (x ) =在[ a , b ]上一致收敛, 则函数I (x ) 在[ a , b ]上可积 , 且有 ⎰dx ⎰
a b
+∞
⎰
+∞
c
f (x , y ) dy
c
f (x , y ) dy =
⎰
+∞
c
dy ⎰f (x , y ) dy .
a
b
关于在[ a , +∞ ) ⨯[ c , +∞ ) 上的积分换序问题. 例3 计算积分 I =
⎰
+∞
e
-px
sin bx -sin ax
x
dx , ( p >0 , b >a )