相干信号空间谱估计测向Matlab仿真研究

相干信号空间谱估计测向Matlab 仿真研究

1. 引言

由于多径传播、电磁干扰等因素的影响，相干信源存在的电磁环境是经常碰到的。当空间存在相干源时，经典的超分辨DOA 估计方法：MUSIC 算法和ESPRIT 算法，已经失去了其高分辨性能优势，有时甚至不能正确地估计出信源的真实方位。新MUSIC 算法在空间不存在相干源时，其估计性能基本上是和MUSIC 算法是接近的，但若有相干源存在时，其估计性能也是大大降低。因此，若将其用于相干源，必须和经典的MUSIC 算法一样，首先对阵列输出的协方差矩阵进行各种去相干处理，然后再采用新MUSIC 算法实现对相干信源的DOA 估计。基于加权空间平滑的MUSIC 算法，该算法充分利用了子阵输出的自相关信息和互相关信息，将阵列协方差矩阵的所有子阵阵元数阶子矩阵进行加权平均，而权矩阵的选取以平滑后等价的信源协方差矩阵与对角阵的逼进为约束条件，以期对相干信源最大限度地去相干，改进常规空间平滑算法对相干源的分辨力。基于此本文提出的基于加权空间平滑的新MUSIC 算法，以实现对相干源最大限度的去相干，实现相干源的高分辨DOA 估计。

2. 窄带阵列相干源的数学模型和空间平滑算法 2.1 窄带阵列相干源的数学模型

对于M 元均匀线阵，阵源间距为d ，且假设均为各向同性阵元。阵列远场中在以线阵轴线法线为参考的θk (k =1,2,... P ) 处有 P 个窄带点源以平面波入射，以阵列第一阵元为参考点，某一特定信号到达线阵时，各阵元接收信号间仅仅存在因波程差引起的相位差。阵列接收的快拍数据可由下式表示为:

X(t ) =A(θ)S(t )+N(t ) (2-1)

(2-1)式中X (t ) 为M ⨯1快拍数据矢量，是阵元输出信号，

X (t ) =[x 1(t ),...... x M (t )]T 。

N (t ) 为M ⨯1阵列阵元噪声矢量，且是与信号源不相关的白噪声，均值为0，方差为σn 2，N (t ) =[n 1(t ),...... n M (t )]T 。S (t ) 为输入信号矢量

) 为阵列的流形矩阵, 如式(2-2)所示。 S (t ) =[s t ) , ...... s T t 。A ((θ) ]1(M

1⎤11⎡

⎢-j ϕ(θ1) ... e -j ϕ(θp ) ⎥-j ϕ(θ2)

e e ⎥⎢. . . . A (θ) =[a (θ1),...... a (θP )]=⎢. ... . ⎥ (2-2) . . .

⎥⎢...

⎢e -j (M -1) ϕ(θ1) e -j (M -1) ϕ(θ2) e -j (M -1) ϕ(θp ) ⎥⎣⎦

（ϕ(θi ) =

2π

λ

d sin(θi ) , i =1,2,... M ）

向量a (θi ) 称为第i 个信号源的方向向量。矩阵A 列向量即是阵列方向向量的集合，它表示所有信源的方向，称为阵列的方向矩阵。阵列的协方差矩阵R 定义为R =E [X (t ) X H (t )]=AR S A H +σ2I , 式中R S =E [S (t ) S H (t )]为信源的协方差矩阵。

当空间信源互不相干时，对协方差矩阵R 进行特征分解，构造信号子空间和噪声子空间，利用其正交性直接采用MUSIC 或ESPRIT 算法进行DOA

2

估计，令其特征值分解为R s =U ∑U H , 式中，∑=diag (σ12,......, σM ) ，如

果信号不相干，则A 为列满秩，rank (AR S A H ) =P ，于是

2U H AR S A H U =diag (α12,..., αP ,0,...0) ，将R 同时左乘U 和右乘U ，可以得

H

2到：U H RU =U H AR S A H U +σ2U H U =diag (α12,..., αP ,0,...0) +σ2I ，所以自相

2关矩阵R 的特征值为α12+σ2,... αP +σ2, σ2,... σ2，前P 个特征值为信号特征值,

后M-P 个特征值为噪声特征值, 由信号特征值对应的所有特征向量形成的

矢量空间称为信号子空间, 信号子空间同时可以用信号的方向矢量a (θi ) 表示。由噪声特征值对应的特征向量形成的矢量空间称为噪声子空间, 二者组成信号自相关矩阵的信息空间, 利用信号矢量与噪声空间的所有矢量都是正交的这一特性来估计来波信号的到达角（如式2-3所示）, 即MUSIC 法。

（θ）= P

代码如下：

1

（2-3） H H

a （θ）UU a (θ)

仿真结果如下：

MUSIC 测向

M U S I C 谱

-100

-80-60-40-20

0波达方向

[1**********]

图1 无相干信号源时的 MUSIC测向

但若存在相干信源时，阵列输出信号协方差的秩rank (R )

MUSIC 测向

M U S I C 谱

-100

-80-60-40-20

0波达方向

[1**********]

图2 有相干信号源时的MUSIC 测向

因此，我们要对阵列输出的协方差矩阵首先进行预处理，使其阵列协方差矩阵的秩恢复为信号元数P ，然后再采用MUSIC 或ESPRIT 算法。

2.2 空间平滑算法（spatial smoothing）

2.2.1 前向空间平滑算法

将M 个阵元的均匀线阵，分成相互交错的P 个子阵，每个子阵包含的阵元数为m 个，即满足M ＝p+m-1。信号源数为N 。

图3 前向空间算法原理图

如图 3所示，取第一个子阵(最左边的子阵) 为参考子阵，那么各个子阵的输出矢量分别为:

X 1f =[x 1, x 2,..., x m ]

X 2f =[x 2, x 3,..., x m +1]

...

X p f =[x p , x p +1,..., x M ]

（2-4）

对于第k 个子阵有：

X k f (t ) =[x k , x k +1,..., x k +m -1]=A m (θ) D (k -1) s (t ) +n k (t ) （2-5）

其中：

d

0sin(θ1) ⎡j 2π⎤0... λ

e ⎢⎥2πd 0j sin(θ2) ... ⎢⎥λ0D =⎢ e ⎥ （2-6） ... ...

... ⎢... ⎥2πd

j sin(θ) ... N ⎥⎢λ

0e 0⎣⎦

那么该子阵的数据协方差矩阵为：

R k =A m (θ) D (k -1) R s (A m (θ) D (k -1) ) H +σ2I （2-7） 其中，A m 是一个m ×p 的参考子阵(通常取第一个子阵) 的导向矢量矩阵， A m (θ) =[a m (θ1),...... a m (θN )]，a m (θk ) =[1,e

-j 2πd

λ

sin(θk )

,...., e

-j

2πd

λ

sin(θk )

]T ，

R s 为信号的协方差矩阵，R s =E {ss H

}。

前向空间平滑技术是通过求各个子阵协方差矩阵的均值来实现的，即取前向平滑修正的协方差矩阵为:

1p

R =∑R k （2-8）

p k =1

f

可以证明，当满足m>N, p>N时，前向空间平滑数据协方差矩阵R 是满秩的。即可以通过特征分解求得相应的信号子空间和噪声子空间。

f

2.2.2 前后向空间平滑算法

如果按照图4划分阵列，即称为后向平滑的方法划分子阵，那么各个子阵的输出矢量为:

图4 后向空间平滑算法原理图

X 1b =[x M , x M -1,..., x M -m +1]

b X 2=[x M -1, x M -2,..., x M -m ]

...

X b p =[x m , x m -1,..., x 1]

(2-9)

那么，第k 个子阵的数据矢量为：

b

X k (t ) =[x M -k +1, x M -k ,..., x M -m -k +2]* （2-10）

比较前向平滑和后向平滑的数据矢量，可以得到前向平滑中第k 个子阵与后向平滑中第p-k+1个子阵之间存在如下关系：

X p -k +1(t ) =J (X k (t )) =J A m D

b

f

*

*

-(k -1) *

*

s (t ) +Jn k (t ) （2-11）

⎡00... 1⎤⎢0... 10⎥

⎥，所以后向平滑第p-k+1个子阵的数其中J 为m 的交换矩阵。J =⎢

⎢... ... ... ... ⎥⎢00⎥10⎦⎣

据协方差矩阵为:

*-(k -1) H

R b R s *(D -(k -1) ) H (A m J ) *+σ2I (2-12) p -k +1=JA m D

那么后向空间平滑修正的数据矩阵为:

1p b

R =∑R p -k +1 (2-13)

p k =1

b

取前向平滑和后向平滑数据协方差矩阵的平均，即前后向空间平滑的数据矩阵，即

R b +R f

R = (2-14)

2

b

同样可以证明，当满足m>N, p>N时，后向空间平滑数据协方差矩阵R 是满秩的。

fb

3.Matlab 仿真程序代码

4. Matlab 仿真结果分析

MUSIC 测向

M U S I C 谱

-100

-80-60-40-20

0波达方向

[1**********]

图5 MUSIC算法与改进MUSIC 算法的比较

由此可见，空间平滑算法有效的达到了去相干的目的，较为准确的测出了方向。 下面将研究将子阵列划分的个数L 变化时的情形, 仿真波形如下：

MUSIC 测向

MUSIC 测向

M

U S I C 谱

-100

M U S I C 谱

-50

0波达方向MUSIC 测向

50

100

-100

-50

0波达方向MUSIC 测向

50

100

M U S I C 谱

M U S I C 谱

-50

0波达方向

50

100

-100

-100

-50

0波达方向

50100

图6 测向随L 的变化

由此可见，当空间中存在两个相干信号时，L=2时已经不能正确测向，因此L>信号源数。

5. 参考文献

[1]通信原理与MATLAB 仿真教程 [2]MATLAB及其在理工课程中的应用指南 [3]论文：一种基于加权空间平滑的新MUSIC 算法 [4] 谱估计测向的MUSIC 算法研究