截长补短辅助线

（二）截长补短法

分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：

(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BCCE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．

(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等．

例1. 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.

求证：AB=AC+CD.

B

D

A2

C

图4-1

例2. 在四边形ABCD中，点P在AD上，PB平分ABC，PC平分BCD，且AB//DC， 求证：AB

CDBC

例3. 已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明． A

E

DO

BC

例4 已知：如图，E是正方形ABCD边BC上任意一点，AF平分∠EAD交CD于F，试说明BE+DF=AE. DA

F

BCE

例5. 已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，

A

（1）如图（1），若有∠EAF =45º.求证：BE+DF=EF.

B

（2）如图（2），若有BE+DF=EF，求：∠EAF的度数. A

B

应用：



F

EC

D

F

EC

（2009东城期末）23．已知：正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N． 当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图1），易证BMDNMN． （1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

N

N

BB

图1 图2 N

例6..等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射线DM

与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，

①当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系． ②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明． ③当点M、N在边AB、CA

的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．

应用：

如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．

A

N

M

BC

D

例7. 在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，求BED.

A

E

B

C

例8. 在ABC中，B60，AD平分BAC，CE平分ACB，AD与CE相交于P，求证：

AC=AE+CD

例9. 如图1，BD是等腰RtΔABC的角平分线，∠BAC=90.

（1）求证BC=AB+AD；

A

B

C

例10．已知：如图7－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交AC于E．

（1）求证：BC＝AE＋BE；

（2）探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？试证明之．

图7－11

练习：

1. （1）如图①，△ABC中，AB = AC，过B点任作射线l，在l上取一点D，使∠ABD =∠

ACD，AM⊥BD于M．求证：BM = DM + DC．

（2）如图②，△ABC中，过B点任作射线l，在l上取一点D，使∠ABD =∠ACD，

AM⊥BD于M，且BM = MD + CD．求证：AB = AC

．

B C C

图 ① 图 ② 2.如图，等腰直角△ABC中，AC=BC, ∠ACB=900,∠A、∠B、∠C的平分线交于点P。 (1)求证：AB=CP+BC;

(2)若∠A、∠B的外角平分线以及∠C的平分线交于点P,(1)中结论是否仍成立？请画出图形，并写出结论（不需要证明）

A

B

22题（1）

C

22 题（2）

3、己知，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D，P是BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥

AC垂足分别为E、F，

A 求证：① PE+PF=CD.

A

② PE – P F=CD.

B C P

P

4.已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB=AC, （1）若BC=AB+AD,请你猜想∠A的度数，并证明；

（2）若BC=BA+CD,求∠A的度数

（3）若∠A=100°,求证：BC=BD+DA

二、借助角平分线造全等

A

B

C

A

D

BC

例1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

B

C

（中考应用）30.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对 称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)

中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

图①

B

M

N P

A

图②

D C

D

图③

②以角的平分线为对称轴构造对称图形

例2： 如图23，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求证：AB=AC+CD．

A

E BD

例3： 如图24，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．

A

求证：∠ACE=∠B+∠ECD．

FB

ED

C

C

例4. 已知等腰直角三角形ABC中，A90，AB=AC，BD平分ABC，CE为点E，求证：

BD=2CE

BD，垂足

（3）利用角的平分线构造等腰三角形

例5 如图26，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．

求证：CD=

例6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

1

BE． 2

例5. 如图，AD是ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HDBD.

(1)求证：B与AHD互补；

(2)若B2DGA180，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明。

G

A