1.最值问题
1、最值问题
【最小值问题】
例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点,原来就各有一位民警值勤。为了保证安全,上级决定在沿途增加值勤民警,并规定每相邻的两位民警(包括原有的民警)之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米,乙丙相距8000米,丙丁相距4000米,那么至少要增加______位民警。
(《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题)
讲析:如图5.91,现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警,共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米,2个4000米,2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警,要求每两人之间距离相等,这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。 由于2500、4000、2000的最大公约数是500,所以,整段路最少需要的民警数是(5000+8000+4000)÷500+1=35(名)。
例2 在一个正方体表面上,三只蚂蚁分别处在A 、B 、C 的位置上,如图5.92所示,它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面,那么,应选择哪点会面最省时?
(湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题)
讲析:因为三只蚂蚁速度相等,要想从各自的地点出发会面最省时,必须三者同时到达,即各自行的路程相等。
我们可将正方体表面展开,如图5.93,则A 、B 、C 三点在同一平面上。这样,便将问题转化为在同一平面内找出一点O ,使O 到这三点的距离相等且最短。
所以,连接A 和C ,它与正方体的一条棱交于O ;再连接OB ,不难得出AO=OC=OB。
故,O 点即为三只蚂蚁会面之处。 【最大值问题】
例1 有三条线段a 、b 、c ,并且a <b <c 。判断:图5.94的三个梯形中,第几个图形面积最大?
(全国第二届“华杯赛”初赛试题) 讲析:三个图的面积分别是:
三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积,不变量是(a +b +c )的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数,求这两个数为何值时,乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知,(a +b )×c 这组数的值最接近。 故图(3)的面积最大。
例2 某商店有一天,估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后,能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润,售价应定为每个______元。 (台北市数学竞赛试题)
讲析:因为按每个100元出售,能卖出500个,每个涨价1元,其销量减少10个,所以,这种商品按单价90元进货,共进了600个。
现把600个商品按每份10个,可分成60份。因每个涨价1元,销量就减少1份(即10个);相反,每个减价1元,销量就增加1份。
所以,每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的(为60),根据等周长长方形面积最大原理可知,当把60分为两个30时,即每个涨价30元,卖出30份,此时有最大的利润。
因此,每个售价应定为90+30=120(元)时,这一天能获得最大利润。
2、最值规律
【积最大的规律】
(1)多个数的和一定(为一个不变的常数),当这几个数均相等时,它们的积最大。用字母表示,就是
如果a 1+a2+„+an =b(b 为一常数),
那么,当a 1=a2=„=an 时,a 1×a 2ׄ×a n 有最大值。 例如,a 1+a2=10, „„„„→„„„„; 1+9=10→1×9=9; 2+8=10→2×8=16; 3+7=10→3×7=21; 4+6=10→4×6=24;
4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75; 5+5=10→5×5=25;
5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75; „„„„→„„„„; 9+1=10→9×1=9;
„„„„→„„„„
由上可见,当a 1、a 2两数的差越小时,它们的积就越大;只有当它们的差为0,即a 1=a2时,它们的积就会变得最大。
三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限,在此不一一举例。 由“积最大规律”,可以推出以下的结论:
结论1 所有周长相等的n 边形,以正n 边形(各角相等,各边也相等的n 边形)的面积为最大。
例如,当n=4时,周长相等的所有四边形中,以正方形的面积为最大。 例题:用长为24厘米的铁丝,围成一个长方形,长宽如何分配时,它的面积为最大?
解 设长为a 厘米,宽为b 厘米,依题意得 (a+b)×2=24 即 a+b=12
由积最大规律,得a=b=6(厘米)时,面积最大为 6×6=36(平方厘米)。
(注:正方形是特殊的矩形,即特殊的长方形。)
结论2 在三度(长、宽、高)的和一定的长方体中,以正方体的体积为最大。
例题:用12米长的铁丝焊接成一个长方体,长、宽、高如何分配,它的体积才会最大?
解 设长方体的长为a 米,宽为b 米,高为c 米,依题意得 (a+b+c)×4=12 即a+b+c=3
由积最大规律,得a=b=c=1(米)时,长方体体积为最大。最大体积为 1×1×1=1(立方米)。
(2)将给定的自然数N ,分拆成若干个(不定)的自然数的和,只有当这些自然数全是2或3,并且2至多为两个时,这些自然数的积最大。
例如,将自然数8拆成若干个自然数的和,要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢?
我们可将各种拆法详述如下:
分拆成8个数,则只能是8个“1”,其积为1。
分拆成7个数,则只能是6个“1”,1个“2”,其积为2。
分拆成6个数,可得两组数:(1,1,1,1,1,3);(1,1,1,1,2,2)。它们的积分别是3和4。
分拆成5个数,可得三组数:(1,1,1,1,4);(1,1,1,2,3);(1,1,2,2,2)。它们的积分别为4,6,8。
分拆成4个数,可得5组数:(1,1,1,5);(1,1,2,4);(1,1,3,3);(1,2,2,3);(2,2,2,2)。它们的积分别为5,8,9,12,16。 分拆成3个数,可得5组数:(1,1,6);(1,2,5);(1,3,4);(2,2,4);(2,3,3)。它们的积分别为6,10,12,16,18。
分拆成2个数,可得4组数:(1,7);(2,6);(3,5);(4,4)。它们的积分别为7,12,15,16。 分拆成一个数,就是这个8。 从上面可以看出,积最大的是
18=3×3×2。
可见,它符合上面所述规律。
用同样的方法,将6、7、14、25分拆成若干个自然数的和,可发现 6=3+3时,其积3×3=9为最大; 7=3+2+2时,其积3×2×2=12为最大;
14=3+3+3+3+2时,其积3×3×3×3×2=162为最大;
由这些例子可知,上面所述的规律是正确的。
【和最小的规律】几个数的积一定,当这几个数相等时,它们的和相等。用字母表达,就是如果a 1×a 2ׄ×a n =c(c 为常数), 那么,当a 1=a2=„=an时,a 1+a2+„+an 有最小值。 例如,a 1×a 2=9, „„„„→„„„„
1×9=9→1+9=10;
3×3=9→3+3=6;
„„„„→„„„„
由上述各式可见,当两数差越小时,它们的和也就越小;当两数差为0时,它们的和为最小。
例题:用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形,如何下料,材料最省? 解 设长方形长为a 分米,宽为b 分米,依题意得a ×b=16。
要使材料最省,则长方形周长应最小,即a+b要最小。根据“和最小规律”,取
a=b=4(分米)
时,即用16分米长的铁丝围成一个正方形,所用的材料为最省。 推论 由“和最小规律”可以推出:在所有面积相等的封闭图形中,以圆的周长为最小。
例如,面积均为4平方分米的正方形和圆,正方形的周长为8分米;而
的周长小于正方形的周长。
【面积变化规律】在周长一定的正多边形中,边数越多,面积越大。
为0.433×6=2.598(平方分米)。
方形的面积。
推论 由这一面积变化规律,可以推出下面的结论: 在周长一定的所有封闭图形中,以圆的面积为最大。
例如,周长为4分米的正方形面积为1平方分米;而周长为4分米的圆,
于和它周长相等的正方形面积。
【体积变化规律】在表面积一定的正多面体(各面为正n 边形,各面角和各二面角相等的多面体)中,面数越多,体积越大。
例如,表面积为8平方厘米的正四面体S —ABC (如图1.30),它每一个面均为正三角形,每个三角形面积为2平方厘米,它的体积约是1.1697立方厘米。而表面积为8平方厘米
长约为1.1546厘米,体积约为1.539立方厘米。显然,正方体体积大于正四面体体积。
推论 由这一体积变化规律,可推出如下结论: 在表面积相等的所有封闭体中,以球的体积为最大。
例如,表面积为8平方厘米的正四面体,体积约为1.1697立方米;表面积为8平方厘米的正六面体(正方体),体积约为1.539立方厘米;而表面积是8平方厘米的球,体积却约有2.128立方厘米。可见上面的结论是正确的。 【排序不等式】 对于两个有序数组: a 1≤a 2≤„≤a n 及b 1≤b 2≤„≤b n , 则a 1b 1+a2b 2+„„+an b 抇n (同序)
T ≥a 1b 抇1+a2b 抇2+„„+an b 抇n (乱序)≥a 1b
n +a2b n-1+„„+a n b 1(倒序)(其中b 抇1、b 抇2、„„、b 抇n
>
为b 1、b 2、„„、b n 的任意一种排列(顺序、倒序排列在外),当且仅当a 1=a2=„=an ,或b 1=b2=„=bn 时,式中等号成立。)由这一不等式可知,同序积之和为最大,倒序积之和为最小。例题:设有10个人各拿一只水桶,同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、„„九、十个人的桶,分别需要1、2、3、„„、9、10分钟。问:如何安排这10个人的排队顺序,可使每个人所费时间的总和尽可能少?这个总费时至少是多少分钟?
解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为:1,2,3,„„,9,10。 打水时,等候的人数为第二个有序数组,等候时间最长的人数排前,这样组成
1,2,3,„„,9,10。
根据排序不等式,最小积的和为倒序,即
1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1
=(1×10+2×9+3×8+4×7+5×6)×2 =(10+18+24+28+30)×2 =220(分钟)
其排队顺序应为:根据注满一桶水所需时间的多少,按从少到多的排法。
3、最优方案与最佳策略
【最优方案】
例1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品,按工艺规定,每件甲产品需分别在A 、B 、C 、D 四台不同设备上加工2、1、4、0小时;每件乙产品需分别在A 、B 、C 、D 四台不同设备上加工2、2、0、4小时。已知A 、B 、C 、D 四台设备,每天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时。生产一件甲产品该厂得利润200元,生产一件乙产品得利润300元。问:每天如何安排生产,才能得到最大利润?
(中国台北第一届小学数学竞赛试题)
讲析:设每天生产甲产品a 件,乙产品b 件。由于设备A 的转动时间每天最多为12小时,则有:(2a +2b )不超过12。 又(a +2b )不超过8, 4a 不超过16, 4b 不超过12。 由以上四个条件知,
当b 取1时,a 可取1、2、3、4; 当b 取2时,a 可取1、2、3、4; 当b 取3时,a 可取1、2。
这样,就是在以上情况下,求利润200a +300b 的最大值。可列表如下:
所以,每天安排生产4件甲产品,2件乙产品时,能得到最大利润1400元。 例2 甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂。它们生产同一规格的成衣,每个厂
的人员和设备都能进行上衣和裤子生产。由于各厂的特点不同,甲厂每月
联合生产,尽量发挥各自的特长多生产成衣。那么现在比过去每月能多生产成衣______套。
(1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
的时间生产上衣。所以,甲厂长于生产裤子,乙厂长于生产上衣。 如果甲厂全月生产裤子,则可生产
如果乙厂全月生产上衣,则可生产
把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成2100套成衣,这时甲厂生产150条裤子的时间可用来生产成套的成衣
故现在比过去每月可以多生产60套。 【最佳策略】
例1 A 、B 二人从A 开始,轮流在1、2、3、„„、1990这1990个数中划去一个数,直到最后剩下两个数互质,那么B 胜,否则A 胜。问:谁能必胜?制胜的策略是什么?
(《中华电力杯》少年数学竞赛试题)
讲析:将这1990个数按每两个数分为一组;(1、2),(3、4),(5、6),„,(1989、1990)。
当A 任意在括号中划去一个时,B 就在同一个括号中划去另一个数。这样B 就一定能获胜。
例2 桌上放有1992根火柴。甲乙两人轮流从中任取,每次取得根数为1根或2根,规定取得最后一根火柴者胜。问:谁可获胜?
(1992年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题)
讲析:因为两人轮流各取一次后,可以做到只取3根。谁要抢到第1992根,谁就必须抢到第1989根,进而抢到第1986、1983、1980、„、6、3根。 谁抢到第3根呢?自然是后取的人。即后取的可以获胜。
后者获胜的策略是,当先取的人每取一次火柴梗时,他紧接着取一次,每次取的根数与先取的加起来的和等于3。
例3 有分别装球73个和118个的两个箱子,两人轮流在任一箱中任意取球,规定取得最后一球者为胜。问:若要先取者为获胜,应如何取?
(上海市数学竞赛试题)
讲析:先取者应不断地让后者在取球之前,使两箱的球处于平衡状态,即每次先取者取之后,使两箱球保持相等。这样,先取者一定获胜。