一元二次方程实数根的分布
第一课时:一元二次方程实数根的分布
教学目标:使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理,加强求解一
元二次不等式及不等式组,初步训练学生的数形结合能力。
−图教学重点:利用二次函数的图象,把一元二次方程根的分布−−→
转化
−代数表达式(不等式组)−−→−参数取形问题−−→
值范围。
转化计算
教学难点:图形问题转化成代数表达式(不等式组) 并求解。
一、问题的提出
若方程x 2+(m +2) x +(m +5) =0的两根均为正数,求实数m 的取值范围.
变式1:两根一正一负时情况怎样? 变式2:两实根均大于5时情况又怎样? 变式3:一根大于2,另一根小于-1时情况又怎样?
问题:能否从二次函数图形角度去观察理解?若能试比较两种方法的优劣.
方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的实根,如若从二次函数图形角度去观察理解,其实质就是对应的二次函数f (x ) =ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的抛物线与x 轴交点的横坐标.
一元二次方程实根分布,实质上就是方程的根与某些确定的常数大小关系比较.
二、一元二次方程实根分布
仿上完成下表
2
一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 实根分布图解
三、练习
1.m 为何实数时,方程x 2+(m +1) x +2m =0的两根都在-1与1之间.
2
2、若方程x -(a +1) x +(a -3) =0的两根中,一
根小于0,另一根大于2,求a 的取值范围.
四、小结
基本类型与相应方法:
2
设 f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) ,则方程f (x ) =0的实根分布的基本类型及相
应方法如下表:
五作业:
1.关于x 的一元二次方程2ax -2x -3a -2=0的一根大于1,另一根小于1. 则a 的值是 ( )
(A )a >0或a 0 (D )-4
22
2.方程7x -(k +13) x +k -k -2=0(k 为常数)有两实根α, β,且0
2
1
(A )32
3.设m 是整数,且方程3x +mx -2=0的两根都大于-
93
而小于,则57
m =
4. 若关于x 的方程(1-m 2) x 2+2mx -1=0的所有根都是比1小的正实数,则实数
m 的取值范围是m =
5. 方程x 2+(2m -1) x +(m -6) =0的一根不大于-1,另一根不小于1. 试求: (1)参数m 的取值范围;(2)方程两根的平方和的最大值和最小值.
第二课时 一元二次方程实数根分布的应用
一复习
二、例子
⎧a >b >c ⎪
例1 已知实数a 、b 、c 满足⎨a +b +c =1,求a +b 的取值范围.
⎪a 2+b 2+c 2=1⎩
解 由已知得a +b =1-c 且
(a +b ) 2-(a 2+b 2) (1-c ) 2-(1-c 2) ab ===c 2-c .
22
所以a , b 是一元二次方程x 2-(1-c ) x +(c 2-c ) =0的两根. 由a >b >c 问题可转化为方程x 2-(1-c ) x +(c 2-c ) =0的二根都大于c . 令
f (x ) =x 2-(1-c ) x +(c 2-c ) ,有
⎧1-c ⎪2>c ⎪
⎨f (c ) >0 即 ⎪∆=(c -1) 2-4(c 2-c ) >0⎪⎩
⎧1-c >2c ⎪2
⎨3c -2c >0, ⎪3c 2-2c -1
14求得-
33
B (4,0). 若抛物线y =x 2-mx +m +1与线段AB (不例2已知点A (0,4) 、
包括端点A 及B ) 有两个不同的交点,则m 的取值范围是 . (1997
年上海市高中数学竞赛)
x y
解: 显然直线AB 的方程为+=1(0
44线方程并整理得x 2+(1-m ) x +(m -3) =0.
设f (x ) =x 2+(1-m ) x +(m -3) ,问题转化函数y =f (x ) 的图象和x 轴在0到4之间有两个不同的交点,即方程x 2+(1-m ) x +(m -3) =0在(0,4) 上有两个不相等的实根. 所以
⎧∆=(1-m 2) -4m (->3) 0
⎪
f (0) =m ->30⎪⎪
⎨f (4) =1-6m 4-(+m 1) -> 30
⎪
⎪0
17
解得m 的取值范围是3
3
例3关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0的两个实数根为α, β,证明:①如果|α|
证明 ①设f (x ) =x 2+ax +b ,由已知,函数y =f (x ) 的图象与x 轴在
-2到2之间有两个不同的交点. 所以
⎧∆=a 2-4b >0, ⎪
a ⎪⎪-2
⎪f (-2) =4-2a +b >0, ⎪⎪⎩f (2)=4+2a +b >0.
由(3)、(4)得-(4+b )
(1)(2)(3)(4)
由(2),得|a |b >-4,因此-4
②由于2|a |
-2
a a
因为f (-2) +f (2)=(4+2a +b ) +(4-2a +b ) =2(4+b ) >0, f (-2) ⋅f (2)=(4+2a +b )(4-2a +b ) =(4+b ) 2-4a 2>0 .
所以f (-2) >0, f (2)>0. 因此函数f (x ) 的图象与x 轴的交点位于-2和2之间,即|α|
作业
1.已知抛物线y =x 2+(m +4) x -2(m +6), m 为实数. m 为何值时,抛物线与x 轴的两个交点都位于点(1,0)的右侧?
2.已知a , b , c 都是正整数,且抛物线f (x ) =ax 2+bx +c 与x 轴有两个不同的交点A 、B. 若A 、B 到原点的距离都小于1,求a +b +c 的最小值.
第三课时 应用提高
3
x =k 在[-1, 1]上有实根,求实数k 的取值范围. 23322
解法一:方程x -x =k 在[-1, 1]上有实根,即方程x -x -k =0在[-1, 1]
2232
上有实根,设f (x ) =x -x -k ,则根据函数y =f (x ) 的图象与x 轴的交点的横
2
例1若方程x 2-
坐标等价于方程f (x ) =0的根.
(1)两个实根都在[-1, 1]上,如图:
∆≥0⎧
⎪f (-1) ≥0⎪9≤k ≤-; 可得⎨f (1) ≥0,解得-162⎪b
⎪-1≤-≤1
2a ⎩
(2)只有一个实根在[-1, 1]上,如图: 可得f (-1) ⋅f (1) ≤0,解得
-
15
≤k ≤,综合(1)与(2)可得 22
实数k 的取值范围为⎢-, ⎥
⎣162⎦解法二:方程x -
⎡95⎤
3
x =k 在[-1, 1]上有实根,即存在x ∈[-1, 1],使得等式2
33
k =x 2-x 成立,要求k 的取值范围,也即要求函数k =x 2-x , x ∈[-1, 1]的值
22
2
域.
933⎫9⎛
设k =f (x ) =x 2-x = x -⎪-, 又因x ∈[-1, 1],则-≤k ≤f (-1) ,
1624⎭16⎝
可得-
2
95
≤k ≤. 162
2
33
x , 则y =k ,则方程x 2-x =k 在[-1, 1]上有实根,等价223⎧3⎪y =x 2-x 2
y =x -x , 与[]-1, 1于方程组⎨在上有实数解,也即等价于抛物线22⎪⎩y =k
解法三:令y =x -
直线y =k 在[-1, 1]上有公共点,如图所示
直观可得:-
95≤k ≤. 162
解法四:根据解法三的转化思想,也可将原方 程x -
2
33
x =k 化成x 2=x +k ,然后令 22
32y =x , y =x +k ,从而将原问题等价转化为 2
32
抛物线y =x 与直线y =x +k 在[-
1, 1]
2
点时,“数形结合法”下去求参数k 的取值范围.
3
根据图形直观可得:当直线y =x +k 过点(-1, 1) ,
233
截距k 最大;当直线y =x +k 与抛物线y =x +k 相切时,截距k 最小.
22
5995
≤k ≤. 且k 最大=, k 最小=-. 故参数的取值范围为-
216162
a b c
++=0,其中m 为正数. 对于2已知实数a 、b 、c 满足
m +2m +1m
f (x ) =ax 2+bx +c .
(1)若a ≠0,求证:af (
m
)
(2) 若a ≠0,证明方程f (x ) =0在(0,1)内有实根. 证明 (1)由
af (
a b c am bm
++=0,求得c =-(+) ,所以 m +2m +1m m +2m +1
m m 2m m 2m 11
) =a [a () +b () +c ]=a 2[() -]=a 2m 2[-]22
m +1m +1m +1m +1m +2(m +1) m +2m
11
-
(m +1) 2m 2+2m
又由(m +1) 2>m 2+2m >0,因此
af (
m
)
(2)要证明方程f (x ) =0在(0,1)内有实根,只须证明
>0, ⎧af (0) ⎪af (1) >0, ⎪⎪
) f (
⎪
⎪0
m
0) ,结合第(1)题 但两者都不易证明. 由0
m +1
m af ()
m
) 0时,有f (
m +1
一个大于零即可.
若c >0,则f (0)>0成立,问题得证;
a b c a (m +1) c (m +1)
++=0求得b =--,所以 m +2m +1m m +2m
a (m +1) c m (+1) a c
=a +b +c =a --+c =-. f (1)
m +2m m +2m
若c ≤0,由
由a >0, m >0, c ≤0,知f (1)>0,命题得证. 故当a >0时,方程f (x ) =0在(0,1)内有实根. 同理可证,当a