舒尔不等式的若干例题

舒尔不等式的若干例题

舒尔不等式：x,y,z≥0,r为实数，则x∧r﹙x-y﹚﹙x-z ) + y∧r﹙y－z﹚﹙y－x﹚＋z∧r﹙z－x﹚﹙z－y﹚≥0,当且仅当x＝y＝z或x＝y, z＝0取等于

常常也写作：x,y,z≥0,r为实数，则x∧﹙r＋2﹚＋y∧﹙r＋2﹚＋z∧﹙r＋2﹚＋xyz [x∧﹙r－1﹚＋y∧﹙r－1﹚＋z∧﹙r－1﹚] ≥x∧﹙r＋1﹚﹙y＋z﹚＋y∧﹙r＋1﹚﹙z＋x﹚＋z∧﹙r＋﹚﹙x＋y﹚, 当且仅当x＝y＝z或x＝y, z＝0取等于

舒尔不等式在不等式证明的许多方面有着极其巧妙的运用，这里举若干例加以介绍。

1、 a,b,c＞0,abc＝1,求证：﹙a＋1／b－1﹚﹙b＋1／c－1﹚﹙c＋1／a－1﹚≤1 证：令a＝x／y,b＝y／z,c＝z／x ,x,y,z＞0, 则:

左边=﹙x／y＋z／y－y／y﹚﹙y／z＋x／z－z／z﹚﹙z／x＋y／x－x／x﹚ =﹙x＋y－z﹚﹙y＋z－x﹚﹙z＋x－y﹚／xyz

＝[－(x∧3＋＋y∧3＋z∧3＋3xyz－六项) ＋xyz] ／xyz(注：这里“六项”

指代x∧2y＋y∧2z＋z∧2x＋xy∧2＋yz∧2＋zy∧2,其他字母类似)

≥xyz／xyz

=1=右边

[注意：本题还有另一种均值不等式解法

另解：若a＋1／b－1、b＋1／c－1、c＋1／a－1中有至少一个为负，不妨令a＋1／b－1＜0，则：

a＋1／b＜1

∴a＜1,b＞1

∴b＋1／c－1\ c＋1／a－1＞0

∴﹙a＋1／b－1﹚﹙b＋1／c－1﹚﹙c＋1／a－1﹚＜0＜1，命题成立 若a＋1／b－1、b＋1／c－1、c＋1／a－1≥0，则：

6√左边∧2=6√﹙a＋1／b－1﹚﹙b＋1／c－1﹚﹙c＋1／a－1﹚∧2

＝6√﹙ca＋a－1﹚﹙ab＋b－1﹚﹙bc＋c－1﹚﹙ca＋a－

abc﹚﹙ab＋b－abc﹚﹙bc＋c－abc﹚

＝6√﹙ca＋a－1﹚﹙ab＋b－1﹚﹙bc＋c－1﹚﹙c＋1－

bc﹚﹙a＋1－ca﹚﹙b＋1－ab﹚

≤﹙ca＋a－1＋ab＋b－1＋bc＋c－1＋ca＋a－ abc＋ab＋b

－abc＋bc＋c－abc﹚／6

＝1

∴左边≤1

2、a,b,c＞0,abc＝1,求证：1／a＋1／b＋1／c＋3／﹙a＋b＋c﹚≥4

证：令x＝√﹙a∧3／b∧3﹚,y＝√﹙b∧3／c∧3﹚,z＝√﹙c∧3／a∧3﹚,则： ∵x∧3＋＋y∧3＋z∧3＋3xyz≥六项

∴a／b＋b／c＋c／a＋3≥2 [√﹙a∧2／bc﹚＋√﹙b∧2／ca﹚＋√﹙c∧2／ab﹚]

又∵abc=1

∴ab∧2＋bc∧2＋ca∧2＋3≥2﹙a＋b＋c﹚

同理，有：a∧2b＋b∧2c＋c∧2a＋3≥2﹙a＋b＋c﹚

相加，则：六项＋3abc＋3≥4﹙a＋b＋c﹚

∴﹙a＋b＋c﹚﹙ab＋bc＋ca﹚＋3≥4﹙a＋b＋c﹚

同除﹙a＋b＋c﹚，则

ab＋bc＋ca＋3／﹙a＋b＋c﹚≥4

即：1／a＋1／b＋1／c＋3／﹙a＋b＋c﹚≥4

3、 a,b,c＞0,n＝1,3，求证：a∧n·√﹙b∧2＋c∧2－bc﹚＋b∧n·√﹙c∧2＋a∧2－ca﹚

＋c∧n·√﹙a∧2＋b∧2－ab﹚≤a∧﹙n＋1﹚＋b∧﹙n＋1﹚＋c∧﹙n＋1﹚

证：1﹚n＝1:

要证 a√﹙b∧2＋c∧2－bc﹚＋b√﹙c∧2＋a∧2－ca﹚＋c√﹙a∧2＋b∧2

－ab﹚≤a∧﹙n＋1﹚＋b∧﹙n＋1﹚＋c∧﹙n＋1﹚

只需证[a√﹙b∧2＋c∧2－bc﹚＋b√﹙c∧2＋a∧2－ca﹚＋c√﹙a∧2＋b

∧2－ab﹚] ∧2≤[a∧﹙n＋1﹚＋b∧﹙n＋1﹚＋c∧﹙n＋1﹚] ∧2

展开，化简得：a∧4＋b∧4＋c∧4＋abc﹙a＋b＋c﹚≥2ab√﹙b∧2＋c∧2

－bc﹚√﹙c∧2＋a∧2－ca﹚＋2bc√﹙c∧2＋a∧2－ca﹚

√﹙a∧2＋b∧2－ab﹚＋2ca√﹙a∧2＋b∧2－ab﹚√﹙b

∧2＋c∧2－bc﹚

右边≤ca﹙a∧2＋b∧2－ab＋b∧2＋c∧2－bc﹚＋ab﹙b∧2＋c∧2－bc＋c

∧2＋a∧2－ca﹚＋bc﹙c∧2＋a∧2－ca＋a∧2＋b∧2－ab﹚

＝a∧3﹙b＋c﹚＋b∧3﹙c＋a﹚＋c∧3﹙a＋b﹚

故只需证：a∧4＋b∧4＋c∧4＋abc﹙a＋b＋c﹚≥a∧3﹙b＋c﹚＋b∧3﹙c

＋a﹚＋c∧3﹙a＋b﹚，显然成立

2﹚n＝3：

要证a∧3·√﹙b∧2＋c∧2－bc﹚＋b∧3·√﹙c∧2＋a∧2－ca﹚＋c∧3·√

﹙a∧2＋b∧2－ab﹚≤a∧4＋b∧4＋c∧4

只需证[a∧2 ·a√﹙b∧2＋c∧2－bc﹚＋b∧2·b√﹙c∧2＋a∧2－ca﹚＋

c2 ·c√﹙a∧2＋b∧2－ab﹚≤﹙a∧4＋b∧4＋c∧4﹚ ∧2

由柯西不等式知：左边≤﹙a∧4＋b∧4＋c∧4﹚﹛2 [a∧2·b∧2＋b∧2·c

∧2＋c∧·a∧2] －abc﹙a＋b＋c﹚﹜

两边同时约去﹙a∧4＋b∧4＋c∧4﹚，则：

只需证2﹙a∧2·b∧2＋b∧2·c∧2＋c∧2·a∧2﹚－abc﹙a＋b＋c﹚≤a

∧4＋b∧4＋c∧4

即：a∧4＋b∧4＋c∧4＋abc﹙a＋b＋c﹚≥2﹙a∧2·b∧2＋b∧2·c∧2＋c

∧2·a∧2﹚

左边≥ab﹙a∧2＋b∧2﹚＋bc﹙b∧2＋c∧2﹚＋ca﹙c∧2＋a∧2﹚

≥2﹙a∧2·b∧2＋b∧2·c∧2＋c∧2·a∧2﹚＝右边

故命题成立

由1﹚、2﹚知，不等式成立

练习：1、a,b,c≥0,求证：[1＋ 4a／﹙b＋c﹚] [1＋4b／﹙c＋a﹚] [1＋4c／﹙a＋b﹚] ≥25,

并确定取等号的条件

2、在例3中，n＝2时不等式成立吗？试证明