重力加速度的测量

重力加速度的测量

武功县综合高中 712200 何文斌

在重力作用下，物体由静止开始竖直下落的运动称为自由落体运动，一切物体以同样的加速度运动，这个加速度称为重力加速度。重力加速度g是物理学中的一个重要参量。地球上各个地区的重力加速度g随地球纬度和海拔高度的变化而变化。一般来说，在赤道附近g的数值最小，纬度越高g的数值越大，最大值与最小值之差约为1/300。准确测定g，对于计量学,精密物理计量,地球物理学,地震预报,重力探矿，空间科学，国防建设和经济建设等都具有重要意义。

重力加速度是中学物理中一个常用的物理量，如何测量重力加速度呢？教材中只介绍了利用单摆来测量重力加速度一种方法。然而，近年来高考中有关物理实验的考查已不再拘泥于教材，更重视考查学生创新能力的意识，体现了理科综合考试“综合运用知识的创新意识和能力”的目标。那么，我们能不能不拘泥于教材而设计出一些其他的方法来测量重力加速度呢？以下是我根据以往的教学实践总结出来的几种方案，供大家参考。

一、利用物体重力和质量的关系来测量

用天平测出物体的质量m，用弹簧秤测出物体重力G，则重力加速度的值为g=G/m。

二、根据匀变速运动规律

1. 斜面法：利用木块沿斜面下滑来测量

１）斜面光滑

让一质量为m的滑块从光滑斜面（如气垫导轨）的顶端由静止开始沿斜面滑至底端。只要测滑块滑动的距离l、下降的高度h和时间t，就可以测出重力加速度g=

过小）和过小（导致摩擦力相对于下滑力不可忽略）。

2）、斜面不光滑（先测出斜面与木块间的动摩擦因数μ）

让小木块沿动摩擦因数为μ的斜面由顶端滑至底端，对小木块重新进行受力分析可知，沿斜面方向的合力F=mgsinθ－μmgcosθ。由牛顿第二定律可得小木块沿斜面方向的加速度a=gsinθ－μgcosθ。 再由 l=at sinθ=θ=2l12h l2−h2l2l22ht。本实验中气垫导轨的倾角不宜过大（导致t

则有g=2(h－μ )

t2

同样，只要测出斜面的长度l,斜面的高度h,小木块由斜面顶端滑至底端所需时间t以及小木块与斜面间的动摩擦系数μ,就可测出重力加速度g。

这种方法误差相对较小，但由于增加了测木块与斜面间的动摩擦系数μ，增加了实验的难度，实际测量时很少采用这种方法。

2．根据抛体运动规律

1）利用竖直上抛运动对称性测量

将一小物体由M点以某初速度向上抛出，只要用光电计数器测量小物体从开始抛出到落回原处所用的时间t1，物体从M点正上方N处再回到Ｎ处所用的时间t2以及M、N两点间的高度差h，由竖直上抛运动的有关规律可得：g= 8H/（T2-T1）

由于物体做竖直上抛运动时，受到空气阻力的影响，会产生一定的误差。因此，做该实验时可让该小物体在长真空管中做竖直上抛运动，时间测量可用光电技术。

2）：利用平抛运动的频闪照片来测量

A、B、C三点为连续拍摄的小球三个位置，设频闪周期为T，测出AB竖直高度差为 △y1，B、C竖直高度差为△y2，则有△y2－△y1=gT,即得g=(△y2－△y1)/T。

1

2222

3.利用定滑轮来测量（阿特武德机）

将质量同为M的重物P,Q用绳连接后，挂在光滑的轻质滑轮上，再在另一个重物P上附加一重量小得多的重物m，系统平衡被打破使其产生一微小加速度a＝mg/（2M＋m），测得a后，即可算出g。而要测a只需测出时间t内P通过的距离为s即可。

隔离P和m:（M+m）g—T=（M+m）a ①

隔离Q：T—Mg=M a ②

又 s=at/2 ③

联立①②③可解得 g=2（2M+ m）s/ m t

三．根据自由落体规律

1．利用自由落体的频闪照片来测量

设小球频闪照片时间间隔为T，由于自由落体为匀加速直线运动，故相邻相等时间内的位移之差△y=y2－y1=gT,即g=△y/gT,因此只要测出闪频照片的周期T，以及任意相邻相等时间的位移差△y，就可求出g。

2．利用光电门和自由下落的球来测量

使用器材如下：刻度尺一把，带有光电计时器的实验板一块（在平板两端各有一个光控门，同时还配有其专用的直流电源、导线、重锤线、滑块。该仪器可用来测量物体从一个光电门运动到另一个光电门的时间），支架（能满足实验所需要的固定作用）

实验时先将带有光电计时器的实验板用支架竖直架稳，用刻度尺测量出两个光控门之间的距离s，再将小球从上面的一个光电门处自由释放，读出下落时间t。根据自由落体公式s=gt/2则可求得g。

3．利用转台和自由下落的球来测量

使用器材如下：唱机转盘，支架和夹子，复写纸，两个有孔的小球，细线。

把穿在细线上的两球挂在夹子的叉上，使两球都在转盘的一条半径的正上方，并使下面的球挂得刚刚离开复写纸。先使转盘转动起来，再将细线烧断，小球落下，当它们碰到复写纸时，每个小球便在复写纸上留下一个记号。测出两球间的竖直距离h（在烧断细线前）及两记号对转盘圆心所张的角度θ和角速度ω，确定自由降落的时间t=θ/ω，再根据公式h=gt/2求得g。

4．利用滴水法测量(利用酸式滴定管和金属盘测量)

将一个金属盘放在地板上，再将一根酸式滴定管安装好，使得从阀门流出的水滴从一米以上的高度处落到盘中。让水滴落到垫起来的盘子上，可以清晰地听到水滴碰盘子的声音。细心地调整滴定管的阀门，使前一个水滴碰到盘子听到响声的瞬间，注视到第二个水滴正好从阀门处开始下落，当听到某个响声开始计时，并数“0”，以后每听到一次响声，顺次加一，直到数到100停止计时，读出总时间to，则每一滴水下落时间t=to/100，再用米尺量出滴定管滴水处到盘子的距离h，则h=gt,即可求得g=2h/t。 2122222222

5．用打点计时器测量

所用仪器为：打点计时器、直尺、带钱夹的铁架台、纸带、夹子、重物、学生电源等.

将仪器装置好，使重锤作自由落体运动.选择理想纸带，找出起始点0，数出时间为t的P点，用米尺测出OP的距离为h，其中t=0.02秒×两点间隔数.由公式h=gt/2得g=2h/t，将所测代入即可求得g.

6 光电门自由落体法

根据运动学,仅受重力作用的初速度为零的“自由”落体，，则其位移方程可表示为：S=1/2at其中,S是该自由落体运动的位移，t是通过这段位移所用的时间。根据公式可求出g。但是在实际测量时，很难测定该自由落体开始运动的时刻，因此这种方法难以实现。根据上述公式，令y=S/t可以看出y(t)是一个一元函数。若光电门A的位置不变，移动光电门B，即S取一系列给定值，同样测得一系列t值。只要测量两组数据，就可以求出g这样可以作出y～t实验曲线，曲线的斜率即g,曲线与y轴的交点坐标即为v0。 设光电门A、B间的距离为s，球下落到A门时的速度为v0，通过A、B间的时间为t，则成立：s

（1）；两边除以t,得：s/t

222v0tgt2/2 v0gt/2（2）；设xt,ys/t,则：yv0gx/2 （3）;2

这是一直线方程，当测出若干不同s的t值，用xt和ys/t进行直线拟合，设所得斜率为b，则由bg/2可求出g，g2b

四．物理摆

1.用单摆测量

单摆是由一根不能伸长的轻质细线和悬在此线下端体积很小的重球所构成.在摆长远大于球的直径，摆球质量远大于线的质量的条件下，将悬挂的小球自平衡位置拉至一边（很小距离，摆角小于5°），然后释放，摆球即在平衡位置左右作周期性的往返摆动，在平衡位置放一个光电门,测小球十次经过光电门所用的时间.重复以上操作.计算出周期T的平均值.再由g=4π2

T2L.得出重力加速度g.将所测的n、t、h代入即可

4π2LB－LA求得g值。注：若无法确定小球重心，可测量两次摆线长用g=g。 TB－TA2．双线摆

某同学采用双线摆和光电计数器测量重力加速度.已知每根悬线长l，两悬点间相距s，金属小球半径为r，AB为光电计数器.现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时启动光电计数器，当小球第一次经过平衡位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时由零开始计时，而后每当小球经过O点时，计数器都要计数一次.当计数器上显示的计算次数刚好为n时，计时时间为t.由此可知双线摆的振动周期T=

L= l2−s242tn−1 ,计算重力加速度g时，双线摆的等效摆长+r,最后依据公式g=4π2

T2L,代入周期T和等效摆长L的值即可求出重力加速度.

五．圆周运动

1.用圆锥摆测量

所用仪器为：米尺、秒表、单摆.使单摆的摆锤在水平面内作匀速圆周运动，用直尺测量出h，用秒表测出摆球n转所用的时间t，则摆球角速度ω=2πn/t摆球作匀速圆周运动的向心力F=mgtgθ，而tgθ=r/h所以mgtgθ=mω2r由以上几式得：g=4πnh/t. 222

2.离心运动

取半径为R的玻璃杯，内装适当的液体，固定在旋转台上.旋转

台绕其对称轴以角速度ω匀速旋转，这时液体相对于玻璃杯的形状为旋转抛物面.重力加速度的计算公式推导如下：

取液面上任一液元A，它距转轴为x，质量为m，受重力mg、弹力N.由动力学知：

Ncosα-mg=0 （1）

Nsinα＝mωx （2）

两式相比得tgα=ωx/g，又 tgα=dy/dx，∴dy=ωxdx/g，

∴y/x=ωx/2g. ∴ g=ωx/2y.

将某点对于对称轴和垂直于对称轴最低点的直角坐标系的坐标x、y测出，将转台转速ω代入即可求得g.

六．用牛顿第二定律

1.标有刻度的粗细均匀的U型管装有适量的水固定在小车上，用不计质量的弹簧秤拉着小车在光滑水平面上作匀加速运动，弹簧秤读数为F，用天平测出整个小车装置的质量为M，小车运动时两液面高度差为Δh，

3

222222

U型管两管相距为L.

设U型管水平部分横截面积为S，则这段液体质量为m=ρ·S·L，ρ为水的密度.整个系统以加速度a=F/M沿水平方向运动，作用在该段水的合作力应为F=ma=ρ·S·LF/M.这个合外力由两臂液柱的压力差提供，即F=ρ·g·S·Δh.所以ρ·g·S·Δh=ρ·S·LF/M.由此可得：g=F·L/M·Δh，将所测F、L、M、Δh代入可求得g值.

2.将1中的U型管换成有刻度的玻璃缸内径为D，其它条件不变，水与小车一起作匀加速运动时，液面上下高差为Δh，这时测力计的读数为F，整套装置质量为M，加速度a=F/M.

在液体斜面上取一微小体积元，设其质量为m，所受重力为mg，它还受到下面液体给予的支持力N，这两个力的合力是产生加速度a的合力，即mg·tgα=ma.又tgα=Δh/D，所以g=F·D/M·Δh，将所测D、F、M、Δh代入即可求g.

3.在小车上固定一个“⊥”形支架，上面装有量角器.量角器的圆心处挂有一重锤线，如图6所示.用天平测出整套装置的质量M，测力计质量不计，用测力计拉着小车在光滑的水平面上作匀加速运动时，测力计读数为F，重锤线与竖直方向夹角为α，整套装置的加速度为a=F/M，摆球受重力mg和绳子张力T，其合力产生加速度a.即mgtgα=ma，∴g=a/tgα=F/Mtgα.将所测F、M、α代入即可求得g

七．根据万有引力定律

实验设计：设想当宇宙飞船进入靠近地球表面的圆形轨道绕行时，受到地球的万有引力提供向心力，则有GMm/R2=mg=4mπ2R/T2,即g=4π2R/T。宇航员通过秒表测出宇宙飞船绕行周期T，查出地球的半径R，由g=4π2R/T，就可以测出地球表面的重力加速度。

宇宙飞船进入高空其他轨道也可，只要测出h，即可推算出地面重力加速度g

八.根据机械能守恒定律

1.实验设计：利用“验证机械能守恒定律”装置来测量

将打点计时器固定在铁架台上，取一根适当长的纸带，下端固定一个重物，上端穿过限位孔。接通6V交流电源，让打点计时器开始打点，再释放纸带，纸带上就会打出一系列的点（纸带的起始点要清晰）。在纸带上距起点远一点的地方取三个连续的点A、B、C（如图6），量出起始点O至B点距离为h（即重物下落的高度），量出A、C的长度s，测得AC间的时间t=2T，可求得B点速度为V=s/2T。

由机械能守恒定律可得mgh=mv2,则有g=21s28hT。

2.利用功能原理测量重力加速度.

用一根单摆线连接一铁球,固定另一端将小球放在固定点的水平线上,让小球做圆周运动,在固定点正下方放一光电门测量小球的速度.用尺测量固定点到光电门的长度h.再由功能原理mgh=mv2. 可得g 21九．用液柱的压强p=ρgh和有关气体实验定律

实验设计：取一根长约60㎝，两端开口的均匀细玻璃管，一把米尺，可以在水池边设法测出当地的重力加速度（大气压强已由气压计读出为p0,水的密度为ρ）。其测量步骤如下：

(1)用米尺测出玻璃管的长度为l0;

(2)将玻璃管竖直向下部分插入水中，测出玻璃管中水面上端空气柱的长度l1,

（3）用手封住玻璃管口向上提升至玻璃管下端刚好在水面处，此时玻璃管中空气柱的长度l2，以封闭的空气柱为研究对象，由玻意耳定律列方程，有p0l1S=[ p0—ρg(l0—l2) l2S,所以g= p0（l2—l1）/ρ（l0—l2）l2。

总之，以上测量重力加速度的方法，有的是粗略的，有的是较精确的，有的是可以实际做的，有的是不能做但原理上是合理的“理想实验”.这些方法多数是力学知识的综合运用，目的是使学生开拓视野，起到“思维训练性实验”课的作用.注重了新情景下的创新，突出了灵活运用知识的能力。因此，老师们在平时的教学实践中，多注意研究这方面的问题并启发和鼓励学生设计和实施实验，相信对锻炼的学生的创新能力有帮助。

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