圆锥曲线的综合问题

二. 教学目标：

（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．

三. 知识要点：

解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识．反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质．学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的．

具体来说，有以下三方面：

（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法．有时题设设计得非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口．

（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识．

（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题

在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号．

【典型例题】

例1. 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和

　　m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为

　　和

　　，求该彗星与地球的最近距离．

分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解．同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考．仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a－c，这样就把问题转化为求a，c或a－c．

解：建立如上图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（－c，0）处，椭圆的方程为

　　+

　　=1，

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为

　　时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=

　　（或∠xFA′=

　　）．

作AB⊥Ox于B，则｜FB｜=

　　｜FA｜=

　　m，

故由椭圆的第二定义可得

m=

　　（

　　－c）①       且

　　m=

　　（

　　－c+

　　m）②

两式相减得

　　m=

　　·

　　m，∴a=2c．

代入①，得m=

　　（4c－c）=

　　c，

∴c=

　　m．∴a－c=c=

　　m．

答：彗星与地球的最近距离为

　　m万千米

点评：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a－c，另一个是a+c．

（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想．另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质．

例2. 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工．

分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远．

显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点

则有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜．

于是｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=150－100=50．

从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程．

解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则

｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜，

∴｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=50．

在△PAB中，由余弦定理得

｜AB｜2=｜PA｜2+｜PB｜2－2｜PA｜｜PB｜cos60°=17500，

且50＜｜AB｜．

由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，

设此双曲线方程为

　　－

　　=1（a＞0，b＞0）．

∵2a=50，4c2=17500，c2=a2+b2，

解之得a2=625，b2=3750

∴M点轨迹是

　　－

　　=1（x≥25）在半圆内的一段双曲线弧．

于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．

点评：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域．

（2）应用分类思想解题的一般步骤：①确定分类的对象；②进行合理的分类；③逐类逐级讨论；④归纳各类结果．

例3. 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1.6 m

现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶

已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值．

分析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m到2 m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m（即在横断面上距拱口中点2 m）处隧道的高度是否够3 m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得．

解：如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，

由题意可得抛物线的方程为x2=－2p（y－

　　），

∵点A（－

　　，0）在抛物线上，

∴（－

　　）2=－2p（0－

　　），得p=

　　．

∴抛物线方程为x2=－a（y－

　　）．

取x=1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得

22=－a（y－

　　），y=

　　．

由题意，令y＞3，得

　　＞3，

∵a＞0，∴a2－12a－16＞0．

∴a＞6+2

　　．

又∵a∈Z，∴a应取14，15，16，……．

答：满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14 m．

点评：本题的解题过程可归纳为两步：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m处y的值；二是由y＞3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的．

例4. 如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．

（1）写出直线l的截距式方程；

（2）证明：

　　+

　　=

　　；

（3）当a=2p时，求∠MON的大小．

分析：易知直线l的方程为

　　+

　　=1，欲证

　　+

　　=

　　，即求

　　的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标

由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得

　　+

　　=

　　．由

　　·

　　=0易得∠MON=90°

亦可由kOM·kON=－1求得∠MON=90°．

（1）解：直线l的截距式方程为

　　+

　　=1．

（2）证明：由

　　+

　　=1及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0．

点M、N的纵坐标为y1、y2，

故y1+y2=

　　，y1y2=－2pa．

所以

　　+

　　=

　　=

　　=

　　．

（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，

则k1=

　　，k2=

　　．

当a=2p时，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，

由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，

x1x2=

　　=

　　=4p2，

因此k1k2=

　　=

　　=－1．

所以OM⊥ON，即∠MON=90°．

点评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．

例5. 已知椭圆C的方程为

　　+

　　=1（a>b>0），双曲线

　　－

　　=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．（如图）

（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

（2）当

　　=λ

　　时，求λ的最大值．

分析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60°易得

　　=

　　，由双曲线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b．

（2）由

　　=λ

　　，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程

将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标

将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值．

解：（1）∵双曲线的渐近线为y=±

　　x，两渐近线夹角为60°，

又

　　

　　=tan30°=

　　

∴a=

　　b．

又a2+b2=4，∴a2=3，b2=1．

故椭圆C的方程为

　　+y2=1．

（2）由已知l：y=

　　（x－c），与y=

　　x解得P（

　　，

　　），

由

　　=λ

　　得A（

　　，

　　）．

将A点坐标代入椭圆方程得

（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．

∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2

∴λ2=

　　=－［（2－e2）+

　　］+3≤3－2

　　．

∴λ的最大值为

　　－1．

点评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用

解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想

本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题．

例6. 如图，矩形ABCD中，

　　，以AB边所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，P是x轴上方一点，使PC、PD与线段AB分别交于

　　、

　　两点，且

　　成等比数列，求动点P的轨迹方程，

解：显然有

　　，

设

　　，

　　三点共线，

　　，

　　，又

　　三点共线，

　　，

　　，

　　，

　　，

　　，

　　化简得动点P的轨迹方程为

　　．

小结：

在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点：

1、客观题求解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决．

2、四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一．

3、注意用好以下数学思想、方法：

①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想

【模拟试题】

1、一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m时，则水面宽为

A、

　　m           B、2

　　m           C、4.5 m            D、9 m

2、某抛物线形拱桥的跨度是20 m，拱高是4 m，在建桥时每隔4 m需用一支柱支撑，其中最长的支柱是

A、4 m             B、3.84 m           C、1.48 m            D、2.92 m

3、天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是

A、椭圆                   B、圆                        C、双曲线的一支     D、抛物线

4、1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星．卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km，远地点为n km，地球的半径为R km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于

A、2

　　B、

　　C、2mn       D、mn

5、如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是

A、2.5 m                    B、4 m               C、5 m                        D、6 m

6、探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是____ cm．

7、在相距1400 m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s，已知声速340 m/s

炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________．

8、一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）

在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为________．

9、河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面的部分高

　　m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距____________m时，小船不能通航．

10、双曲线9x2－16y2=1的焦距是____________．

11、若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为_____；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆

　　+

　　=1的公共点有_________个．

12、设P1（

　　，

　　）、P2（－

　　，－

　　），M是双曲线y=

　　上位于第一象限的点，对于命题①|MP2|－|MP1|=2

　　；②以线段MP1为直径的圆与圆x2+y2=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于

　　|MP1|

其中所有正确命题的序号是____________．

【试题答案】

1、解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=－2py（p>0），由题意知，抛物线过点（2，－2），

∴4=2p×2

∴p=1．∴x2=－2y．

当y0=－3时，得x02=6．

∴水面宽为2|x0|=2

　　．

答案：B

2、解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x2=－2py（p>0），由题意知其过定点（10，－4），代入x2=－2py，得p=

　　．

∴x2=－25y

当x0=2时，y0=

　　，∴最长支柱长为4－|y0|=4－

　　=3.84（m）．

答案：B

3、解析：设旗杆高为m，华表高为n，m＞n

旗杆与华表的距离为2a，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系

设曲线上任一点M（x，y），由题意

　　=

　　，即（m2－n2）x2+（m2－n2）y2－2a（m2－n2）x+（m2－n2）a2=0．

答案：B

4、解析：由题意

　　－c=m+R，①

　　+c=n+R， ②

∴c=

　　，2b=2

　　=2

　　．

答案：A

5、解析：以O为原点，OP所在直线为y轴建立直角坐标系（如下图），则抛物线方程可设为

y=a（x－1）2+2，P点坐标为（0，1），

∴1=a+2

∴a=－1．

∴y=－（x－1）2+2．

令y=0，得（x－1）2=2，∴x=1±

　　．

∴水池半径OM=

　　+1≈2.414（m）．

因此水池直径约为2×|OM|=4.828（m）．

答案：C

6、解析：设抛物线方程为y2=2px（p>0），点（40，30）在抛物线y2=2px上，

∴900=2p×40． ∴p=

　　．∴

　　=

　　．

因此，光源到反射镜顶点的距离为

　　cm．答案：

7、解析：设M（x，y）为曲线上任一点，

则|MA|－|MB|=340×3=1020

∴M点轨迹为双曲线，且a=

　　=510，

c=

　　=700．

∴b2=c2－a2=（c+a）（c－a）=1210×190．

∴M点轨迹方程为

　　－

　　=1．

答案：

　　－

　　=1

8、解析：玻璃球的轴截面的方程为x2+（y－r）2=r2

由x2=2y，x2+（y－r）2=r2，得y2+2（1－r）y=0，由Δ=4（1－r）2=0，得r=1

答案：0＜r≤1

9、解析：建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=－2py（p>0）．

将点（4，－5）代入求得p=

　　．

∴x2=－

　　y．

将点（2，y1）代入方程求得y1=－

　　．

∴

　　+|y1|=

　　+

　　=2（m）．

答案：2

10、答案：

　　．

解析：将双曲线方程化为标准方程得

　　－

　　=1．

∴a2=

　　，b2=

　　，c2=a2+b2=

　　+

　　=

　　． ∴c=

　　，2c=

　　．

11、答案：0

解析：将直线mx+ny－3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y2－6ny+9－3m2=0．

令Δ

由0

　　，|m|

　　，再由椭圆方程a=

　　，b=

　　可知公共点有2个．

12、答案：①②③．

解析：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP1|可知正确．