专题讲座推理与证明

推理与证明

一：知识点：

1、归纳推理：把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质； 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；证明（视题目要求，可有可无）.

2、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤：

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。

3、合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.

归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论”，包括 ⑴大前提-----已知的一般原理； ⑵小前提-----所研究的特殊情况；

⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． 5、直接证明与间接证明

⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 要点：逆推证法；执果索因.

⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1)（反设）假设命题的结论不成立；

(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； (3)（归谬）断言假设不成立；

(4)（结论）肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法

数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤; （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立； （2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，推证当nk1时命题也成立.

只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

二：典型例题

222

例1. 已知：sin30sin90sin150

33222

； sin5sin65sin125 22

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： __________________并证明.变式训练1：设f0(x)cosx,f1(x)f0(x)，f2(x)f1'(x),则f2008(x)'

,fn1(x)fn'(x)，n∈N，

例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，

按图所标边长，由勾股定理有：cab.。设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用s1,s2,s3表示三个侧面面积，s4表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .变式训练2：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径r把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。

222



a2b2

2

，

2

a12a2

例3.请你把不等式“若a1,a2是正数，则有推广到一般情形，并证明.。a1a2”

a2a1

变式训练3：观察式子：1A、1C、1

122

12

31151117

„，可归纳出式子为（ ）,1,1，

23423234



133



1nn



11111 B、12n12n123n2n11112n

D、1222n2n123n

1

2

1

2

1

2

例4. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线



b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误

的，这是因为（ ）A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上

推理的大前提是 。

例5 a,b,c为实数，ax22y,by22z,cz22x求证a,b,c中至少有一个大于0。

236

变式训练5：用反证法证明命题“a,bN,ab可以被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整



除。”那么假设的内容是

例6. △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：变式训练6：用分析法证明：若a>0，则a2

1a2

2

113

。abbcabc

1

2。a

2

2a

例7．已知数列an，an0，a10，an1an11an(nN)．



记Sna1a2an．．求证：当nN时，（1）anan1； （2）Snn2；

三：巩固练习

1.考察下列一组不等式： 2353225252, 2454235253,

255523522253,.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，

使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 . 2．已知数列an满足a12，an1

1an*

（nN），则a3的值为 1an

a1a2a3a2007的值为．

2f(x)

（xN*），猜想f(x）的表达式为（ ） ,f(1)1

f(x)24212

A.f(x)x； B.f(x)； C.f(x)； D.f(x).

22x1x12x1



4. 某纺织厂的一个车间有技术工人m名（mN），编号分别为1、2、3、„„、m，有n台（nN）织布机，编号分别为1、2、3、„„、n，定义记号aij：若第i名工人操

3. 已知f(x1)

作了第j号织布机，规定aij1，否则aij0，则等式a41a42a43

a4n3的

实际意义是（ ）

A、第4名工人操作了3台织布机； B、第4名工人操作了n台织布机； C、第3名工人操作了4台织布机； D、第3名工人操作了n台织布机.

35111

(nN*)，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，

2223n

7

f(16)3，f(32)，由此推测：当n2时，有2

6. 观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是Sn，按此规律推出：当n2时，Sn与n的关系式5. 已知f(n)1

„„

n2S4 n3S8 n4S12

7.观察下式：1=1，2+3+4=3，3+4+5+6+7=5，4+5+6+7+8+9+10=7，„，则可得出一般结论： .

8.函数f(x)由下表定义：

2

2

2

2

若a05，an1f(an)，n0,1,2,，则a2007

9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六

边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前n件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用n表示)

图1 图2

图3

10.将正奇数按下表排成5列

那么11．如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名

...，指，5小指，6无名指，一直数到2008时，对应的指头是 (填指头的名称).

12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4

，4，4，„„中，第25项为_____．

13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有 个小正方形.

14．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）

15.如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为

ai

i1,2,3,4，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hii1,2,3,4，若

4

a1a2a3a42Sk，则.ihi类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的1234ki1

面积记为Sii1,2,3,4, 此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hii

1

,2,3,4,

4

S1S2S3S44V3V2VVK, 则iHi ( B ) A.若 B. C. D.

KKKK1234i1

16.设O是ABC内一点，ABC三边上的高分别为hA,hB,hC，O到三边的距离依次为

la,lb,lc，则

lalblc

，类比到空间，O是四面体ABCD内一点，四顶点到hAhBhC

对面的距离分别为hA,hB,hC,hD，O到这四个面的距离依次为la,lb,lc,ld，则有1112，由此类22hab

比：三棱锥SABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则 ．

1

18、若数列an是等差数列，对于bn(a1a2an)，则数列bn也是等差数列。

n

17．在RtABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则

类比上述性质，若数列cn是各项都为正数的等比数列，对于dn0，则dn数列dn也是等比数列。

19．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝m（mN*），则这样的三角形共有 个（用m表示）． 20．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n行(n≥2)中第2个数是________（用n表示）.

123456

16

11

257

14

254

7

11

16

2

3

4

5

6

21．在△ABC中，sinA

sinBsinC

，判断△ABC的形状并证明.

cosBcosC

2

2

22．已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax+2bx+c=0，bx+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设

23.ABC中，已知3b2asinB，且cosAcosC，求证：ABC为等边三角形。 24．如图，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、…、Pn(xn,yn)(0y1y2yn) 是曲线C：

y23x(y0)上的n个点，点Ai(ai,0)（i1,2,3n）在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi

是正三角形（A0是坐标原点）． （1）写出a1、a2、a3； （2）求出点An(an,0)（nN）的横坐标an关于n的表达式并证明.

推理与证明章节测试题答案

1. anbnambkakbm(a,b0,mkn,m,n,kN*) 3．,3 3. B. 4. A

12

2n1

(nN*) 2

6. n2(n2)2

5.f(2)

n

7.n(n1)8.4 9.

(3n2)(2n1)2,nN*

n(n1)(4n1)

nN*

6

10.251,3 12．食指

12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，„„中，第25项为__7____．

n23n213．

2

14． 4n8

15、B提示:平面面积法类比到空间体积法

16． 1. 提示：平面面积法类比到空间体积法 17．．

1111

2222

habc

18

nN*提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数bn(a1a2

an)

nN*

1n

类比到几何平均数dn19．

m(m1)

2

n2n220．

2

21．解:sinA

sinBsinC

,ABC

cosBcosC

sinAcosBsinAcosCsin(AC)sin(BC) sinCcosAsinBcosA(sinCsinB)cosA0 sinCsinB0,cosA0A 所以三角形ABC是直角三角形



2

22． 三个方程中都没有两个相异实根

证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，

222

则Δ1=4b－4ac≤0，Δ2=4c－4ab≤0，Δ3=4a－4bc≤0.

222222

相加有a－2ab+b+b－2bc+c+c－2ac+a≤0，

222

（a－b）+（b－c）+（c－a）≤0. 由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

方法总结：反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立. 凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法. 23.解: 分析：由3b23asinB3sinB23sinAsinBsinA 由cosAcosCAC AC

①

2

A,

233



3

B

所以ABC为等边三角形

24.如图，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、„、Pn(xn,yn)(0y1y2yn) 是曲线C：

y23x(y0)上的n个点，点Ai(ai,0)（i1,2,3n）在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi

是正三角形（A0是坐标原点）． （1）写出a1、a2、a3；

（2）求出点An(an,0)（nN）的 横坐标an关于n的表达式并证明.

解:（Ⅰ）a12,a26,a312;„„„„„„.6分 （2）依题意，得xn

an1anaan12

,yn3n，由此及yn3xn得 22

(

anan123

)(anan1)， 22

即(anan1)22(an1an)．

由（Ⅰ）可猜想：ann(n1),(nN)． 下面用数学归纳法予以证明： （1）当n1时，命题显然成立；

（2）假定当nk时命题成立，即有ank(k1)，则当nk1时，由归纳假设及

(ak1ak)22(akak1)

得[ak1k(k1)]22[k(k1)ak1]，即

(ak1)22(k2k1)ak1[k(k1)][(k1)(k2)]0，

解之得

， ak1(k1)(k2)（ak1k(k1)ak不合题意，舍去）即当nk1时，命题成立．

由（1）、（2）知：命题成立．„„„„„„.10分

高二数学推理与证明单元测试卷

一、选择题：

1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.

2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab” B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

abab

 （c≠0）” ccc

nn

（ab）anbn” 类推出“（ab）anbn” D.“

C.“若(ab)cacbc” 类推出“

3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误



的，这是因为 （ ）

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。 (A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；

(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中20044100010101022103，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1＋a＋a＋„＋a

2

n＋1

1an2=， (a≠1，n∈N)”时，在验证n=11a

成立时，左边应该是 （ ）

(A)1 (B)1＋a (C)1＋a＋a2 (D)1＋a＋a2＋a3

7、某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立. 现已知当n7时该命题不成立，那么可推得

A．当n=6时该命题不成立 C．当n=8时该命题不成立

（ ）

B．当n=6时该命题成立 D．当n=8时该命题成立

n

8、用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)212(2n1)”（nN）时，从 “nk到nk1”时，左边应增添的式子是

A．2k1

B．2(2k1)

C．

D．

（ ）

2k1

k12k2

k1

9、已知n为正偶数，用数学归纳法证明 1

11111112()时，若已假设nk(k2为偶 234n1n2n42n

（ ）

数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证

A．nk1时等式成立 C．n2k2时等式成立

B．nk2时等式成立 D．n2(k2)时等式成立

10、数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2， S3，猜想当n≥1时，Sn= （ ）

2n1

A．n1

22n1B．n1

2

C．

n(n1)

2n

D．1－

12n1

11、根据下列图案中圆圈的排列规律，第2008个图案的组成情形是( )．

A．其中包括了l003×2008 +1个◎ B．其中包括了l003×2008 +1个● C．其中包括了l004×2008个◎ D．其中包括了l003×2008个●

12、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“当a＜b时，

.则函数

”如下：当a≥b时，

；

的最大值等于（ ）

A．―1 B．1 C．6 D．12 二、填空题：

13、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。

14、 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形

222

三边长之间满足关系：ABACBC。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两

两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 . 15、从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),„,推广到第n个等式为_________________________.

16、设平面内有ｎ条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这ｎ条直线交点的个数，则f(4)= ； 当ｎ＞４时，f(n)＝ （用含n的数学表达式表示）。 三、解答题：

17、（8分）求证： (1)6+7>22+

(2)a2b23abab)

18、用数学归纳法证明：n5n能被6整除；

19、若a,b,c均为实数，且,,, 3

求证：a，b，c中至少有一个大于0。

111120、用数学归纳法证明： 12342n1n；

21、观察（1）tan100tan200tan200tan600tan600tan1001;

（2）tan50tan100tan100tan750tan750tan501 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论并加以证明。

22、已知正项数列an和{bn}中，a1 = a（0＜a＜1），b11a

anan1bn，bn

n1

(1)证明：对任意nN*，有anbn1；

(2)求数列an的通项公式；

当n≥2时，

2(3)记cnanbn1，Sn为数列cn的前n项和，求Sn