古希腊三大几何难题

古希腊三大作图难题

北京化工大学 殷光中

概述：

尺规作图，即只用直尺和圆规作几何图形，其来源于《几何原本》，以后在一个时期内成为数学中的重要研究课题[1]。

古希腊三大作图难题：1.作一立方体，其体积为所知立方体体积的两倍；2.画圆为方，即作一正方形使其面积为已知圆的面积；3.尺规三等分任意角）之一。众所周知，二等分任意给定角用尺规很容易就能解决。而充满探索与挑战精神的人们又会想到用尺规如何三等分任意给定角，此后，许多数学家纷投入这一问题的解决。直到十九世纪，人们才严格证明了三等分任意角仅凭尺规不可能实现。到此，这一问题才告一段落。期间，有许多超越了尺规限制的作图方法：比如：希皮阿斯发明的割圆曲线，阿基米德螺线和尼科梅德斯蚌线等[2]。

人们万万也不会想到但他们在潜心研究一些未解决的问题的时候，许多新的发现也会应运而生……

1、三等分任意角

科学需要大胆的想象,或许引入数学公式可以实现超越尺规而三等分角,于是我想到了倍角的相关公式,引发了以下一系列的思考: 1.1.1 n倍角的正切值展开通式

tan1α=t tan2α=

2t

1t2

3tt3

tan3α=

13t2

4t4t3

tan4α= 24

16tt

5t10t3t5

tan5α= 24

110t5t6t20t36t5

tan6α= 246

115t15tt7t35t321t5t7

tan7α=

121t235t47t6

8t56t356t58t7

tan8α=

128t270t428t6t8

„„ 有如下特征：

① 分子分母各项均是“+，-”交替出现，且分子上为t的奇次幂，分母上为t的偶次幂。

② 我们将分子分母上相同序项对齐，则分子上的次数比分母上依次高一，且其系数有如下关系： 若

ntn1t3n2t5n3t7n4t9......

tannα=; 2468

1m1tm2tm3tm4t...

则有，

tan(n+1) α=

(n1)t(n1m1)t3(n2m2)t5...1(nm1)t2(n1m2)t4...

.

即：对正相加分别作为下式相应项的分子系数；由下往上左偏相减作为下式相应项的分母系数 。

③分子以 “nt”开头 ，分母以“1”；若从第一项开始每两项为一对，

分子上：

奇数对的基数项（简称奇对奇项）以“”结尾，奇对偶项以“n

”结尾；偶对奇项以“-”结尾，偶对偶项以“- n

”结

尾；

分母上：

奇对奇项以“n以“-n

”结尾，奇对偶项以“-”结尾；偶对奇项

”结尾；偶对偶项以“”结尾。

注意：奇数项中分子、分母的项数相同，偶数项中分母项数比分子项数多一项。

综合以上特征和八个式子的系数关系，我们不难发现：

tan(4k+0) =

CC

00n

11n

tCnt3Cnt5......Cntn1

22n

44n3

n2n2n

35n1

tCtCt......C

11n00n11n

22n33n

t

Ct

nnn

tan(4k+1)= tan(4k+2)tan(4k+3)

C CtCt......Ct

tCt......CtC=

CtCt......CtCt

tCtCt......CtC=

CtCtCt......Ct

n1n1n

n1n1

00n

11n00n

22n

33

nn2n2n

n22n

55n44n

n

tCnt3......Cntn

n

nnn

nnn

n1n1

我们将分子、分母上的正项、负项分别合并，得

tan(4k+0)=

401401n

400400

411411

421421

403403

413413

CC

t

CnC

t

Cn

t

...Cn

t

Cnt

...

n

t

410410n

t

C

420420n

t

...C

402402n

t

C

412412n

t

同理，

tan(4k+1)=

401401n

400400

411411

421421

C

t

nC

t

n

t

...n

403t403

402402n

n

t

410410n

t

C

420420n

t

...C

t

Ct

n

413413

...

412412

n

tan(4k+2)=

C

401401n

400400

t

nC

411411

t

n

421421

t

...n

403403

t

n

413413

...

n

t

410410n

t

C

420420n

t

...C

402402n

t

C

412412n

t

tan(4k+3)=

C

401401n

400400

t

nC

411411

t

n

421421

t

...n

403403

t

n

413413

...

n

t

410410n

t

C

m

420420n

t

...C

m

402402n

t

C

412412n

t

综上所述，当m=[n/4]时，tan=t,有

tan(n)=k0m

C

k0

4k14k1n

t

Cn

k0m

4k34k3

t

t

C

4k4kn

t

C

k0

4k24k2n

1.1.2下面我们用数学归纳法来验证上式的正确： 证明：

假设当n=M（M属于N，且M>1）时，原式成立，即

tanM= k0m

那么当n=M+1时,

tan(M+1)=tanMtan

1tanMtan

C

k0

m

4k14k1M

t

CMt4k3

k0m

4k24k2M

m

4k3

C

4k4kM

t

C

k0

t

= k0m

C

k0m

m

4k4k1M

t

CC

k0mk0m

m

4k24k3M

t

CC

k0mk0m

m

4k14k1M

t

CMt4k3

k0m

4k2

m

4k3

C

4k4kM

t

4k14k2M

t

4k34kM

t

CMt4k2

k0

m

4k3

= k0m

C

k0m

4k4k1M

t

CMt4k3CMt4k1CMt4k3CMt4k2CMt4kCMt4k2

k0k0m

4k1

k0m

k0

4k3

m

4k2

4k24k1

C

4k4kM

t

=

[C

k0mk0

4k4k1M

t

CMt4k1][C

4k1

k0m

k0

4k24k3M

t

[C

4k4kM

t

C

m

4k34k4M

t

][C

k0m

k0m

CMt4k3]

4k24k2M

4k3

4k14k2M

t

C

t]

= km

C

k0

4k14k1M1

t

CM1t4k3

k0m

4k2

4k3

C

4k

4k4k2ttCM1M1

k0

1.2“T”型架三等分任意角

如图设AOB是要等分的任意角O-MN“T

”

型架(MOp=NOp,MNOOp),作OB的平行线a（如图虚线），使OB与a的距离d=MOp=NOp.然后让“T”型架绕点O转动，当M点N点恰好分别落在OA与a上时，则得到的夹角COB为其三等分角。易证明∠COB=∠AOOp=∠COOp.如过在丁字尺的长边正中间做一条直线(相当于OOp),横梁边缘相当于MN,则丁字尺就可以用于三等分任意角,方便而简洁。

上面的是‘1T ’型杆。一般地, ‘NT ’ 型杆可以‘2N+1’等分任意角。下面是五等分角示例：如图设AOB是要等分的任意角，OT-MN为双“T”型架，作OB的平行线a（如图虚线），使OB

与a的距离d=MO2=NO3.然后让“T”型架绕双T交汇点O1旋转，刚好使M.N.OT点分别落在OA.a. 线上和O点上，则此时AOO2角即为五等分角。

1.3 阿基米德活动杠杆三等分任意角[2]

方法如下：杠杆由两部分组成：主杆（BG）和活动杆（OG）。活动杆的一端（O）和主杆的一端（D）对齐，另一端（G）固定在主杆上，固定点用G表示。设AOB是要等分的任意角，且可取OA=OB=OG。将活动杆的一端固定在O点主杆过B点，滑动转杆装置使得主杆与活动杆相齐的一端与AO

的延长线相交D点。如图：

因为DG=GO=OB,所以GDO=GOD，OGB=OBG，则

AOB=GDO+OBG=GDO+OGB=3GDO.

帕斯卡蜗线[3]（如右图）与阿基米德活动杠杆三等分角原理是一样的，我们可以认为其等同，或这说蜗线是阿基米德活动杠杆的数学普适表示形式，阿基米德思想上侧重于实操性，而帕斯卡蜗线侧重于数学上的表达。

帕斯卡蜗线方程为：（极坐标下）

1.4蒲扇线与三等分任意角

如左图，形状如“蒲扇”又如“桃心”，与既有的“心形线” [3]，方程：

;

神似，但非等同。为加以区分，此以后称之为“蒲扇线”。其作图方法如下：

1，作任意圆O，半径为

R=a;

,或者直角坐标系

。

2，以圆O上任意点A作为基点开始做线，过圆心的任意线交圆于C点，延长OC，使BC=AC弦长，由此确定一个B点。

3，则绕整个的圆周作图，无穷个这样的点可以组成如图的“蒲扇线”。

这是超越了尺规规定的作图方法，“蒲扇线”也叫做一种超越线，虽然按作图方法表面上式不可能做到，因为要做无穷多个点。但是这并不影响到曲线本身的存在性和理论意义，就像上文中所说的诸多方法也即是如此思路。

“蒲扇线”在极坐标下的一般方程为：(以O为圆心，OA为横轴

)

面积为

等分任意角，具体方法如下：

如图，任意角OAB，将顶点A置于基点A处，一边过圆心O，则角的另一边交“蒲扇线”于B点，联结OB，得角ABO为已知角的三等分角。证明如下：

根据曲线的定义与做法，AC=BC,OA=OC,

OBA=BAC， 

.当2a=b时，用“蒲扇线”可以三

所以，

OAC=



OCA，且

OBA+BAC=OCA，所以

OAB=OAC+BAC=3OBA.完。

2、画圆为方

2.1阿基米德螺线

阿基米德螺线是指一条射线绕其固定端匀速旋转，同时有一个动点从端点出发沿射线匀速运动，这一动点就描绘出一条平面螺线，如右图所示： 方程为：

阿基米德螺线，可以成功地“画

圆为方”和三等分任意角。下面介绍其画圆为方的思路：设圆的半径为R，射线上的动点P. 做螺线P离极点O

的距离

，则

,当射线从起始位置转过

时，

，由此得圆的面积

[2]。

有了OP后，下面是一种求取正方形边长的方法：（已知斜边长，和一直角边长，尺规求取另一直角边）。 如图：

1，以OP+R为直径画圆O1

2，以O1为圆心，OP为半径画圆，与圆P交于B; 3，联结BA，以BA为直径画圆O2;

4，以B为圆心R为半径画圆，交圆O2于D; 5，联结AD，得AD为所求正方形边长，易得

。这是阿

基米德的思路，经过思考：

以下又给出两个方法把已知矩形等面积转换成为正方形，称之为“画矩为方”问题：(只要其中方”的效能)

1，利用切割线定理：如图：（1）以A为顶点，b为R作圆A，交AC于B点，

（2）以BC为直径画圆O， （3）过A点作圆O的切线：（《几何原本》中，78页有其它方法介绍，此不述）

①以B为圆心，b为半径作圆B

②交圆O于D，联结OD，易得OD⊥AD

，且,AD

为所求。

2，利用射影定理：如图： （1）延长CA，CA=a （2）在CA上取AD=b （3）以DE为直径作圆O （4）过A点作DE

的垂线，

就起到“画圆为

交圆弧于B点

（5）联结AB得AB为所求 易知，

。

的

有了以上得思路后，画圆为方问题自然而然地被转化为线段求取。 一般的，当

只要

函数有解，均可以用以画圆为方。其最简单得形式自然是阿基米德螺线方程：

，即

的情况。发现以下几种函数均可以解决

画圆为方问题：

......

等等，当然也包括上述函数式的线性组合所得的新函数。下面就

以为例说明方法：（图形如图：）

当

时，

则问题回归到了“画矩为方（以2r为长a，

应有无穷个，究竟是哪些，引

以圆半径为b）”的问题上来了。

发了下一步的思考？推广阿基米德螺线所得的曲线组拓宽了画圆为方的方法，但限制了其三等分任意角的效能。 2.2 Hippias割圆曲线

上面说道，割圆曲线可以三等分任意角，却也可以画圆为方。 割圆曲线：设有一个正方形AOBC，它的一个边OB绕顶点O匀速转动，转一直角到OA边。同时，OA平行于ST从BC匀速平移到OA。OB与ST的运动交点的轨迹即为割圆曲线。如图：

这里也只介绍画圆为方的方法：

在直角三角形POQ中，有

E为割圆曲线与OA的交点，

所以，半径为R

的圆面积为

，所求正方形的边长为

。

受到启发，假设有正方形OABC，有平行于OA且从OA匀速运动的ST，和从OC绕O匀速转动的OP，在运动过程中，OP与ST交点所描绘的图线为目标曲线，为表区别，称之为反割圆曲线。其与割圆曲线的不同点在于，

改变了杆ST的转动方向或者是改变了OP的起始转动点。反割圆曲线（如上图），类似的可以画圆为方和三等分任意角（后作分别的介绍）。其表达式可以为：

为ST的移动速度，

为OP的转动速度。 当取

时

当转过时，的问题上。认为

。经过等倍转换，又可以回归到“画矩为方”是

的一个特例，即是

的情况。从而将反割圆曲线与推广

阿基米德螺线所得新图线一般方程统一到了一起。 其三等分任意角的方法是：（以任意锐角为例）

任意角DOC，一边与OC重合，另一边交反割圆曲线于E点，过E点作OC的垂线，交OC于F点，接下来作线段OF的三等分点： （1）过O点作任意线段，使OM=MN=NL，

（2）联结LF，分别过M、N点作LF的平行线交OF于X、Y点，X、Y为OF的三等分点。

然后，分别以X、Y作OC的垂线交反割圆曲线于U、V点，联结OU、OV，即把交DOC成功地三等分。（如上图）

反割圆曲线可以n等分任意角，只要将所化线段n等分即对应得n等分角。

3、立方倍体

我们来研究一下下面的方程式：（图像如图）

得其渐近线为：

峰点坐标为当

为与曲线的交点。

时，CD为与a对应的二倍体边长，

时，AB为与b对应的二倍体的边长。

如图，得其渐近线为：

峰点坐标

为为

与曲线的交点，是

曲线离渐近线最远的点。

当

时，CD为与a对应的二倍体边长，

时，AB为与b对应的二倍体的边长。

推知一般：

渐近线为

特殊的，k=0时，方程为一条直线。峰点为

为曲线与

的交点。开始所述即是t=3的情况。

4.另外九个问题

4.1、立方三倍体、五倍体、七倍体问题。 4.2、化方为圆。

4.3、将一任意三角形等面积转换成一正三角形。 4.4、等体积立方化球。 4.5、等体积球化立方。 4.6、长方体等体积化正方体。

4.7、圆柱等体积化长方体。（6+7：圆柱等体积化正方体）

4.8、线段开方（平方和立方）问题：已知一线段长a，求作另一线段

长，。

4.9、已知一线段长为a，另一线段长为b，求作线段长为ab。 问题1~7可以看做是同一类问题：同幂几何关系，即其变量幂之和相等。而问题8~9是非同幂几何关系（形的效能未能充分体现，扩大了量的效能）。（认为非同幂几何关系欧几里德几何无法解决。）问题的提出，为的是更好的理解“实际实数线段”之间的关系。 问题6的思考：如图（通过面的变化实现边的变化），这是一步步逼近的过程，故无限步做下去，即得等体积的立方体，这是理论意义上的一种方法。通

过这种方法，我们可以总结出一下的等量关系式：a、b、c为任意正整数，则有

记作

一般有

也成立。 附:

我读了吴振奎教授编著的《数学中的美》一书后，感觉获益匪浅！它不仅使我了解到了许多的数学知识，更重要的还是它激发了我强烈的数学兴趣！我觉得一本书的价值不仅仅在于它包括多少的内容，关键是它要能够激起读者对其所述领域及内容的兴趣！

此书在248页这样写到：

1970年，沃亨（R..C .Vaughen）证明，几乎对所有的整数m,n方程

nm

111

都有正整数解。 xyz

1969年，数学家布雷则（Bretze）在《数学游览》中写道：无法将

55111

写为两项单位分数之和。且，不知[***********]25121

是不是最大的！[4]

经过计算，我发现

5111

， [**************]11，其中275275就比208725大！可见答案是[1**********]275

否定的。 参考文献

[1]兰纪正等译.几何原本【M】.陕西科学技术出版社.2003.p663. [2]靳平主编.数学的100个基本问题【M】.山西科技出版社.p80和p192. [3]贺才兴主编.大学数学手册【M】.上海交通大学出版社.2003.p70. [4]吴振奎等主编.数学中的美【M】.上海出版社.