帮你求抛物线的标准方程
抛物线问题解决中的一些技巧
抛物线是三大圆锥曲线之一,在高考中占有重要的地位。求解抛物线问题我们应掌握一些解题的技巧,从而使得我们的解题更简洁、思路更清晰。 一、正确选用标准方程
-4) 的抛物线的标准方程. 例1、求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且经过点P (-2,
解:由题意,抛物线有两种情形:
-4) 代入得p =4.故标准方程为y 2=-8x ; (1)设抛物线y 2=2px (p >0) ,将P (-2,
-4) 代入得p =(2)设抛物线x 2=-2py (p >0) ,将P (-2,
1
,故标准方程为x 2=-y . 2
所以满足条件的抛物线的标准方程为y 2=-8x 或x 2=-y .
点评:求圆锥曲线的标准方程,关键是确定类型,设出方程,待定系数法是常用方法之一。本题应结合图形,分析出两种情形,避免漏解。 练习1:已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点M (m , -3) 到焦点距离为5,
求m 的值。 解:设抛物线方程为x 2=-2py (p >0) ,准线方程:y =
p 2p
∵点M 到焦点距离与到准线距离相等,∴5=-3+,
2
2
解得:p =4,∴抛物线方程为x =-8y 。
把M (m , -
3) 代入得:m =±
二、合理使用定义
2) 在抛物线y 2=4x 的内部,F 是抛物线的焦点,在抛 例2、已知点P (3,
物线上求一点M ,使MP +MF 最小,并求此最小值.
解:过M 作准线l 的垂线MA ,垂足为A ,则由抛物线的定义有
M =M A .∴MP +MF =MP +MA ,
显然当P ,M ,A 三点共线时,MP +MF 最小. ,2) ,最小值为4. 此时,M 点的坐标为(1
点评:抛物线的定义用法:一是根据定义求轨迹;二是两个相等距离(动点到焦点的距离与
动点到准线的距离)的互化.在解题中,应正确合理地使用定义,同时应注意“看到准线想焦点,看到焦点想准线”。
练习2:已知动点M 的坐标满足方程( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对
,则动点M 的轨迹是
解:由题意得:,即动点到直线
的距
离等于它到原点(0,0)的距离。
由抛物线定义可知:动点M 的轨迹是以原点(0,0)为焦点,以直线准线的抛物线。故选C 。 三、设而不求
为
例3、是否存在同时满足下列两条件的直线l :(1)l 与抛物线y 2=8x 有两个不同的交点A
和B ;(2)线段AB 被直线l 1:x+5y-5=0垂直平分. 若不存在,说明理由,若存在,求出直线l 的方程.
解:假定在抛物线y 2=8x 上存在这样的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 则有
⎧y 12=8x 1(y 1-y 2)=8
⇒k =⇒y +y y -y =8x -x ()()()⎨2AB 121212
y =8x x 1-x 2y 1+y 2⎩22
∴k AB =5,∵线段AB 被直线l 1:x+5y-5=0垂直平分,且k l 1=-,
即
1
5
88
=5⇒y 1+y 2=.
5y 1+y 2y 1+y 24
=. 代入x+5y-5=0得x=1.于是: 25
4
=5(x -1),即 5
设线段AB 的中点为M (x 0,y 0),则y 0=
AB 中点为M 1⎪. 故存在符合题设条件的直线,其方程为:y -
⎛4⎫⎝5⎭
25x -5y -21=0,此时判别式大于0。
点评:涉及弦中点(中点弦)问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、
弦的中点坐标联系起来,相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系,灵活转化,往往就能事半功倍。应注意验证判别式。 ,平分,求弦PQ 所在的直线方程. 练习3:已知抛物线y 2=-8x 的弦PQ 被点A (-11)
2⎧⎪y 1=-8x 1,
解:设PQ 的端点P (x 1,y 1) ,Q (x 2,y 2) ,则有⎨2
y =-8x ,⎪⎩22
两式相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2) =-8(x 1-x 2) ,
y -y
∴21=-4,即k PQ =-4. x 2-x 1
故弦PQ 所在的直线方程为y -1=-4(x +1) ,即4x +y +3=0. 四、运用向量
例4、过抛物线y 2=2px 的焦点的一条直线L 和此抛物线相交,两个交点A 、B 的坐 标为(x 1, y 1),(x 2, y 2) ,求证:y 1y 2=-p 2。
2
y 12p y 2p p p
证明:由于FA =(x 1-, y 1) =(-, y 1), FB =(x 2-, y 2) =(-, y 2) ,
22p 222p 2
则弦AB 通过焦点F ⇔FA 与FB 共线
2
⎛y 12p ⎫⎛y 2y 1-y 1p ⎫22
⎪ ⎪, ⇔ -⋅y --⋅y =0⇔(y y +p ) =0⇔y y =-p 211212 2p 2⎪ 2p 2⎪2p ⎝⎭⎝⎭
故弦AB 通过焦点F 的充要条件是y 1y 2=-p 2。
点评:合理构建向量,运用了向量共线的充要条件,从而证得结论。本题也可巧设方程L :x =my +
p
,你也可试一试。 2
练习4:过抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点F 的直线与抛物线相交于A ,B 两点,自A ,B 向准线作垂线,垂足分别为A ',B ',求证:∠A 'FB '=90°.
⎛p ⎫
0⎪,设A ,B 两点的纵坐标分别为y 1,y 2, 证明:抛物线的焦点F ,⎝2⎭
⎛p ⎫⎛p ⎫
易得y 1y 2=-p 2.又A ' -y 1⎪,B ' -y 2⎪,
⎝2⎭⎝2⎭
'FB '=p 2+y 1y 2=p 2-p 2=0, 则FA '=(-p ,y 1) ,FB '=(-p ,y 2) ,故FA ·
则FA '⊥FB ',即∠A 'FB '=90°. 五、一题多变,多题一解
例5、过抛物线y 2=2px 的焦点的一条直线L 和此抛物线相交,两个交点A 、B 的纵坐 标为y 1, y 2,求证:y 1y 2=-p 2。 变式探究: p 2
(1)求证:x 1x 2=
4
(2)(逆命题)一条直线L 和抛物线
y 2=2px 相交,两个交点
A 、B 的纵坐标为
y 1, y 2,且y 1y 2=-p 2,求证:直线L 过此抛物线的焦点。
(方法一:设直线L :(3)设A 、B 是抛物线
y =kx +b ; 方法二:设L :x =my +a )
y 2=2px 上的两动点,求证:直线AB 过定点(2p,0)的充要y 2=4px (p >0) 上原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,
y 2=2px 相交,两个交点A 、B 的纵坐标为y 1, y 2,则
条件是OA 与OB 互相垂直。 (4)设A 、B 是抛物线
OM ⊥AB 于M ,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线? (5)一条直线L 和抛物线
y 1y 2为定值的充要条件是直线L 过X 轴上一定点。
点评:选择典型问题,创设好的问题背景,选用不同的视角、不同的探索途径,汇聚了各具特色的不同解法,有利于“标新立异”,有利于发展创新思维,从而跳出题海。
总之,研究抛物线的问题,我们应正确理解定义,将抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离合理转化,适时选用设而不求,从而合理减负。